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邓泽华向量代数与空间解析几何课件

第七讲向量代数与空间解析几何（数学一）

考纲要求

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.

3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.

4.掌握平面方程和直线方程及其求法.

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

6.会求点到直线以及点到平面的距离.

7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.

8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.

9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.

一、向量代数

问题1 向量的概念答相关内容有 1.向量的概念

既有大小又有方向的量称为向量.

向量a 的大小称为向量a 的模，记作a ，向量(,,)x y

z x y z a a i a j a k a a a =++=

的模

a = 模为1的向量称为单位向量.

与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量分别记作i ，j ，k .

若a 为非零向量，则a a e a

= 是与a

同向的单位向量.

任一向量a a a e =

，这是表示向量的一种重要方法.

若向量a 与b 模相等、方向相同（经平行移动能够重合），则称向量a 与b

相等，记作向量a b = .

以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量

12212121(,,)M M x x y y z z =---

以原点为起点，(,,)A x y z 为终点的向量OA

称为点A 的向径，

(,,)OA xi yj zk x y z =++=

2.向量的夹角、向量的方向角与方向余弦

向量a 与b 的正方向的夹角θ，称为向量a 与b

的夹角，规定[0,]θπ∈.

向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正方向（i ，j ，k ）的夹角,,αβγ称为向量a

的方向角，方向角的余弦

cos ,cos ,cos αβγ称为向量a

的方向余弦.

向量(,,)x y z x y z a a i a j a k a a a =++=

的方向余弦 cos ,cos ,cos y x z a a a

a a a αβγ=== ，

222cos cos cos 1αβγ++=.

▲将向量a

单位化(cos ,cos ,cos )a a e a αβγ==

，可以求出向量的方向余弦.

例题

1.求质量为M 的质点(,,)x y z 对质量为m 的质点000(,,)x y z 的引力.

解引力大小2Mm F G r = ，与F 同方向的单位向量000(,,)F x x y y z z e r

---=

，

则引力0003(,,)F Mm

F F e

G x x y y z z r

==--- ，

其中r =

▲本题求引力的方法在用积分求连续体对质点的引力时很重要.

已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M

的模、方向余弦和方向角.

解

12(1,)M M =-

，122M M = ，

与12M M

同向单位向量1212

11(,)222M M M M =--

，

方向余弦1

1cos ,cos 22

αβγ=-==，方向角23,,343

πππ

αβγ=

==. 问题2 向量的运算

答进行向量运算时，一要注意运算的可行性，二要掌握向量的运算律.

设向量(,,)x y z x y z a a i a j a k a a a =++=

，(,,)x y z x y z b b i b j b k b b b =++= .

1.向量的加法a b +

由平行四边形法则或者三角形法则给出，其坐标运算为

(,)x x y y z z a b a b a b a b +=+++

，.

2.数乘向量a λ

是一个向量，其模

a a λλ= ，其方向规定为：当0λ>时，a λ 与a

同向，当0

λ<时，a λ 与a 反向，其坐标运算为(,,)x y z a a a a λλλλ=

▲向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，它们的运算律（交换律、结合律、数乘对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.

3.向量的数量积cos a b a b θ?= ，其中θ为向量a

与b 的夹角，其坐标运算为

x x y y z z a b a b a b a b ?=++

▲向量的数量积的运算律（交换律，对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.

4.向量的向量积a b ? 是一个向量，其模sin a b a b θ?= ，其方向垂直于,a b 且,,a b a b ?

符合右

手规则，其坐标运算为x

y z x

i j k a b a a a b b b ?=

. 5.向量的混合积[]()x

y z x

a a a abc a

c b b b c c c =??=

. ▲向量的向量积、混合积的运算律可利用它们的坐标运算并结合行列式性质记忆，如0a a ?=

，a b b a ?=-? ，()a b c a b a c ?+=?+? ，[][][]abc bca cab ==

▲进行向量运算时，尤其要注意向量运算和实数运算的差别：

⑴向量的向量积不满足交换律，即a b b a ?≠?

；

⑵向量的数量积和向量积不满足零因子律，即0a b ?=?

0a = 或者0b = ，0a b ?=? 0a = 或者0b = ；

⑶向量的数量积和向量积不满足消去律，即a b a c ?=??

b c = ，a b a c ?=?? b c = . 例题

1.下列命题是否正确？

⑴a b b a ?=? ；

⑵若0a b ?= ，则0a = 或者0b = ，若0a b ?= ，则0a =

或者0b = ； ⑶若a b a c ?=? ，则b c = ，若a b a c ?=?

