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高中数学复习专题(含答案)

专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、

推理与证明、不等式及线性规划

第一讲集合与常用逻辑用语

高考考点考点解读

集合的概念及运算1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算

2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围

3．以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算

命题及逻辑联结词1.命题的四种形式及命题的真假判断

2．复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何、不等式相结合考查

充要条件的判断1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查

2．利用充要性求参数值或取值范围

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．

(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．

(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用．

预测2020年命题热点为：

(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．

(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．

知识整合

hi shi zheng he

1．集合的概念、关系及运算

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

(3)空集是任何集合的子集.

(4)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．

(5)重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

2．充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有

从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A B

p是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)B A

p是q的充要条件(p⇔q)A＝B p是q的既不充分也不必要条件(p⇒/ q，q⇒/ p)A与B互不包含

(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

4．全(特)称命题及其否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0).

(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).,Y

易错警示i cuo jing shi

1．忽略集合元素互异性：

在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根．2．忽略空集：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．

3．混淆命题的否定与否命题：

在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.

1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( A ) A．{0,2}B．{1,2}

C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}

[解析]A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．

故选A．

(理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( B )

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

[解析]∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．

故选B．

2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( C ) A．{0}B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

[解析]∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．

故选C．

(理)(2018·全国卷Ⅱ，2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( A )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

[解析] 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．

故选A ．

3．(文)(2018·天津卷，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件．故选A ．

(理)(2018·天津卷，4)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<1

2”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 由“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”得0＜x ＜1，则0

2”⇒“x 3＜1”；由“x 3＜1”得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”/⇒“⎪⎪⎪⎪x －12＜1

2”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜1

”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．故选A ．

4．(2018·浙江卷，6)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] ∵ 若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，则一定有m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面， ∴ “m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．

5．(文)(2018·北京卷，4)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( B )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] a ，b ，c ，d 是非零实数，若a ＜0，d ＜0，b ＞0，c ＞0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．

故选B ．

(理)(2018·北京卷，6)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .

由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，

所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．故选C ．

6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <3

B ．A ∩B ＝∅

C ．A ∪B ＝{x |x <3

}

D ．A ∪B ＝R

[解析] 由3－2x >0，得x <3

2，

∴B ＝{x |x <3

}，

∴A ∩B ＝{x |x <2}∩{x |x <32}＝{x |x <3

2}，

故选A ．

(理)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝∅ [解析] 由3x <1，得x <0，

∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．

∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．

7．(2017·全国卷Ⅱ，2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B ＝( C )

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，

∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，

∴1－4＋m＝0，∴m＝3.

由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，

∴B＝{1,3}．

8．(文)(2017·山东卷，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2

A．p∧q B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)

[解析]∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，

∴p为真命题，綈p为假命题．

∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，

∴q为假命题，綈q为真命题．

根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．

故选B．

(理)(2017·山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )

A．p∧q B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)

[解析]∵x>0，∴x＋1>1，

∴ln(x＋1)>ln 1＝0.

∴命题p为真命题，

∴綈p为假命题．

∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2

∴命题q为假命题，

∴綈q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．

命题方向1集合的概念及运算

例1 (1)(文)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( A ) A．[1,2)B．[1,2]

C．(2,3] D．[2,3]

[解析]∵M＝{x|－3

∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．

(理)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是( A ) A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]∵B＝{x|x<2m}，∴∁R B＝{x|x≥2m}，

又∵A⊆∁R B，

∴有2m≤2，即m≤1.

由选项可知选A．

(2)(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( B )

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，

∴A∩B中共有2个元素，故选B．

(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( B ) A．3 B．2

C．1 D．0

[解析]集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，

集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．

结合图形可知，直线与圆有两个交点，

所以A∩B中元素的个数为2.

故选B．

(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定

义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C ) A．77 B．49

C．45 D．30

[解析]由题得A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，如下图所示：

因为B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，由A⊕B的定义可得，A⊕B相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：

所以A⊕B中的元素个数为7×7－4＝45.

