(完整版)最全圆锥曲线知识点总结

高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：

平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （222

a b c =+）?{

cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

2. 椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以

122

22=+b

y

a x （0a

b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)

c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c

e a

=，椭圆?01e <<，e

越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥

（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外?2200

221x y a b

+>；

②点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内?2200

221x y a b +<

3．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?

如:直线y ―kx ―1=0与椭圆

22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）

5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2

121k

x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121

1y y k

-+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2

121k

y y +-。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ； 如（1）如果椭圆

22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在

直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；

（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；

特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称

问题时，务必别忘了检验0?>！

椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：

c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2

y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax =+2

2

可化为

122=+C

By C Ax ，即12

2=+B

C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当

B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c 相同。与椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为

12

222=+++m

b y m a x )(2

b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；

③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦

定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2

1

21PF F PF PF S F PF ∠??=?相结合的

方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立

21PF PF +、21PF PF ?之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(<<=

e a

c

e ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e a

b

e 。

显然：当a b 越小时，)10(<

b

越大，)10(<

椭圆形状越趋近于圆。

题型1:椭圆定义的运用

例1.已知1,F F 为椭圆22

1259

x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______.

例2.如果方程2

2

2x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

例3.已知P 为椭圆

22

12516

x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为

题型2： 求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)

经过两点2),(A B --；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆2

2

9436x y +=具有共同的焦点；

(3)

一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 题型3:求椭圆的离心率

例1、ABC ?

中，30,2,o

ABC A AB S ∠===V 若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆的离心率为 .

例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 12F PF ?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

例1.已知实数,x y 满足22

142

x y +=,则22x y x +-的范围为 例2.已知点,A B 是椭圆22

221x y m n

+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=uuu r uu u r ,则λ=

题型5：焦点三角形问题

例1.已知12,F F 为椭圆22

194

x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求

1

2

PF PF 的值. 例2.已知12,F F 为椭圆C:22

184

x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为 . 例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1

e 2

= ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.

题型6: 三角代换的应用

例1.椭圆

22

1169x y +=上的点到直线l:90x y +-=的距离的最小值为___________． 例2.椭圆

22

1169

x y +=的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断

例1.当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆

22

1169

x y +=相交？相切？相离？ 例2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152

2=+m

y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围； 题型8：弦长问题

例1.求直线24y x =-被椭圆

22

4199

x y +=所截得的弦长. 例2.已知椭圆

2

212

x

y +=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积；

题型9：中点弦问题 例1. 求以椭圆

22

185

x y

+=内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 例2.中心在原点，一个焦点为1(0,50)F 的椭圆截直线32y x =- 所得弦的中点横坐标为1

2

，求椭圆的方程．

例3.椭圆22

1mx ny +=与直线1x y += 相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点．若22AB = ，

OC 的斜率为22

（O 为原点），求椭圆的方程．

巩固训练

1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且o

1=90BDB ∠,则椭圆的离心率为

2.设12,F F 为椭圆2

214

x y +=的两焦点，P 在椭圆上，当12F PF ?面积为1时，12PF PF ?uu u r uuu r 的值为 3.椭圆

22

1369

x y +=的一条弦被()4,2A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若12,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若122112::1:2:3PF F PF F F PF ∠∠∠=, 则此椭圆的离心率为

5.在平面直角坐标系中，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，

过点2

(,0)a c

作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．

双曲线

基本知识点

双曲线

标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122

22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）

)0,0(122

22>>=-b a b

x a y 定义

定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

{}a MF

MF M 22

1

=-()212F F a <

范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈

对称轴

x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b

对称中心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c

1(0,)F c - 2(0,)F c

x

y

P

1F

2F

x

y

x

y

P

1

F 2

F x

y

焦点在实轴上，22

c a b =+；焦距：122F F c =

顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )

离心率 2

21,(1)c b e e a a

==+>

渐近线 方程 x a

b y ±=

a

y x b

=±

共渐近线的双曲线系方程

k b

y a x =-22

22（0k ≠） k b

x a y =-22

22（0k ≠） 直线和双曲线的位置

双曲线122

22=-b

y a x 与直线y kx b =+的位置关系：

利用22

221x y a b y kx b ?-

=???=+?

转化为一元二次方程用判别式确定。

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB 的弦长2212121()4AB k x x x x =++-

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）； （2）其标准方程为2

2

x y C -=，其中0C ≠； （3）离心率2e =

；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； 例题分析：

例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）

Ａ．221916x y -= Ｂ．22

1169

x y -+=

Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22

1(3)169

x y y -+=-≤

同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为3

4y x =±，则离心率为（ ）

Ａ．53

Ｂ．

5

4

Ｃ．53或54

Ｄ．3

例2、已知双曲线22

14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ）

Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<

Ｄ．120k -<<

同步练习二:双曲线22

221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．

例3、设P 是双曲线22

219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是

双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．

同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 。

例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）

(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2

-x 23=1

(C)y 2

-x 23=1和x 2

-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -3

2y =1

同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，

和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ）

Ａ．22

123x y -=

Ｂ．22132x y -= Ｃ．2

214

x y -=

Ｄ．2

2

14

y x -=

例5、与双曲线

116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1

同步练习五:以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为_________. 例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 (A)

12

y

x )D (1y 2

x

)

C (116

y 4x )

B (14

y

16x 2

222

2

22

2=-

=-=-=- 同步练习六:双曲线8kx 2

-ky 2

=8的一个焦点是(0，3)，那么k 的值是

例7、经过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ， （1）求|AB|.

（2）F 1是双曲线的左焦点，求△F 1AB 的周长．

同步练习七过点（0，3）的直线l 与双曲线22

143

x y -=只有一个公共点，求直线l 的方程。 高考真题分析

1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B

两点，AB =C 的实轴长为（ ）

()

A ()B

()C 4 ()D 8

2.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为 2.若抛物线

2

2:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

(A) 2x y =

(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 3.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线2

2

:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，

12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

（A ）

14 （B ）35 （C ）34 （D ）45

4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+

，

则m 的值为 ．

抛物线

焦点到准线的距离 p

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+ 12

p AF y =-+

焦 点弦 长AB

12()x x p ++

12()x x p -++

12()y y p ++

12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

= 2

124

p

x x =

212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===?? 切线 方程

00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

直线:l y kx b =+，抛物线2:2C y px =， 由 22y kx b

y px

=+??=?，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线2:2C y px =，(0)p ≠

联立方程法：

???=+=px

y b

kx y 22

?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0?≠,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 (1)相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ?+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ?+=2

1 （2）. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2

2

10y y y += 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 22

22px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

（1）在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

（2）在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，

同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y