，则b c = . ⑷若0a ≠ ，且a b a c ?=? ，a b a c ?=?

，则b c = .

解 ⑴不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是a b b a ?=-?

；

⑵不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律：0a b ?= 不能推出0a =

或者0b = ，0a b ?= 不能推出0a =

或者0b = ；

⑶不正确，因为数量积、向量积都没有消去律：a b a c ?=?

不能推出b c = ，a b a c ?=? 不能推出b c = .

⑷正确，因为()0()a b a c a b c a b c ?=???-=?⊥-

， ()0//()a b a c a b c a b c ?=???-=?- ，

又0a ≠

，故0b c -=

，从而b c =

2.设,,a b c

为单位向量，且0a b c ++= ，求a b b c c a ?+?+? .

解由题设知，向量,,a b c

构成一个边长为1的正三角形，

故21cos cos 32a b a b πθ?===- ，类似可得12b c ?=- ，1

2c a ?=- ，所以a b b c c a ?+?+?=

3.设()2a b c ??= ，则[()()]()a b b c c a +?+?+=

解 [()()]()()(a b b c c a a b a c b b b c c a +?+?+=?+?+?+?+

()000000()4a b c b c a =??+++++++??=

. 问题3 向量在几何上的应用答

1.由数量积的定义知

⑴2a a a ?= ；⑵cos a b a b

θ?=

；⑶0a b a b ⊥??=

因此可以用数量积 ⑴求向量的模（长度）；⑵求两个向量的夹角；⑶讨论向量的垂直关系.

2.由向量积的定义知

⑴以向量,a b

为邻边平行四边形的面积S a b =? ；

⑵,a b a a b b ?⊥?⊥ ；

⑶//0,a b a b R b a λλ??=??∈=

或者y x z x y z a a a a b b b b λ=?== .

因此可以用向量积

⑴求平行四边形的面积和三角形的面积；

⑵判断三点共线：三点,,A B C 共线的充要条件是0AB AC ?=

，

⑶求一个同时垂直于,a b

的向量.

3.由混合积的几何意义知，混合积[]abc 的绝对值等于以向量,,a b c

为共点棱的平行六面体的体积. 因此可以用混合积

⑴求平行六面体的体积和四面体体积；

⑵判断四点共面：四点,,,A B C D 共面的充要条件是()0AB AC AD ??=

4.向量在平面、直线问题中有广泛应用： ⑴推导平面的点法式方程

⑵推导直线的点向式（对称式）方程 ⑶求平面与平面的夹角（法向量的夹角）、直线与直线的夹角（方向向量的夹角）、直线与平面的夹角（方向向量与法向量夹角的余角）；

⑷讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系； ⑸推导点到平面的距离公式； ⑹推导点到直线的距离公式； ⑺求两条异面直线的公垂线的长；

⑻解决平面几何、立体几何问题，推导余弦定理.

例题

1.若1,4a b == 且()3a b a b a ??=-

，则a 与b 的夹角θ= .

解 [()](3)3a b a a b a a b a a a ???=-?=?-?

，即20cos 3b a a θ=-

故2

cos 4

a a

b θ== ，3arccos 4θ=.

2.设(3)(75)a b a b +⊥- ，(4)(72)a b a b -⊥-

，求a 与b 的夹角θ.【3πθ=】

解【求两向量的夹角】

22(3)(75)(3)(75)0716150a b a b a b a b a a b b +⊥-?+?-=?+?-=

， 22(4)(72)(4)(72)073080a b a b a b a b a a b b -⊥-?-?-=?-?+=

，两式相减，得22462302a b b b a b ?-=?=?

，代入上式，得22a a b =? ，

1cos 2

3a b a b π

θθ?==?=

3.若1a b == 且a 与b

的夹角6

πθ=，求

⑴a b + 与a b -

的夹角；【

】

⑵以2a b + 与3a b - 为邻边的平行四边形的面积.】

解 ⑴设a b + 与a b -

的夹角为α，则()()cos a b a b a b a b

α+?-=+- ，

2()()2a b a b a a b b a b +?-=?-?=-= ，

由余弦定理，得22252cos 76

a b a b a b π+=+-=

， 2222cos 16

a b a b a b π-=+-=

，

故cos α=

，α= ⑵以2a b +

与3a b - 为邻边的平行四边形的面积为

(2)(3)5()55sin a b a b a b a b a b θ+?-=-?=?==

. 4.已知点(1,0,0)A 和(0,2,1)B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ?的面积最小.