故选C．

『规律总结』

(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．

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1．(文)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( C ) A．3B．4

C．5D．6

[解析]由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，故选C．

(理)设集合M＝{x|－2

A．(3，＋∞) B．(－2，－1]

C．[－1,3) D．(－1,3)

[解析]集合N＝{x|2x＋1≤1}＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}．故∁R N＝{x|x>－1}，故M∩∁R N ＝{x|－1

2．(文)已知集合U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U(A∪B)＝( A )

A．{x|1

C．{x|x≤2} D．{x|x≥1}

[解析] A ∪B ＝{x |x ≤1}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≤1或x ≥2}，所以∁U (A ∪B )＝{x |1

D ．{0,1,2}

[解析] 由题意知B ＝{x |－2

3．(文)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．4个

D ．8个

[解析] |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．

(理)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >1

2}，则( D )

A ．A ⊆

B B ．B ⊆A

C ．A ∩∁R B ＝R

D ．A ∩B ＝∅

[解析] 因为x 2－3x ＋2<0，所以1

又因为log 4x >1

2＝log 42，

所以x >2，所以A ∩B ＝∅.

命题方向2 命题及逻辑联结词

例2 (1)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否

命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )

A ．真，假，真

B ．假，假，真

C ．真，真，假

D ．假，假，假 [解析] 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i. ∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，

若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数． ∴逆命题为假，否命题也为假． (2)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝5

；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：

①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题；

③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的结论是( A ) A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③

[解析] ∵

>1，∴命题p 是假命题． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥3

>0，

∴命题q 是真命题，由真值表可以判断“p ∧q ”为假，“p ∧(綈q )”为假，“(綈p )∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”为真，所以只有②③正确，故选A ．

『规律总结』

(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．

(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．

(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：

①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；

②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．

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1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A )

A ．p ∨q

B ．p ∧q

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∨(綈q )

[解析] 由题意知命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是( C )

①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解析] 对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A

3．(2018·北京卷，1)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}

D ．{－1,0,1,2}

[解析] ∵ A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2

命题方向3 充要条件的判断

例3 (1)设θ∈R ，则“|θ－

π12|<π12”是“sin θ<1

”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] ∵|θ－π12|<π12，

∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.

显然0<θ<π6时，sin θ<1

成立．

但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<1

2的充分而不必

要条件．

故选A ．

(2)若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( C ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件

[解析] 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒ / p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒ / 綈q ，

∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选C ．

(3)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1

＋a 2n <0”的( C )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －

2＋a 1q 2n －

1＝a 1q 2n －

2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件．故选C ．

(4)已知“x >k ”是“3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－1]

[解析] 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3

x ＋1<1”

的充分不必要条件，所以k ≥2.

『规律总结』

1．判定充分条件与必要条件的3种方法

(1)定义法：正、反方向推，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)：若A ＝B ，则是B 的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

2．提醒：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ．

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1．(文)(2018·娄底二模)“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π

4”的( A )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a ，若a <－1，得θ角大于π

，

由倾斜角θ大于π

得－a >1，或－a <0即a <－1或a >0.

(理)“a 2＝1”是“函数f (x )＝lg(2

1－x ＋a )为奇函数”的( B )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] a 2＝1⇒a ＝±1，f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数等价于f (x )＋f (－x )＝0，即lg(2

1－x ＋

a )＋lg(

21＋x ＋a )＝0⇔(21－x ＋a )(2

1＋x

＋a )＝1化简得a ＝－1，故选B ． 2．(文)若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2

A ．a >－2

B ．a ≤－2

C ．a >－1

D ．a ≥－1

[解析] 由x 2－x －2<0知－1

又B ＝{x |－2－1.

(理)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3

D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由3a >3b >3，知a >b >1，所以log 3a >log 3b >0，所以1log 3a <1log 3b ，即log a 3

所以“3a >3b >3”是“log a 3

3，b ＝3也满足log a 3

a >

b >1.所以“3a >3b >3”是“log a 3

A 组

1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1，0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( C )

A ．{－1,1}

B ．{0,1}

C ．{－1,0,1}

D ．{2,3,4}

[解析] ∵ A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴ A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，

∴ (A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．故选C ．

(理)(2018·天津卷，1)设全集为R ，集合A ＝{x |0

D ．{x |0

[解析] 全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，则∁R B ＝{x |x <1}． ∵集合A ＝{x |0

2．(2018·蚌埠三模)设全集U ＝{x |e x >1}，函数f (x )＝1

x －1

的定义域为A ，则∁U A ＝( A ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

[解析] 全集U ＝{x |x >0}，f (x )的定义域为{x |x >1}，所以∁U A ＝{x |0

[解析] 全称命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”．

4．设有下面四个命题

p 1：若复数z 满足1

z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，

z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1

a ＋

b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，

则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.

