图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛
习题1
4．证明图1-28中的两图是同构的
证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图
作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)
容易证明，对?v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =????
??2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则? v ∈V(G),有d(v)< n-1 ? ∑ d(v) < n(n-1) ? 2m ? m < n(n-1)/2=??? ? ??2n , 与已知矛盾！ 充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ? m= ???? ??2n 。 9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。 (a) v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b) 证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ? ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ?v in v ik 构成一个圈 。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。 习题2 证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。 证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1 、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当)1(21-=∑=n d n i i 。 证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足E d n i i 21 =∑=，E 为T 的边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21 -=?∑=n d n i i 证明：若e 是n K 的边，则3)2()(--=-n n n n e K τ。 若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生成树的总边数为：2)1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数 为： 32 2)1(2 1 )1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为： 332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ Kruskal 算法能否用来求： 赋权连通图中的最大权值的树？ 赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？ 解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。 （2）可以，步骤如下： 步骤一：选择边e1，是的)(1e ω尽可能小； 步骤二：若已选定边i e e e ,...,,21，则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ，使 }],...,[{121+i e e e G 为无圈图 )(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权； 步骤三：当步骤二不能继续执行时停止； 习题3 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1）G 是块 （2）G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3）G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 证明：（1）→（2）： 错误！未找到引用源。是块，任取错误！未找到引用源。的一点错误！未找到引用源。，一边错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。边插入一点错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成为两条边，由此得到新图1G ，显然错误！未找到引用源。的是阶数大于3的块，由定理，错误！未找到引用源。中的u,v 位于同一个圈上，于是错误！未找到引用源。中u 与边错误！未找到引用源。都位于同一个圈上。 →(3): 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取错误！未找到引用源。的点u ，边e ，若错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如错误！未找到引用源。不在错误！未找到引用源。上，由定理，错误！未找到引用源。的两点在同一个闭路上，在错误！未找到引用源。边插入一个点v ，由此得到新图错误！未找到引用源。，显然错误！未找到引用源。的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 (3)→(1): 错误！未找到引用源。连通，若错误！未找到引用源。不是块，则错误！未找到引用源。中存在着割点错误！未找到引用源。，划分为不同的子集块错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到 引用源。无环，12,x v y v ∈∈，点错误！未找到引用源。在每一条错误！未找到引用源。的路上，则与已知矛盾，错误！未找到引用源。是块。 设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解：通常错误！未找到引用源。. 整个图为错误！未找到引用源。，割点错误！未找到引用 源。左边的图错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。的的子图，错误！ 未找到引用源。 错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。. 设T 是简单连通图G 的生成树，)(T E G T -=称为G 的余树，图G 的极小边割是指其任何真子集均不是边割的边割。证明： T 不含G 的极小边割。 e T +包含G 的唯一的极小边割，其中e 为G 的不在T 中的边。 证明：（1）设T 含有G 的极小边割S ，则T 中不含极小边割S ，由于T 是简单连通图G 的生成树，则T 中必然含有一组极小割边，这与T 中不含极小割边相矛盾，则T 中不含G 的极小边割。 （2）假设e 为T 中的一条边，根据（1）得T +e 中仍不含G 的极小割边，这与 e T +包含G 的唯一的极小边割相矛盾，则e 为G 的不在T 中的边，得证。 e H