解设(0,0,)C z 为z 轴上任意一点，则

121(2,1,2)10

i j k

AB AC z z z

?=-=--

，

ABC ?的面积的面积

12S AB AC =?== 当15z =

时，S 最小，故所求点为1(0,0,)5

C . 5.证明三角形的三条高线交于一点.

证如图，已知,AD BC BE AC ⊥⊥

，要证CO AB ⊥ .

()())CO AB CB BO AC CB CB AC CB CB BO AC BO CB ?=+?+=?+?+?+? ，又0BO AC ?=

，故

()0CO AB CB AC CB BO CB AO ?=?++=?=

，所以CO AB ⊥ .

二、平面与直线

问题4 平面的法向量与平面方程答主要内容有

1.平面的法向量任何垂直于平面的非零向量.

2.平面的方程

⑴平面的点法式方程过点000(,,)x y z 且法向量为(,,)n A B C =

的平面方程为

000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=；

⑵平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=； ⑶平面的截距式方程

1x y z

a b c

++=. 3.求平面方程的方法

⑴利用平面的点法式方程，关键是找出平面上一点和平面的法向量，这是求平面方程的基本方法. ⑵利用平面的一般方程，这种方法主要用于求特殊位置的平面方程.

⑶利用过直线L ：11112222

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?的平面束方程

11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=，关键是由题设条件确定其中的参数λ.

⑷利用求点的轨迹的一般方法.

例题

1.经过点(1,2,1)P -并且与直线L ：2

341x t y t z t =-+??

=-??=-?

垂直的平面方程为 .

【340x y z --+=】

2.求与直线1L ：1

12x y t z t

=??

=-+??=+?

和直线2L ：121121x y z +++==都平行且经过坐标原点的平面方程.【0x y z -+=】

3.求经过点(1,2,1)P -和直线L ：2341x t y t z t =-+??

=-??=-?

的平面方程.

【6350x y z ++-=】 4.求经过直线L ：10,

220

x y x y z ++=??

++=?且与平面20x y z --=垂直的平面方程.

【34220x y z +++=】

5.设一平面通过从点(1,1,1)-到直线10

y z x -+=??

=?的垂线，且与平面0z =垂直，求此平面的方程.

解【求平面方程，利用平面束方程】

先求垂线方程：直线100y z x -+=??

=?的方向向量011(0,1,1)100

i j k

s =-=--

，

通过点(1,1,1)-垂直于直线10

y z x -+=??

=?的平面方程为

0(1)(1)(1)0x y z ?--+--=，即0y z +=，

由10,

0,0

y z x y z -+=??

=??+=?

解得垂足为11(0,,)22-，

从点(1,1,1)-到直线100

y z x -+=??

=?的垂线的方向向量为11(1,,)22-，垂线方程为111

211x y z -+-==-，

即210

210x y x z ++=??-+=?

设过垂线的平面束方程为21(21)0x y x z λ+++-+=，即(1)2210x y z λλλ++-++=，要它与平面0z =垂直，只要它们的法向量垂直，即0λ=，

故所求平面方程为210x y ++=.

6.求通过点(3,0,0)A 和(0,0,1)B 且与xoy 面成

角的平面方程. 解【求平面方程，利用截距式方程】设所求平面方程为13x y z b ++=，其法向量11

(,,1)3n b

= ，它

与xoy 面的法向量(0,0,1)k = 成3π角，

故1

cos 32n k n k π?=== ，

解得b =代入平面

方程并化简得330x z +-=

或者330x z +-=.

问题5 直线的方向向量与直线方程答主要内容有：

1.直线的方向向量任何平行于直线的非零向量

2.直线的方程

⑴直线的点向式（对称式）方程过点000(,,)x y z 且方向向量为(,,)s m n p =

的直线方程为

000

x x y y z z m n p

---==；

⑵直线的参数式方程 000x x m t y y n t z z p t

=+??

=+??=+?

；

⑶直线的一般式（面交式）方程 11112222

0.A x B y C z D A x B y C z D +++=??

