人教版九年级数学上册《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ

唐玲

初中数学试卷

九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ

二次函数的图象及其性质

编写：赵化中学 郑宗平

知识点：

1、二次函数的定义：形如 （a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注

意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）. 2、二次函数的图象：

二次函数的图象是一条 ；是 对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：

①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 .

②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 . ③.抛物线()

()2

y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．

：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．

：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .

⑵.配方形式：()()2

y a x h k a 0=-+≠

抛物线()()2

y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．

：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .

若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移：

①. 向 平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠； ②.向 平移()h h 0>个单位可以得到()()2

y a x h a 0=-≠；

③.向 平移()h h 0>个单位，再 移()h h 0>个单位可以得到()()2

y a x h k a 0=-+≠.

⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠

抛物线()2y ax bx c a 0=++≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．

：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，b

x 2a

=-时，y 取最 值为 ；当a 0<，b

x 2a

=-时，y 取最 值为 .

例题解析：

例1、选择题：

⑴.对于抛物线()21

y x 132

=-

++，下列结论：①.抛物线开口向下；②.对称轴是直线x 1=；③.顶点坐标为(),13-；④.当x 1>时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 ⑵.在同一平面直角坐标系中，直线y ax b =+和抛物线2y ax bx c =++的图象可能是 （ ）

例2、填空题：

⑴.二次函数2y x 2x 4=+-的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .

⑵.若函数()

2

2m

m

y m m x 4x 1-=++-是二次函数，则m = ，其图象的顶点坐标为 .

⑶.如果抛物线2y x 6x c =++在x 轴上，则c 的值为 .

A x y O

B x y O D x y O

C x y O x

y

O

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⑷.如图二次函数22y x 2mx m 4m 5=-+--的大致图象，则m = .

⑸.已知抛物线2y x 4x =-有两点(),,11221P 3y P y 2??

- ???

、，则12y y 、的大小关系为1y 2y .

（填“>”、“<”或 “=”）.

⑹. 二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐标满 足右表，则该函数顶点的坐标为 ，m = . ⑺.已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方

向向上，顶点在第三象限，则点,2b A b 4ac a ?

?-- ??

?在第 象限.

例3、已知抛物线2y x 2x 3=--+ ⑴. 求抛物线的对称轴和顶点坐标；

⑵.画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；

⑶.观察图象，你能得出哪些结论？请至少写出三条.

例4、已知抛物线2

y x 4x 5=-++.

⑴. 求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标； ⑵.画出抛物线的大致图形；

⑶.求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.

追踪练习：

1.选择题：

⑴.如图，抛物线()2

1y a x 23=+-与(

)2

21y x 312

=-+交于点(),A 13，过点A 作x 轴的平行线，

分别交两条抛物线于B C 、两点，则以下结论：

①.a 1= ；②.无论x 取何值，2y 的值总是正数；③.2AB 3AC =.

④.当x 0=时，21y y 4-=； 其中正确的结论是 （ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

⑵.若,,,,,123351A y B y C y 444??????

- ? ? ???????

为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则

123y y y 、、的大小关系是 （ ） A.123y y y << B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y << ⑶.若抛物线2y x 2x c =-+与y 轴的交点为(),03，则下列说法不正确的的是

（ ）

A.抛物线的开口向上

B.抛物线的对称轴是x 1=

C.当x 1=时，y 取最大值为4-

D.抛物线与x 轴的交点为()(),,1330-， 2.填空题：

⑴.抛物线2y 4x 8x 3=-+-的开口方 ，对称轴为 ，顶点坐标为 .

⑵.已知下列函数：①.2y x =；②. 2y x =-；③. ()2

y x 12=-+.其中，图象通过平移可以得到2y x 2x 3=-+-的图象有 .（填序号）.

⑶.在二次函数2y x 3x 1=-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 .

⑷.二次函数2y ax bx c =++的部分点的坐 标满足右表，则该函数顶点的坐标为 .

⑸. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点,c A b a ??

???

在第

象限.

⑹.已知抛物线()2y 2x m 3x 1=-+++的对称轴在y 轴的右侧，最大值为2，则m = .

⑺.若抛物线()()

22y m 2x 4m x m 3=-+--+的顶点在y 轴上，则此抛物线的开口方向 ，

y 有 （填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 .

⑻.如图两条抛物线,22

1211y x 1y x 122=-+=--分别经过()(),,,2020- 且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .

⑼.已知函数()2a 5

y a 1x 3x a 1

+=-++-的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范

围是 .

⑽.二次函数()2

y a x m n =++的图象如图所示，则一次函数

y mx n =+的图象经过 象限.

3、已知二次函数2y x bx 3=++的图象经过点(),30.

⑴.求b 的值；

⑵.求出该二次函数顶点的坐标和对称轴；

⑶.在所给的坐标系中画出2y x bx 3=++的图象； ⑷.若抛物线2y x bx 3=++与坐标均有交点，请求出顺次 连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的 面积.

