D
C
B
A
A
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(B卷)(含解答提示)
(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(
a2
b
-,
a4
b
ac
42
-
),对称轴公式为x=
a2
b
-.
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)
1.5的绝对值是()
A、5;
B、-5;
C、
5
1
;D、
5
1
-.
提示:根据绝对值的概念.答案A.
2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形,它的主视图是()
.答案D.
3.下列命题是真命题的是()
A、如果两个三角形相似,相似比为4︰9,那么这两个三角形的周长比为2︰3;
B、如果两个三角形相似,相似比为4︰9,那么这两个三角形的周长比为4︰9;
C、如果两个三角形相似,相似比为4︰9,那么这两个三角形的面积比为2︰3;
D、如果两个三角形相似,相似比为4︰9,那么这两个三角形的面积比为4︰9.
提示:根据相似三角形的性质.答案B.
4.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,若∠C=40°,
则∠B的度数为()
A、60°;
B、50°;
C、40°;
D、30°.
提示:利用圆的切线性质.答案B.
5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()
A、直线x=2;
B、直线x=-2;
C、直线x=1;
D、直线x=-1.
提示:根据试卷提供的参考公式.答案C.
6.某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,他至少要答对的题的个数为()
A、13;
B、14;
C、15;
D、16.
提示:用验证法.答案C.
7.估计10
2
5?
+的值应在()
A、5和6之间;
B、6和7之间;
C、7和8之间;
D、8和9之间.
提示:化简得5
3.答案B.
8.根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入x的值是7,则输出y的值是-2,若输入x的值是-8,则输出y的值是()
A、5;
B、10;
C、
提示:先求出b.答案C.
9.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴上,点A(10,0),sin∠COA=
5
4
.若反比例函数)0
x,0
k(
x
k
y>
>
=
经过点C,则k的值等于()
F E
D
C
B A G F E
D C
B A
A 、10;
B 、24;
C 、48;
D 、50.
提示:因为OC=OA=10,过点C 作OA 的垂线,记垂足为D ,解直角三角形OCD.答案C.
10.如图,AB 是垂直于水平面的建筑物,为测量AB 的高度,小红从建筑底端B 点出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC=BC ,在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 的高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)i =1︰2.4,那么建筑物AB 的高度约为( )(参考数据sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)
A 、65.8米;
B 、71.8米;
C 、73.8米;
D 、119.8米.
提示:作DG ⊥BC 于G ,延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52,i =1︰2.4,易得DG=20,CG=48,所以BH=DE+DG=20.8,EH=BC+CG=100,所以AH=51.答案B.
11.若数a 使关于x 的不等式组?????->--≤-)
x 1(5a 2x 6)
7x (4
123x 有且仅有三个整数解,且使关于y 的分式方程3y 1a 1y y 21-=----的解为正数,则所有满足条件的整数a 的值之和是( )
A 、-3;
B 、-2;
C 、-1;
D 、1.
提示:由不等式组的条件得:-2.5≤a<3.由分式方程的条件得:a<2且a ≠1.综上所述,整数a 为-2,-1,0.答案A.
12.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,AB=3,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,AE=1,连接DE ,将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内,得到△AEF ,连接DF ,过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( )
A 、8;
B 、24;
C 、422+;
D 、223+.
提示:易证△AED ≌△AEF ≌△BGD ,得ED=EF=GD ,∠DGE=45°,进而得∠BGD=∠AED=∠AEF=135°,易得△DEG 和△DEF 都是等腰直角三角形,设DG=x ,则EG=2x ,注意AB=3,BG=AE=1,∠AEB=90°,可解得x=2
2
2-.答案D. 二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分) 13.计算:10)2
1()13(-+-= .
提示:根据零指数幂、负整数指数幂的意义.答案3.
14.2019年1月1日,“学习强国”平台全国上线,截至2019年3月17日止,重庆市党员“学习强国”APP 注册人数约1180000,参学覆盖率达71%,稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为 . 提示:根据科学记数法的意义.答案1.18×106.
15.一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.连续掷两次骰子,在骰子向上的一面上,第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是 .
F
E
D C
B
A y/提示:由树状图知总共有36种,符合条件的有3种.答案:
12
1. 16.如图,四边形ABCD 是矩形,AB=4,AD=22,以点A 为圆心,AB 长为半径画弧,交CD 于点E ,交AD 的延长线于点F ,则图中阴影部分的面积是 .
提示:连AE ,易得∠EAD=45°.答案828-.
17.一天,小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后,在家休假的爸爸发现小明忘带数学书,于是爸爸立即匀速跑步去追小明,爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速度的
4
5
快步赶往学校,并在从家出发后23分钟到校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x (分钟)之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为 米.
