【考研题库】2020年苏州大学数学分析(同等学力加试)考研复试核心题库[解答题+证明题]

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一、解答题

1．求沿曲线的环流量，若

(1)为；

(2)为.

【答案】(1)

(为面上极坐标的极角〉

当曲线不围绕Oz轴转一周，则当曲线上的点围绕转一周而回到原地时，的值并不增减；故

(2)同(1)的分析，当曲线按右手围绕Oz轴转n圈，则当曲线上的点围绕转一周时，的值增加；故

2．设，且，考察级数的绝对收敛性.

【答案】由可知，.而

所以

即所考察的级数收敛.但由

可知，发散，故原级数为条件收敛.

3．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和.

(1)求，的傅里叶级数，并求.

(2)求函数的正弦级数展开式.

【答案】(1)所给函数满足收敛定理的条件，因此可把展成傅里叶级数.又由于在R连续，且为以为周期的偶函数.于是

于是的傅里叶级数展开式为

当x=0时有.由此可得

(2)对进行奇延拓，函数的傅氏系数为

于是函数的正弦级数展开式为.

4．已知不等式对一切成立，求常数A的取值范围.

【答案】由于对一切成立，转求在的最大值。

设，则

且.

在单调减少，因此，因此A＞e.

5．设(1)求A的值；(2)设在D上连续，且满足条件

，则，使得

【答案】(1)

其中

，所以

(2)反证法，若对都有，由f(x，y)在D上连续知在D上连续，于是存在点，使得，从而由已知条件得

矛盾，故，使得。

6．已知

(1)求在点的幂级数展开式；

(2)求的和；

(3)求的和.

【答案】(1)()是绝对收敛的级数.由于两个绝对收敛级数可以任意相乘，记

则有

其中

于是有

(2)用莱布尼茨判别法不难判断级数

收敛(注意应用)，所以对展开的幂级数，应用阿贝尔第二定理可得

(3)由可得

从而

因此

故