+++=?

3.求直线方程的方法

⑴利用直线的点向式（对称式）方程，关键是找出直线上一点和直线的方向向量，这是求直线方程的基本方法.

⑵利用直线的一般方程，关键是找出直线所在的两个平面.

例题

1.经过点(2,3,1)P -并且与平面π：3560x y z +++=垂直的直线方程为 . 【

231

315

x y z -+-==】 2.求过点(1,0,4)-且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线132

x y +=-=相交的直线的方程.【

161928

x y z +-==】解设所求直线的方向向量为s ，则s 垂直于平面34100x y z -+-=的法向量(3,4,1)n =-

，

又所求直线在过点(1,0,4)-与直线132

x y +=-=

的平面上，该平面的法向量 1112(10,4,3)034

i j k

n ==--

，

1341(16,19,28)1043

i j k

s n n =?=-=----

，

故所求直线方程为

161928

x y z +-==. 3.求经过点(2,3,1)P -并且与直线L ：

345

x y z -+==垂直相交的直线方程. 【34510

27413530

x y z x y z +++=??

---=?】

问题6 如何求平面与平面的夹角、直线与直线的夹角、直线与平面的夹角？如何讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系？

答平面与平面的夹角定义为它们的法向量的夹角；直线与直线的夹角定义为它们的方向向量的夹

角；直线与平面的夹角定义为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角，并规定这些夹角取值范围为

[0,]2

平面与平面平行的充要条件是它们的法向量平行，平面与平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；

直线与直线平行的充要条件是它们的方向向量平行，直线与直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；

直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行.

综上所述，平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角、垂直、平行问题均转化为它们

的法向量和方向向量的夹角、垂直、平行问题

例题

1直线158121x y z --+==-与直线6,23x y y z -=+=的夹 .【3π

θ=】解直线158121

x y z --+==-的方向向量1(1,2,1)s =-

，直线6,23x y y z -=+=的方向向量2110(1,1,2)021

i j k s =-=--

，

12121

cos 2

s s s s θ?===

，故这两条直线的夹角3πθ=.

2直线3210,21030x y z x y z +++=--+=与平面4220x y z -+-=的位置关系是 .【垂直】

解直线3210,21030x y z x y z +++=--+=的方向向量

132(28,14,7)2110

i j k s ==----

，

平面4220x y z -+-=的法向量(4,2,1)n =-

，

//n s

，故直线垂直于平面.

问题7 如何求点到平面的距离？如何求点到直线的距离？

答 1.点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离

d =

2.点000(,,)P x y z 到直线l 的距离公式0P P s d s

?= ，其中0

P 为直线l 上一点，s

为直线l 的方向向量. ▲其几何意义是以0,P P s

为邻边的平行四边形的高.

例题

1.求点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d .

解

由点到平面的距离公式，得d =

=2.求点(1,1,1)P 到直线3,224x y z x y z -+=+-=的距离.

三、曲面与曲线

问题8 何谓旋转曲面？如何求旋转曲面方程？答旋转曲面是曲线绕定直线旋转所形成的曲面，该曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面

的轴.

求旋转曲面方程的方法有： ⑴利用已知结论：

yoz 面上的曲线(,)0f y z =绕z

轴旋转所得旋转曲面方程为()0f z =，

yoz 面上的曲线(,)0f y z =绕y

轴旋转所得旋转曲面方程为(,0f y =.

例如yoz 面上的曲线2z y =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为22z x y =+，绕y 轴旋转所得旋转曲面方

2y =.

⑵利用求曲面方程的一般方法.

例题

1.求直线11

111

x y z L --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0L 的方程,并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面方程.

解 ⑴L 的方程为10

x y y z --=??+-=?，

过L 的平面束1π方程为1(1)0x y y z λ--++-=，即(1)10x y z λλλ+-+--=，令1ππ⊥，即法向量1n n ⊥

，得1(1)20λλ--+=，故2λ=-，所以投影面方程为3210x y z --+=，

故投影直线0L 的方程为210,

3210.x y z x y z -+-=??--+=?

⑵过曲面∑上任一点(,,)P x y z 作垂直于y 轴的平面，交y 轴于(0,,0)Q y ，交0L 于00(,,)R x y z ，由

P Q Q R =，得2222

x z x z +=+，⑴ 又000

0210,3210,x y z x y z -+-=??--+=?解得0012,2y

x y z -==，代入⑴，

得旋转曲面∑方程2

4174210x y z y -++-=.

