2.9 函数模型及其综合应用
2.9 函数模型及其综合应用
考点函数的实际应用
1.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a) ?A,则实数a的取值范围是() A. B. C.∪ D. 1.答案A 2.(2013课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x) 都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 5.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f '(0)=4,g'(0)=4. 而f '(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知, f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1). 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则 F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1). 由题设可得F(0)≥0,即k≥1. 令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2. (i)若1≤k F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. (ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增. 而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. (iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k的取值范围是[1,e2]. 第二章 第十节 函数模型及其应用 1.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地， B 地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时t (小时)的 函数表达式是 ( ) A.x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5) B.x ＝60,0 2.5 150,2.5 3.515050,3.5 6.5< 《单元10 函数模型及其应用》A佳H系列测试卷（A） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共10小题，每小题4分，共40分） 1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）． A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100D．y＝100x 2.如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是（）． A．x＞0 B．x＞2 C．x＜2 D．0＜x＜2 3. 已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（）． A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1 4.已知某工厂8年来某种产品的产量c与时间f（单位：年）的函数关系如图所示，则下面四种说法中，正确的是（）． ①前三年中产量增加的速度越来越快； ②前三年中产量增加的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，这种产品产量保持不变 A.②③B．②④C．①③D．①④ 5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均 仓储时间为 8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数的是（ ）． A ．S ＝800＋ 8x B ．S ＝800x ＋8x C ．S ＝x 800＋ 8x D ．S ＝x 800＋x 6.若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则蜡烛燃烧剩下的髙度h （cm ）与燃烧时间t （小时）的函数关系用图象表示为（ ）． A ． B ． C ． D ． 7.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： ?? ? ??>≤<+≤≤=1005.1100101021014x x x x x x y ，，， ，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数 为60人，则该公司拟录用人数为（ ）． A ．15人 B ．40人 C ．25人 D ．70 人 8.有一组实验数据如下表所示： 下列所给函数模型较适合的是（ ）． A ．y ＝log a x （a ＞1） B ．y ＝ax ＋b （a ＞1） C ．y ＝ax 2＋b （a ＞0） D ．y ＝log a x ＋b （a ＞l ） 9.某商场在国庆促销期间规定商场内所有商品按标价的80%出售，同时， 当顾客在该商 函数模型的应用实例 课型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2.教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v关于时间t的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e 其中t表示经过的时间， y表示t=0时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959 函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大． 2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 （Ⅲ）教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题： 函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典 至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男 2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数 模型及函数的综合应用课时练理 1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 答案 A 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A. 2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( ) A ．3人洗澡 B ．4人洗澡 C ．5人洗澡 D ．6人洗澡 答案 B 解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17 2时，y 有最小 值，此时共放水34×17 2 ＝289升，可以供4人洗澡． 3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 B 解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2 ＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1. 4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C. 5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2 ＋(ln x 2 －2a )2 ，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 5 成立，则实数a 的值为( ) A.15 B.25 2.9 函数模型及其综合应用 五年高考 考点 函数的实际应用 1．（2013天津，8，5分）已知函数|).|1()(x a x x f +=设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ．若 ,]21 ,21[A ?-则实数a 的取值范围是( ) )0,251.(-A )0,231.(-B )231,0()0,251.(+- C )2 51,.(--∞D 2．（2012北京，8,5分）某棵果树前n 年的总产量S 。与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( ) 5.A 7.B 9.C 11.D 3．（2013湖南．16,5分）设函数,)(x x x c b a x f -+=其中.0,0>>>>b c a c (1)记集合c b a c b a M ,,1),,{(=不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则M c b a ∈),,(所对应的 )(x f 的零点的取值集合为 (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ;0)(),1,(>-∞∈?x f x ① ,R x ∈?②使c b a xx x ,,不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则),2,1(∈?x 使.0)(=x f 4．（2013课标全国I ．21，12分）设函数)(,)(2x g b ax x x f ++=).(d cx e x +=若曲线)(x f y =?和曲 线)(x g y =都过点P(O ，2)，且在点P 处有相同的切线.24+=x y (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若2-≥x 时，),()(x kg x f ≤求k 的取值范围． 5．（2012江苏，17，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程k x k kx y <+- =22)1(20 1 )0>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； 第9讲函数模型及其应用 基础知识整合 1．