提示:设小明原速度为x 米/分钟,则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟,
家校距离为11x+(23-11)×1.25x=26x.设爸爸行进速度为y 米/分钟,由题意及图形得: 11x=(16-11)y 且(16-11)(1.25x+y)=1380.解得:x=80,y=176.答案2080.
18.某磨具厂共有六个生产车间,第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品,第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的
43和3
8
.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时,每个车间原有成品一样多,检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完;乙组先
用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后,再用了4天检验完第六车间的所有成品(所有成品指原有的和检验期间生产的成品).如果每个检验员的检验速度一样,则甲、乙两组检验员的人数之比是 .
提示:设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x 个,则第五车间每天生产的产品为x 4
3个,第六五车间每天生产的产品为x 3
8
个,每个车间原有成品均为m 个.甲组有检验员a 人,乙组有检验员b 人,每个检验员的检验速度为c 个/天.由题意得: 6(x+x+x+)+3m=6ac ,bc 2m 2)x 43x (2=++
,bc 4m x 3
8
)42(=+?+由后两式可得m=3x ,代入前两式可求得.答案18︰19.
F
E D C
B
A (注:每组数据包括左端值,不包括右端值)活动前被测查学生视力频数分布直方图4127b 215.0≤x<5.24.8≤x<5.04.6≤x<4.84.4≤x<4.64.2≤x<4.44.0≤x<4.2频数分组活动后被测查学生视力频数分布表三、解答题(本大题7个小题,每小题10分,共70分) 19.计算:
(1)(a+b)2+a(a-2b)
解:原式=a 2+2ab+b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2. (2)3
m 2
m 29m 6m 21m 2++÷--+
- 解:原式=)
1m (23
m )3m )(3m ()3m (21m ++?
-+-+- =1
m 1
1m ++
- =1
m m 2
+
20.如图,在△ABC 中,AB=AC ,AD ⊥BC 于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数;
(2)若点E 在边AB 上,EF ∥AC 交AD 的延长线于点F.
求证:AE=FE.
解与证:(1)∵AB=AC ,AD ⊥BC 于点D
∴∠BAD=∠CAD ,∠ADC=90°,又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)∵AB=AC ,AD ⊥BC 于点D , ∴∠BAD=∠CAD ∵EF ∥AC , ∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F ,∴AE=FE.
21.为落实视力保护工作,某校组织七年级学生开展了视力保健活动.活动前随机测查了30名学生的视力,活动后再次测查这部分学生的视力.两次相关数据记录如下: 活动前被测查学生视力数据:
4.0,4.1,4.1,4.2,4.2,4.3,4.3,4.4,4.4,4.4,4.5,4.5,4.6,4.6,4.6 4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,4.8,4.8,4.8,4.8,4.9,4.9,4.9,
5.0,5.0,5.1 活动后被测查学生视力数据:
4.0,4.2,4.3,4.4,4.4,4.5,4.5,4.6,4.6,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8 4.8,4.8,4.8,4.8,4.8,4.8,4.9,4.9,4.9,4.9,4.9,
5.0,5.0,5.1,5.1
根据以上信息回答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ,活动后被测查学生视力样本数据
的众数是 ;
(2)若视力在4.8及以上为达标,估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少? (3)分析活动前后相关数据,从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果. 解:(1)a=5,b=4,活动前被测查学生视力样本数据的中位数是4.65,活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8; (2)16÷30×600=320.
所以七年级600名学生活动后视力达标的人数有320人.
(3)活动前的中位数是4.65,活动后的中位数是4.8,因此,活动后的视力好于活动前的视力.说明学校开展视力保健活动的效果突出.
22.在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.
定义:对于自然数n ,在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象,则称这个自然数n 为“纯数”. 例如:32是“纯数”,因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象;23不是“纯数”,因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位.
(1)请直接写出1949到2019之间的“纯数”;
(2)求出不大于100的“纯数”的个数,并说明理由. 解:(1)显然1949至1999都不是“纯数”因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位. 在2000至2019之间的数,只有个位不超过2时,才符合“纯数”的定义. 所以所求“纯数”为2000,2001,2002,2010,2011,2012. (2)不大于100的“纯数”的个数有13个,理由如下: 因为个位不超过2,二位不超过3时,才符合“纯数”的定义.
所以不大于100的“纯数”有:0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,100.共13个.
23.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数y=-2|x|的图象,经
的图象如下图所示.
(1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解析式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A ,B 的坐标和函数y=-2|x+2|的对称轴. (2)探索思考:平移函数y=-2|x|的图象可以得到函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象,分别写出平移的方向和距离. (3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-3|+1的图象.若点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)在该函数图象上,且x 2>x 1>3,比较y ,y 的大小.
解:(1)A(0,2),B(-2,0),函数y=-2|x+2|的对称轴为x=-2.
E D A E D
A (2)将函数y=-2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=-2|x|+2的图象. 将函数y=-2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=-2|x+2|的图象.
