自动化专业英语教程翻译2.2

参考译文
A 稳定性和时域响应
简介
连续系统或离散系统的稳定性是由其对输入或扰动的响应决定的。直观地说，稳定系统是在没有外部激励时保持静态或平衡的系统，如果去掉所有的激励，系统会返回到静止状态。输出将经过一个过度过程，稳定在一个与输入一致或由其决定的稳态。如果我们将同样的输入加到一个不稳定系统上，输出将不会稳定到稳态过程，它将无限制的增加，通常为指数形式或增幅震荡。
稳定性可以由连续系统的脉冲响应或离散系统的Kronecker delta响应如下精确地定义：当时间趋近无穷时，如果脉冲响应

为零，则连续系统是稳定的。一个可接受的系统至少应满足三
个基本指标：稳定性、精度和满意的暂态响应。这三项标准体
现在一个可接受的系统必须对特定的输入和扰动具有满意的时
间响应。因此，虽然我们为了方便在拉氏域和频域研究问题，但至少应在定性上将这两个域同时域联系起来。
实际上，拉氏域既能提供稳定和不稳定系统的暂态响应信息，也能提供稳定系统的稳态响应的信息。本文讨论拉氏域和时间响应的关系，并重点强调暂态响应，和在拉氏域中建立系统稳定性的判剧。精度将在下一篇文章中讨论，频率响应在以后的单元中讨论。
特征方程
系统对任何输入的时间响应可表示为下式：

式中css(t)是稳态响应，ctr(t)是暂态响应。如果系统是不稳定的，就将没有稳态响应，只有暂态响应。

没有传输延时的情况下，系统的传递函数可以表示为拉氏复变量s的多项式的比值。


将分母多项式等于零即得到特征方程


并可写作因子形式


式中ri表示特征方程的根，即使得D(s)等于零的s值。这些根
可以是实根、复根或零，如果为复根，则由于微分方程的系
数为实数，复根都是成对共扼的。

拉氏域中n个不同根的暂态响应如下：



在时域中为


后一个方程的每一项被称做暂态模式。每个根都有一个暂态模式，其形状仅由根在s域中的位置决定。
因此，系统稳定的充分必要条件就是特征方程根的实部为负。这保证脉冲响应将按指数形式随时间衰减。

劳斯稳定性判剧
劳斯判剧是判断连续系统稳定性的一种方法，适用于形式如下的n阶特征方程的系统。


使用劳斯判剧表的准则如下

这里是特征方程的系数
etc.

etc.

这张表向水平（向右）垂直（向下）

方向延伸，直到得到的都是零为止。在计算下一行前，任一行都可以乘以一个正常数，这不会影响表的性质。
劳斯判剧：当且仅当劳斯表的第一列符号相同时，特征方程的所有根都有负实部。否则，具有正实部根的个数和符号变化的次数相等。
赫尔维茨判据是另一种判断连续系统特征方程的所有根都有负实部的方法。实际上，虽然形式或方式不同，它和劳斯判据原理相同，因此它们常被称为：劳斯-赫尔维茨判据。

简单滞后：一阶系统
对形如式（2-2A-1）的传递函数，系统的阶次被定义为特征方程D(s)的阶次，也就是其中s的最高次幂决定了系统的阶次。
简单一阶系统的传递函数为 ，如图2-2A-1所

示，







如果输入是一个单位阶跃R(s)=1/s，则输出为




因此暂态响应 。
第一项为强制分量，由输
入引起，第二项为暂态分量，
由系统的极点决定。图2-2A-2
给出了暂态和c(t)。暂态呈指数
衰减，常用的表示衰减速度的
量是时间常数：

时间常数是衰减指数暂态降到初始值e-1=0.368倍所用的秒数。
因为e-t/T=e-1当 t=T时，可以看出简单滞后1/(Ts+1)的时间常数是T秒。实际上，这就是简单滞后传递函数常被写为这种形式的原因。s的系数直接表明衰减的速度，4T秒后，暂态衰减到初值的1.8%。
简单滞后有两个重要特征。
1. 稳定性：对于系统稳定性，系统极点必须位于s平面的左半边，这样系统暂态衰减，而不是随时间增加而增加。
2. 响应速度：加速系统的响应（即减小时间常数）， 极点1/T应左移。

多阶滞后：二阶系统
这种常见的传递函数通常可以简化为如下的标准形式：


式中?n 是无阻尼自然频率，? 是阻尼比。这些参数的意义将被讨论。
根据阻尼比，系统特征方程


的根（极点）有三种可能：
? >1: 过阻尼：
? =1: 临界阻尼：
? <1: 欠阻尼：

图2-2A-3 显示了绘制极点位置的s平面。

对于单位阶跃输入R(s)=1/s，输出的变换为


? >1时，极点在负实轴上?n的两侧，暂态是两个衰减指数的和，每个各有其自己的时间常数。离原点最近的极点对应的指数项具有最大的时间常数，用最长的时间衰减。这个极点称为主极点。? =1时，两极点重合于?n。? <1时，极点沿着以原点为中心，?n为半径的圆周上移动。从图2-2A-3中的三角形，可以看出cos? =??n/?n=?。输出为

