3.2等差数列(二)

南通市工贸技工学校

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课题： 3.2等差数列（二）

教学目的要求：巩固上节课所学习的知识点，增加有一定难度的题型。

教学重点、难点：通项公式及前n项和公式的记忆及应用

授课方法：讲授法

教学参考及教具（含多媒体教学设备）：直尺

授课执行情况及分析：

板书设计或授课提纲

等差数列应用题.题库

等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项

三年级下册数学试题-暑假提升-第2讲 等差数列(一)(解析版)全国通用

（3） 5 、10 、（15 ）、（ 20 ）、25 、30 ； （4） 28 、（ 24 ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ 61 ）、52 、（ 43 ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ 28 ）、30 、60 。 第二讲 等差数列（一） 知识要点： 数列 按照一定次序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。 数列的一般形式可以写成：a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。 等差数列 如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示。 等差数列的几个计算公式： 等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ? 项数÷2 字母公式： S = (a 1 + a n )? n ÷ 2 等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ? 公差 a n = a 1 + (n -1)? d 字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1 字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1 一、基础应用： 【例1】 在括号里填上合适的数。 ） 、 4 、5 、（ （1）1、2 、（ ）； ）、16 ； （2） 4 、6 、8 、10 、（ ）、（ （3） 5 、10 、（ （4） 28 、（ ）、25 、30 ； ）、（ ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ ）、52 、（ ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ ）、30 、60 。 【解析】填法如下： （1）1、2 、（ 3 ）、4 、5 、（ 6 ）； （2） 4 、6 、8 、10 、（ 12 ）、（14 ）、16 ；

高中数学 等差数列及其前n项和(习题)

第二讲等差数列及其前n项和 考点1等差数列 1.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0成立的最大的自然数n是() A.9 B.10 C.11 D.12 3.[2017张掖市高三一诊]等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为() A.{1} B.{1,} C.{} D.{0,,1} 考点2等差数列的前n项和 4.[2018贵阳市高三摸底考试]设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=2a3,则=() A. B. C. D. 5.[2018长郡中学高三实验班选拔考试]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4+a12-a8=8, a10-a6=4,则S23=() A.23 B.96 C.224 D.276 6.[2017河南省郑州市高三一测][数学文化题]《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女最后一天织多少尺布? () A.18 B.20 C.21 D.25 考点3等差数列的性质 7.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k=() A.22 B.23 C.24 D.25 8.已知数列{a n}为等差数列,a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,则a4=. 9.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=. 答案 1.B∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,则公差d=a4-a3=2,故选B.

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

2021高三人教B版数学一轮(经典版)：第6章 第2讲 等差数列及其前n项和

课时作业 1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B 解析 由题意可得??? a 1＋d ＝2， 7a 1＋7×6 2d ＝56， 即??? a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得? ?? a 1＝－1，d ＝3，选B. 2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， ∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4×11＝15.故选A. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )

A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6) 2 ＝45. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．36 答案 C 解析 由等差数列的通项公式及性质，可得 S 9＝9(a 1＋a 9) 2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9) 2 ＝9a 5＝54.故选D. 7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( ) A ．S 9＝0 B ．S 5最小 C ．S 3＝S 6 D ．a 5＝0 答案 B 解析 由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×4 2d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n +都成立。求证：c 的最大值为 2 9。

第二讲：等差数列及求和公式(教师)

第二讲：等差数列、等比数列的通项公式 【知识结构】 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 等差数列的递推公式为：即 a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列 中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。 a b 2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A - 2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。当d 0时，从函数的角度 看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。 【典型例题】 例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。 （2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。 （3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。 （4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。 解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 1 2耳13d 20,解得［c3 a n 2n d 2 5k 10 等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。 例2、 （1 ） a n 1a n2,n N*； （2 ） 满足2a n 1a n 2 a n, n N * ； （3 ）a n 1a n n,n N * 满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。

等差数列(学生版)

等差数列 导引： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 练习： 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习： 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 练习： 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 练习： 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

第2讲等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37

解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.

等差数列综合应用

第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；

等差数列前n项和优质课教案 doc

（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100

方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=

等差数列教学目标

【教学目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题． 3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】 等差数列的概念及其通项公式． 【教学难点】 等差数列通项公式的灵活运用．“等差”的理解 【教学方法】 本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的． 【教学过程】 问题1 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材P39图2-6），共堆放了8层，试写出从上到下列出每层钢管的数量． 问题2. 小明目前会100个单词，但她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，试写出在今后的五天内他的单词量 从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为 （1）4、5、6、7、8、9、10、1 （2）100，98，96，94，92 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 练习一 抢答：下列数列是否为等差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，…； 0，1，2，3，4，5，6，…； 3，3，3，3，3，3，3，…； 2，4，7，11，16，…； －8，－6，－4，0，2，4，…； 3，0，－3，－6，－9，…． 注意：求公差d 2．常数列 特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，… 也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列． 3．等差数列的通项公式（引导学生推导） 4.例题讲解 例1 求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项． 例2已知一个等差数列的公差为d,第m项是am，试求第n项an 5.练习 （1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项． （2）求等差数列10，8，6，…的第20项． 小结 1．等差数列的定义及通项公式．

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，

真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性

三年级计算等差数列学生版

知识要点 1.按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差． 如：1,2,3,4， 是等差数列，公差为1；2,4,6,8， 是等差数列，公差为2；5,15,20， 是等差数列，公差为5． 等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+ -?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =- -?（） 同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到： 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++ 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 等差数列

等差数列公开课教案教学设计(必修五)

《等差数列》教学设计 一．教材分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 二．教学目标 知识目标： （1）理解并掌握等差数列的概念； （2）能用定义判断一个数列是否为等差数列； （3）了解等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，会应用等差中项公式，并能在解题中灵活应用它们；（4）初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 能力目标：

（1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力； （2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力； （3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标： （1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 三、教学重点、难点 重点：①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。 ②如何推导出等差数列的通项公式。 四．教学策略和手段 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。多媒体的运用使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注

等差数列的应用

五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点

1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）

1-2-1-1等差数列的认识与公式运用学生版

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d = -÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145 -+=知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用

第2讲 等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n项和 【2013年高考会这样考】 1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 【复习指导】 1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 基础梳理 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 如果A＝a＋b 2，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)． (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)a n. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd 2； 若n为奇数，则S 奇－S 偶 ＝a 中 (中间项)．

5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2 ，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ?? ??a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n (a 1＋a n )2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn . 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．