(3)将函数y=-2|x|的图象向上平移1个单位,再向右平移3个单位得到函数y=-2|x-3|+1的图象.所画图象如图所示,当x 2>x 1>3时,y 1>y 2.
24.某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位,2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费,该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费. (1)菜市场每月可收取管理费4500元,求该菜市场共有多少个4平方米的摊位? (2)为推进环保袋的使用,管理单位在5月份推出活动一:“使用环保袋抵扣管理费”,2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“使用环保袋抵扣管理费”,同时终止活动一,经调查与测算,参加活动一的商户会全部参加活动二,参加活动二的商户会显著增加,这样,6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%,每个摊位的管理费将会减少
%a 10
3
;6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%,每个摊位的管理费将会减少%a 4
1,这样,参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少
%a 18
5
,求a 的值. 解:(1)设4平方米的摊位有x 个,则2.5平方米的摊位有2x 个,由题意得: 20×2.5×2x+20×4×x=4500,解得:x=25. 答:4平方米的摊位有25个.
(2)设原有2.5平方米的摊位2m 个,4平方米的摊位m 个.则
5月活动一中:2.5平方米摊位有2m ×40%个,4平方米摊位有m ×20%个. 6月活动二中:2.5平方米摊位有2m ×40%(1+2a%)个,管理费为20×(1-%a 10
3
)元/个 4平方米摊位有m ×20%(1+6a%)个,管理费为20×(1-%a 4
1
)元/个. 所以参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费为: 2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 4
1
)×4元 这部分商户按原方式共缴纳的管理费为:
20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)元 由题意得:
2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 4
1
)×4 =[20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)]×(1-%a 18
5
). 令a%=t ,方程整理得2t 2-t=0,t 1=0(舍),t 2=0.5 ∴a=50.即a 的值为50.
25.在平行四边形ABCD 中,BE 平分∠ABC 交AD 于点E. (1)如图1,若∠D=30°,AB=6,求△ABE 的面积;
(2)如图2,过点A 作AF ⊥DC ,交DC 的延长线于点F ,分别交BE ,BC 于点G ,H ,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.
K 答图1
E D
C
B A H N M G
F
E D
C
B
A 答图2
图1
提示:(1)过B 作边AD 所在直线的垂线,交DA 延长于K ,如图,易求得BK=
2
6
.答案1.5. (2)要证ED-AG=FC.只要证ED=AG+FC ,为此延长CF 至FM ,使FM=AG ,连AM 交BE 于N 如图,则只要证ED=FM+CF=CM ,
又AE=AB=CD ,所以只要证AD=MD ,即证∠M=∠DAM.又易证△AFM ≌△BAG ,则∠M=∠AGB ,∠MAF=∠GBA=∠AEN.
四、解答题(本大题1个小题,共8分) 26.在平面直角坐标系中,抛物线y=32x 2
3
x 432++-
与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧)
,与y 轴交于点C ,顶点为D ,对称轴与x 轴交于点Q.
(1)如图1,连接AC ,BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点,过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ,作PF ⊥BC 于点F ,过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ,K 分别在对称轴和y 轴上运动,连接PH ,HK.当△PEF 的周长最大时,求PH+HK+
2
3
KG 的最小值及点H 的坐标.
(2)如图2,将抛物线沿射线AC 方向平移,当抛物线经过原点O 时停止平移,此时抛物线顶点记为D /,N 为直线DQ 上一点,连接点D /,C ,N ,△D /CN 能否构成等腰三角形?若能,直接写出满足条件的点N 的坐标;若不能,请说明理由.
提示:(1)易求A(-2,0),B(4,0),C(0,32),D(1,
4
3
9),△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时,△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 2
3
+- 设P(x, 32x 23x 432++-),则E(x, 32x 2
3+-) ∴PE=32x 23x 432++-
-(32x 2
3+-)=x 3x 432+- ∴当x=2时,PE 有最大值. ∴P(2, 32),此时
如图,将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ,
过点P 作PM ⊥l 于点M ,过点K 作KM /⊥l 于M /. 则PH+HK+
2
3
KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上.
易得PM=10,H(1,3)
(2)易得直线AC 的解析式为y=32x 3+,过D 作AC 的平行线,易求此直线的解析式为y=4
3
5x 3+,所以可设D /(m,
4
35m 3+
),平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432+
+--.将(0,0)代入解得m 1=-1(舍),m 2=5.所以D /(5,43
25). 设N(1,n),又C(0,32),D /(5,
4
325). 所以NC 2=1+(n-32)2,D /C 2=22)324
325(
5-+=161267,D /N 2=22)n 43
25()15-+-(. 分NC 2= D /C 2;D /C 2= D /N 2;NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.
答案N 1(1,4139338+),N 2(1, 4
139338-),N 3(1,41011325+),N 4(1, 41011
325-),
N 5(1,
136
3
641).