2..求直线L ：

x y b z a -==绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面∑的方程. 【22222x y a z b +-=】

3.设(1,0,0),(0,1,1)A B ，则线段AB 绕z 轴旋转一周所成曲面与所围立体体积为 .

解直线AB 的方向向量(1,1,1)s =-

，

方程为

1111x y z

-==-，即1,,

x z y z =-??=? 旋转曲面垂直于z 轴的截面面积22()[(1)]A z z z π=-+，所求旋转体体积11

220

2()[(1)]3

V A z dz z z dz π

π==-+=

问题9 何谓柱面？母线平行于坐标轴的柱面方程有何特点？

答柱面是直线沿曲线平行移动所形成的曲面，该曲线称为柱面的准线，该直线称为柱面的母线. 母

线平行于z 轴的柱面方程为(,)0F x y =，方程中不含z .

问题10 曲线与曲线在坐标面上的投影答空间曲线可以看作两个曲面的交线.

1.曲线方程曲线的一般方程(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z =??

曲线的参数方程()()()x x t y y t z z t =??

=??=?

2.空间曲线在坐标平面上的投影空间曲线Γ的方程为(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z =??

=?，由曲线方程消去z 得到投影柱面方程(,)0H x y =，从而得到

Γ在

xoy 面上的投影方程(,)0

0H x y z =??=?

例题

求空间曲线22

z z x y

?=??=+??在xoy 面上的投影.

解

由方程组22

z z x y

?=??=+??

得22x y +=解得22

1x y +=，222

x y +=-（舍去），投影柱面为2

1x y +=，投影曲线为221,

x y z ?+=?=?

问题11 二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面和椭圆锥面）答考纲要求了解常用二次曲面的方程及其图形（用截痕法）.

椭球面的标准方程：222

2221x y z a b c

++=；

抛物面的标准方程：22

22x y z p q

（0pq >时为椭圆抛物面，0pq <时为双曲抛物面）；双曲面的标准方程：

2222221x y z a b c +-=（单叶双曲面），222

2221x y z a b c +-=-（双叶双曲面）；椭圆锥面的标准方程：222

2220x y z a b c

+-=.

例题

1.方程22222x y a z b +-=表示何种曲面？

答当0ab ≠时，22222x y a z b +-=表示单叶双曲面；

当0,0a b =≠时，222x y b +=表示圆柱面；当0,0a b ≠=时，22220x y a z +-=表示圆锥面.

2.求直线(0)x b

bc b y z c =??

≠?=??

绕z 轴旋转所得旋转面的方程，它表示什么曲面？

解设(,,)P x y z 为旋转面上任一点，过该点作z 轴的垂面，交z 轴于(0,0,)Q z ，交直线x b

b y z

c =??

?=??于

00(,,)R x y z ，则QP QR =，所以2222

00x y x y +=+，又00x b

b y z

c =???=??

，代入上式，得旋转面的方程

222

1x y z b b c +-=，这是旋转单叶双曲面. 问题12 如何画出立体的图形？

答作立体图，重要的是把关键的点、线、面画出来，如立体的边界曲面与坐标面的交线，找出它

们的公共点，画出立体的边界曲面的交线，从而画出立体图形.

例题

1.画出抛物柱面22y x =，平面0z =及

1422

x y z

++=所围成的立体的图形. 解画出平面1422

x y z

++=与三个坐标面的交线，

画出抛物柱面22y x =与xoy 面的交线，找出抛物柱面22y x =与1422

x y z

++=的公共点，并画出它们的交线，画出立体的图形.

2.画出柱面224x y +=和平面2x z +=，0z =所围成的立体.