当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．

对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1

＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．

对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题． 5．已知命题p ：在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有m ＋n ＝p ＋q ，命题q ：∃x 0>0,2－x 0＝e x 0，则下列命题是真命题的是( C )

A ．p ∧q

B ．p ∧綈q

C ．p ∨q

D ．p ∨綈q

[解析] 命题p 是假命题，因为当等差数列{a n }是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，故选C ．

6．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(1

2)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )

A ．{x |x ≥－2}

B ．{x |x >－1}

C ．{x |x ≤－1}

D ．{x |x ≤－2}

[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2

7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ．

8．下列四个命题中正确命题的个数是( A )

①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^

＝1.23x ＋0.08；

④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π

9．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．无穷多个

[解析] 由Venn 图可知，阴影部分可表示为(∁U A )∩B ．由于∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，于是(∁U A )∩B ＝{x |－4

(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )

A ．{x |x ≥1}

B ．{x |1≤x <2}

C ．{x |0

D ．{x |x ≤1}

[解析] 分别化简两集合可得A ＝{x |0

[解析] 设命题p ：∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1，则綈p ：∃x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ≠1，显然綈p 是假命题．

11．已知全集U ＝R ，设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)}，集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)}，则(∁U A )∩B 为( C )

A ．(1

2，＋∞)

B ．(0，1

C ．[－1，1

]

D ．∅

[解析] 集合A ＝{x |x >1

2}，

则∁U A ＝{x |x ≤1

2}，

集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，

所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤1

2}∩{y |－1≤y ≤1}

＝[－1，1

]．

12．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1

e x ＋1为偶函数，

下列说法正确的是( B )

A ．p ∨q 是假命题

B ．(綈p )∧q 是假命题

C ．p ∧q 是真命题

D ．(綈p )∨q 是真命题

[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，令(1－x )(1＋x )>0，得－1

所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，

所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；

对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －

x －1

e －x

＋1＝1

e x －11e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－

f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(綈p )∧q 是假命题．

13．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1

x <1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件．

[解析] 由题意，得綈p 为x <1，由1

x <1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以綈p

是q 的既不充分也不必要条件．

14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点.

[解析] 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有

零点．

15．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于3. [解析] A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1

16．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为(－∞，－2].

[解析] 由已知条件可知p 和q 均为真命题，

由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.

0B 组

1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( C ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1,0}

D ．{0,1}

[解析] 本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算．依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，选C ．

2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝( C )

A ．∅

B ．(1,2]

C ．[2，＋∞)

D ．(1，＋∞)

[解析] 由x －1>0，得x >1，故集合A ＝(1，＋∞)，又y ＝x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4＝2，故集合B ＝[2，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选C ．

3．给出下列命题：

①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；

③“若a >b >0且c <0，则c a >c

b ”的逆否命题；

④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题的是( A ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④

D ．②③④

[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1

log 2x ≥2，

得x >1；③中由a >b >0，得1a <1

，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④

由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．

4．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 2

9≤1”的( B )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 2

9≤1”表示的平面

区域N 为椭圆x 216＋y 2

＝1及其内部，显然N M ，故选B ．

5．(文)若集合A ＝{x |2

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2

(理)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( D ) A ．既不充分又不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件

[解析] 当x ≥1，y ≥1时，x 2≥1，y 2≥1，所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2，y ＝－4时，x 2＋y 2≥2仍成立，所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件，故选D ．

6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( B )

A ．3

B ．4

C ．8

D ．9

[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此，一共有4个元素，故选B ．

7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)内单调递减，命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，则下列命题中为真命题的是( A )

A ．p ∧q

B ．(綈p )∨(綈q )

C ．(綈p )∧q

D ．p ∧(綈q )

[解析] 命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)上单调递减，是真命题；

命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，是真命题．则p ∧q 是真命题．故选A ．

8．已知条件p ：x 2－2x －3<0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( D )

A ．a >3

B ．a ≥3

C ．a <－1

D ．a ≤－1