图2-2A-4中为对于不同阻尼比?的归一化响应曲线。暂态项为以阻尼自然频率的震荡，其幅值按

衰减。

重要的性能指标如图2-2A-5所示：
稳定时间Ts是响应永久在稳态值上下5%或2%所需的时间Ts=3T (5%)或Ts =4T (2%)。超过稳态值的最大超调量百分比是一项严格的性能指标。


令式(2-2A-9)中c(t)的导数为零，得出响应的极值，得到方程：


这意味着在各峰值 i=1， 3， 因为左右相等。因此最大值必在峰值(i=1)，峰值时间Tp为


如果式(2-2A-10)的角度的正切是 ，其正弦值 ，将式Eq. (2-2A-11)代入式 (2-2A-9)中得到

上升时间Tr，如式2-2A-5定义为响应第一次达到稳态值的时间，同极值时间Tp紧密相关。
应注意到各时间常数Ts，Tp，和Tr同时依赖于?n和?，而P.O.仅依赖于阻尼比? (图2-2A-6)。允许最大超调，和允许最小阻尼比?依赖于实际应用。对于机床进给，超调会导致车刀进入加工件，因此需要阻尼比大于1。但在很多情况下，一定的超调是允许的，由于可缩短时间Tp 和Tr，阻尼比小于1是合适的。阻尼比等于0.7，超调仅为5%，响应达到稳态更快。

如果?n增加时阻尼比不变极点会沿圆周外移，稳态时间和上升时间会下降。因此，我们可以通过调整闭环极点来调整暂态响应。






B 稳态
稳态误差
控制系统的设计目标是控制一个系统的动态性能，使之响应于命令或扰动。设计者应充分了解稳态方程和误差在整个过

程中的作用，同时也应知道它们在被控对象动态性能上的影响。
控制系统的精度是对系统跟随控制命令情况的衡量尺度。它是一个重要的性能指标；一个导航系统，如果不能把航天器置于合适的轨道上，它的暂态响应再好也没用。
精度通常是按可接受的对特定输入(Er)或扰动(Ed)的稳态误差而定的。误差e(t)定义为期望输出值r(t)和实际输出值c(t)的差。要注意，这里的误差并不一定是启动信号?(t)，除非是单位反馈系统。当系统的暂态结束后，误差e(t)成为稳态误差ess。根据终值定理，时域中的稳态误差可写作下式：

指定输入的稳态误差
对如图2-2B-1中的单位反馈系统，闭环传递函数如下式：


式中G=GcGp 是开环传递函数。
指定输入的误差E为：


式中Gr(s)=1/[1+G(s)]是指定输入的误差传递函数。

对开环传递函数G(s)，设有如下的通用式子：


在这个式子中：
1) K 已知，在分子分母多项式中，以常数项出现，使分式单位化，即传递函数G的增益。它和下一节介绍的根轨迹增益不同，后者的最高次幂项的系数是单位值1。
2) G的型数是整数n。分母中s因子代

表着积分，型数就是G中积分环节的数目n。
3) 增益，根据n的不同取值，通常的惯例，把下列名字和注解与K相联系。
n = 0: Kp = position error constant 位置误差常数
n = 1: Kv = velocity error constant 速度误差常数
n = 2: Ka = acceleration error constant 加速度误差常数

式(2-2B-4)显示 ，结合等式(2-2B-3)，这样式

(2-2B-1)可以写为：


这样容易得到对应于不同型数和输入的稳态误差表2-2B-1。
表 2-2B-1 稳态误差

扰动误差
实际系统也受非期望输入的影响，比如：控制命令中的噪声，设备运行时由于设备参数变化和运行环境变化引起的扰动。夹杂在控制命令中的噪声输入，需要用滤波技术除去或抑制，使之不影响控制输入本身。我们仅讨论在设备处进入系统的扰动，而不是从控制器中进入的，如图2-2B-2a。以干扰d作为主要输入的重画图如图2-2B-2b。

由于系统是线性的，叠加定理成立，我们可以假定r为零。单位反馈系统的扰动传递函数可写作下式：



将这个传递函数和d=0的普通输入输出传递函数相比较，如同期望的，其特征方程是一样的，但是分子函数是不同的。因此可知扰动输入不会影响系统的稳定性，但是可以改变暂态响应的形状，并且它要引入到在测量整个系统精度所必须考虑的稳态误差。
由于扰动而引起的输出的任何变化都是不希望发生的，扰动误差Ed就是它的实际输出Cd

系统总误差是输入误差和扰动误差的总和



同时减少误差的各方面因素通常是很困难的。很明显，了解一些关于干扰输入特性的知识是相当有必要的。在控制器中加一个积分器，可将式(2-2B-7)中两个误差项置为零。这个附加的积分增加了系统的型，消除了速度型误差。在扰动进入系统的入口处加上积分器，可以消除有扰动输入时阶跃信号引起的稳态误差，如果要系统稳定，这个附加的积分器必须伴有至少一个零点。