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数呼伦贝尔学院计算机科学与技术学院服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员：宋宝文柏杨白鸽李强白坤龙

空间解析几何与向量代数摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。关键词：向量；向量代数；空间几何第一部分：向量代数第一节：向量一.向量的概念：向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。表示法：有向线段a 或a 。向量的模:向量的打小，记作|a |。向径（矢径）：起点为原点的向量。自由向量：与起点无关的向量。单位向量：模为1的向量。零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ；若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量，记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。二.向量的线性运算 1.向量的加法平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ；三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。规定： a 与a 同向时，|a |=|a |；总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积向量积

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第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点： 1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为： d 2 222 M1M 2M1NNM 2 222 M 1 p pNNM 2

而 M 1 P x 2 x 1 PN y 2 y 1 NM 2 z 2 z 1 所以 d M 1M 2 (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2 特殊地：若两点分别为 M ( x, y, z) ， o(0,0,0) d oM x 2 y 2 z 2 例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 2 ( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14 证明 : M 1M 2 M 2M 3 2 7) 2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5 2 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 3M 1(5 由于 M 2M 3 M 3 M 1 ，原结论成立。例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0, 2 ,3) 的距离为到点 P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍， 1 求点 P 的坐标。解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0) PP 1 x 2 2 PP 2 x 2 1 2 x 2 11 32 2 x 2 2 12 PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2 2 x 1

向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

第七章空间解析几何一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)

5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]

空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和向量代数总结向量的概念向量的线性运算空间直角坐标系（右手系）向量的坐标坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）方向角与方向余弦（8—1，15）向量的数量积、向量积、混合积（8—2，1、3、6、10；总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、平行（共线）、计算平行四边形面积、一向量在另一向量的投影。曲面曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10）坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面为()0 f y =；

(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面为() 0f z =。空间曲线及其方程空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）平面及其方程建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6）平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5）点的平面的距离（8—5，9）

空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、

向量代数与空间解析几何

第六章.向量代数与空间解析几何本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。向量。向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。空间直角坐标系以及向量代数。在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a ，b ，c ）。基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是，，，分别表示在X ，Y ，Z 轴上的单位向量。按照坐标三元组的写法，就是 =（1，0，0）； i r j r k r i r

空间解析几何与向量代数习题

第七章空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0

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第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4

2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章空间解析几何与向量代数一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。（Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３（Ｃ）、π／４（Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。（A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程为 5 32/1134-=+=-z y x 。三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程解所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为

高考数学解析几何和向量的结合专题

解析几何与向量的结合问题专题 1.教学目标 1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用 2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力； 3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点 2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力； 2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。 3.教学过程喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。试卷上刚做过得一题：例1：已知双曲线C ：),0,0(12 2 >>=-n m n y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r ，求直线l 的斜率； 3.1学生分析题目站在学生角度分析：（1）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，两个动M B 和，无法下手。（2）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ， B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y 然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2 2 1x y -=联立，用韦达定理

空间解析几何与向量代数

第八章空间解析几何与向量代数一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。（Ａ）、１／７（Ｂ）、－１／７（Ｃ）、７（Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。（Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３（Ｃ）、π／４（Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。（A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程为 5 32/1134-=+=-z y x 。三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.

空间解析几何与向量代数

1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程为 5 32/1134-=+=-z y x 。三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为

向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种: → a 、→ AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量→ a 、→ AB 的模分别记为||→ a 、||→ AB . 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量, 记作→0.规定：→ 0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a // b .规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算向量的加法向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的减法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 → → → → → A O O B OB O A AB -=+=, 2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义: 向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb . 例1 在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b .

高等数学向量代数与空间解析几何复习

第五章向量代数与空间解析几何 5.1向量既有大小又有方向的量表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1．方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2．单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3．模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4．向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6．叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 12 12 1z z y y x x == 7．数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→ a 与→ b 夹角为 3 π ，求||→ →+b a 。解 2 2 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ → →→ →→ →→ → → → → → ++= ?+?+?= +?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222 = +???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。解根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+

向量代数与空间解析几何教案

第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3．向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为a 。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量、、和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ，于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ，于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示

向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b.

空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。二、教学内容及学时分配：第一节向量及其线性运算2学时第二节数量积向量积和混合积2学时第三节曲面及其方程2学时第四节空间曲线及其方程2学时第五节平面及其方程2学时第六节空间直线及其方程2学时三、教学内容的重点及难点：重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程

难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题四、教学内容的深化和拓宽： 1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。 2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

空间解析几何与向量代数复习题

第八章空间解析几何与向量代数答案一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面和的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点到直线L ：的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b

空间解析几何与向量微分

第七章：空间解析几何与向量微分本章内容简介在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系一、空间点的直角坐标为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示)

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0，等。二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形 7．2 方向余弦与方向数解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。方向角与方向余弦设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中

邓泽华 向量代数与空间解析几何课件

空间解析几何与向量代数论文

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向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)

空间解析几何和向量代数总结

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