常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 □01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与□04y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与□05x轴平行 随n值变化而各有 不同值的比较 存在一个x0，当 x>x0时，有 log a x 上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private －Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1 256 ”，解密后得到的明文是( ) A ．12 B ．14 C ．2 D ．18 答案 A 解析 由已知，可得当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ·43，解得k ＝243＝1 32，故y ＝132x 3.令y ＝132x 3＝1256，即x 3＝18，解得x ＝1 2.故选A ． 2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x 答案 D 解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D ． 3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税， 2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型f(x)＝ k x＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使0x a 函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系. 第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1．通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2．初步了解对统计数据表的分析与处理． 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型：()x f x a b c =+g （0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤： 1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。 2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。 3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。 4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元． 销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一，为此，新课标实验教材（人教A版）特将“函数的应用”独立成章，其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析，本小节教材内容彰显如下三个特点： （1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受. （2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力. （3）本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息，建立函数模型解决实际问题，体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课，教材共安排了4个例题(例3～例6)，大致分为两类，其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题，例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合，再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标： 1.通过例3的教学，使学生能根据图象信息建立分段函数模型；通过例5的教学，使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型； 2.学生在根据图表信息建立函数模型后，要求会利用所建立的函数模型解决实际问题，体现函数建模的应用价值； 3.解决数学应用性问题，是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言 第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数模型及其综合应用 模拟创新题文新人教A版 选择题 1.(2016·广东汕头一中月考)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度 如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙 所示. 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 解析由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确. 答案A 2.(2016·山东青岛调研)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票 先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股 票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 解析设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a，故该股民这支股票略有亏损. 答案B 3.(2015·长春联考试题)某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的 单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片 还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x 个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( ) A.x ＞1 800 B.x ＞1 600 C.x ＞500 D.x ＞1 400 解析 由题意知，当800＋0.6x ＜1.1x 时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x ＞1 600. 答案 B 4.(2014·湖南岳阳质检)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( ) A.x ＝15，y ＝12 B.x ＝12，y ＝15 C.x ＝14，y ＝10 D.x ＝10，y ＝14 解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54 (y －12)2 ＋180， ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A 5.(2015·河北衡水中学模拟)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A.10 B.11 C.13 D.21 解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100 x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋ 100 x ＋1.5≥2 x · 100 x ＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100 x ，即x ＝10时取等号，所以选A. 《函数模型的应用实例》教学设计 一、教学内容 普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型； 2.会利用建立的函数模型解决实际问题； 3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程； 2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心； 2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度； 3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析 本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 四、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 五、教学过程 （一）交流成果提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题. 【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建 立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力， 也很自然地引入课题. （二）分析探究解决实例 【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如 图1所示. （1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义； 函数模型的应用实例习题（含答案） 一、单选题 1上是增函数，则a的取值范围是（）． A 2．已知正方形的边长为4，动点从点开始沿折线向点运动，设点运动的路程为，的面积为，则函数的图像是（） A．B．C． D． 3．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( ) A．B．. C．D． 4．某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km 以内（含3km ）为8.00元；达到3km 后，每增加1km 加收1.40元；达到8km 后，每增加1km 加收2.10元．增加不足1km 按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的km 数可以是（ ）． A ． 22 B ． 24 C ． 26 D ． 28 5．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，当0x >时，()ln(|1|1)f x x =-+，则函数()f x 的图象大致为（ ） 6．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，甲获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中 A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利1元 C ．甲盈利9元 D ．甲亏本1.1元 7 ） 8．已知函数22,0()2cos ,0 x x f x x x ?->=?≤?，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为),2[+∞- 9．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝ 其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ( ) A ． 15 B ． 40 C ． 25 D ． 130 二、填空题 10．某出租车租赁公司收费标准如下：起价费10元（即里程不超过5公里，按10元收费），超过5公里，但不超过20公里的部分，每公里按1.5元收费，超过20公里的部分，每公里再加收0.3元． （1）请建立租赁纲总价y 关于行驶里程x 的函数关系式； （2）某人租车行驶了30公里，应付多少钱？（写出解答过程） 11．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米／每小时) ()50120x ≤≤的关系可近似表示为： 0,50,80 （Ⅰ）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ （Ⅱ）已知,A B 两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 12．某商品在近30天内每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是 30,015,60,1530,t t t N P t t t N +<<∈?=?-+≤≤∈?，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40(030,)Q t t t N =-+<≤∈，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天． 13．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝n (n ＋1)(2 n ＋1)吨，但如果年产量超过150 2.8 函数模型及综合应用 探考情悟真题 【考情探究】 考点内容解读 5年考情 预测热度考题示例考向关联考点 函数模型及综合应用1.了解指数函数、对数函数 以及幂函数的变化特征. 2.能利用给定的函数模型解 决简单的实际问题. 2018浙江,11,6分函数模型及综合应用解方程组★★★ 分析解读 1.函数模型及综合应用是对学生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题. 2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题. 3.预计函数模型及综合应用的有关问题在2021年高考中出现的可能性很大,应高度重视. 破考点练考向 【考点集训】 考点函数模型及综合应用 1.已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为 q(x)=则当该服装厂所获效益最大时,x=( ) A.20 B.60 C.80 D.40 答案 C 2.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要分钟. 答案10 炼技法提能力 【方法集训】 方法函数应用题的解法 1.(2019广东广州一模,7)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( ) 答案 B 2.(2018河北承德期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元. 一、选择题 1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( ) A．10% B．12% C．25% D．40% 解析：利润300万元，纳税300·p%万元， 年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1000×2%＝180(万元)， 纳税180·p%万元， 共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)， p%＝1 4＝25%. 答案：C 2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件 时的生产成本为C(x)＝1 2x 2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企 业一个月应生产该商品数量为( ) A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－1 2(x－18) 2＋142， 当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：B 3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提升1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( ) A．100元B．110元 C．150元D．190元 解析：设售价提升x元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x) ＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500. 故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元． 答案：D 4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝60t ＋50t C ．x ＝????? 60t (0≤t ≤2.5)150－5t (x ＞3.5) D ．x ＝????? 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5) 150－50(t －3.5)(3.5＜t ≤6.5) 解析：到达B 地需要15060 ＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150； 当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D 5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100 解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 答案：C 二、填空题 6．某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗， 开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则 截取的矩形面积的最大值为________． 解析：依题意知：20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )， ∴阴影部分的面积 S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54 (－y 2＋24y )， ∴当y ＝12时，S 有最大值为180.第二章 第10节 函数模型及其应用
《单元10 函数模型及其应用》系列测试卷(A)
函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计
高一数学函数模型及其应用练习题2
2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)教案 新人教A版必修1
函数模型的应用实例(Ⅲ)
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理
2.9 函数模型及其综合应用-5年3年模拟北京高考
第2章第9讲 函数模型及其应用
函数模型及其应用
第17讲 函数模型的应用实例(基础)
3.2.2几种函数模型的应用举例
《函数模型的应用实例》说课稿
2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数模型及其综合应用模拟创新题文新人
函数模型的应用实例教学设计
函数模型的应用实例
2.8 函数模型及综合应用(试题部分)——【2021 大一轮】
第二章 第十节 函数模型及其应用
- 第2章第9讲 函数模型及其应用
- 高中数学人教版必修1函数模型及其应用教学设计
- 函数模型及其应用
- 第二章 第10节 函数模型及其应用
- 函数模型及其应用
- 函数模型及其应用
- 第二章__第十节__函数模型及其应用
- 高中数学函数模型及其应用
- 【精准解析】2021新高考数学(江苏专用)课时精练：2.10+函数模型及其应用
- 函数模型及其应用
- 2-10第十节 函数模型及其应用(2015年高考总复习)
- 《2.10第十节 函数模型及其应用》 教案
- 10函数模型及其应用-学生版
- 统考版2022届高考数学一轮复习第2章函数第10节函数模型及其应用教师用书教案北师大版.doc
- 高一数学函数模型及其应用练习题2
- 第二章 第十节 函数模型及其应用
- 高中数学 函数模型及其应用
- 理科数学学霸笔记10 函数模型及其应用
- 《2.10第十节 函数模型及其应用》 学案
- 函数模型及其应用