4、如图所示，已知二次函数2y x 2x 1=--的图象的顶点为A ,二次函数 2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 以及另一点C ,它的顶点B 在函数 2y x 2x 1=--上的图象的对称轴上.

⑴.求点A 以及点C 的坐标；

x

y

–1

–2–3123

–1–2–3

1

23O

x y C

B A O x

y

–1

–2

–3

123

–1–2–3

1

23

O

x

y

–1–2

123

–1

–2

1

2O

2y x 2x 1

=--x

y O

x y y 2

y 1

–1–2–3123–1

–2

–3

–4

1

2

O

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⑵.当四边形AOBC 为菱形时，求2y ax bx =+的关系式. ⑶.求四边形AOBC 为菱形时的面积.

九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅱ

求二次函数的解析式问题

知识点：

1、待定系数法的一般步骤:

设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2、常见的求二次函数解析式的方法和途径： ⑴.一般式：

①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠； ②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式：

①.设出二次函数的顶点式为：()()2

y a x m n a 0=++≠；

②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式：

①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；

②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式：

①.设出二次函数的特殊式：

若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()

()2

y a x h a 0=+≠的形式；

②.代入条件构成方程或方程组；

③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式

平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：

①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2

y a x m n a 0=++≠；

②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平

移的规律是：

若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；

若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.

一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减”；上下平移决定配方式括号外后面n 数据的变化，口诀是“上加下减”. ⑹.对称式

①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.

②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.

例题解析：

例1、二次函数2y ax bx c =++的图象是过点()(),,,5A 1B 04C 402?

?--- ??

?、、的一条抛物线．

⑴.求这个二次函数的关系式；

⑵.求这条抛物线的顶点D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线； ⑶.x 为何值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少? ⑷.x 在什么范围内，y 随着x 的增大而增大?

⑸.求四边形OBDC 的面积．

例2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为

4m ，跨度为10m ，把它图形放在直角坐标系中（见示意图）

⑴.求此抛物线所对应的函数关系式；

⑵.在对称轴右边1m 处桥洞离水面高是多少米？

例3、已知抛物线经过()()(),,,A 30B 20C 14、、，求抛物线的顶点的坐标？

变式：若把上面例题中坐标“()(),,A 30B 20、”改为“()(),,A 14B 44、”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢？

例4、已知Rt ABC V 中，ACB 90AB 25AC 20∠===o ，， ；若以边 AB 所在的直线为x 轴，Rt ABC V 斜边AB 的高OC 所在的直线作 为y 轴建立平面直角坐标系（见图示）

⑴.请至少用三种不同求解析式方法求出过A B C 、、三点的抛物 线的解析式；

⑵.求出⑴问中抛物线的顶点的坐标和对称轴.

追踪练习： 1、分别写出．．．．

抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y 轴，物线的与x 轴有且x y

4m 1m 10 m M O x y

C B A O

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只有一个交点的解析式各至少两个.（答案不唯一） 2、分别按条件写出平移后的解析式：

⑴.抛物线2y 2x 4x 1=-+-向左平移3个单位后的解析式是 ； ⑵.抛物线2y x 6x 2=+-向下平移4个单位后的解析式是 ；

⑶.抛物线21

y x 2x 22

=-+-先右平移2个单位后再下平移3个单位的的解析式是 .

3、根据给出条件求，二次函数的解析式：

⑴.已知二次函数图象顶点在y 轴上，且过()(),A 16B 23-、，两点； ⑵.已知二次函数图象顶点在x 轴上，且过()(),A 20B 08、，

两点； ⑶.已知二次函数图象对称轴为直线x 2=，且经过点(),14和(),50； ⑷.已知二次函数图象经过()()(),,,A 11B 02C 13--、、三点； ⑸.已知二次函数图象经过()()(),,,A 30B 20C 14、、三点； ⑹.已知二次函数图象经过()()(),,,A 16B 26C 14、、三点；

⑺.与已知抛物线2y x 4x 1=-+-关于直线x 3=对称.

4、在一幢建筑物里10米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙1.5米远，并且落在离墙4米处的地面上，求抛物线的顶点比喷射点高多少米？

5、已知抛物线的顶点M 坐标为(),-23，且过点()A 15-，

，求此抛物线的解析式？ 6、已知二次函数当x 1=时，函数y 有最大值0，且经过点()A 14--，

. ⑴.求该二次函数的解析式；

⑵.如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在(),B 23-上？ ⑶.写出平移后的点A 的对应点'A 的坐标是多少？

7、如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的顶点为A ,与坐标轴的交点 分别为B C 、.根据图中标示： ⑴.求此抛物线的解析式；

⑵.请顺次连结A B C 、、，试求ABC V 的面积.

8、如图抛物线的顶点为(),A 33--，此抛物线交x 轴交于O B 、两点. ⑴.求此抛物线的解析式； ⑵.求△AOB 的面积；

⑶.若抛物线上另有一点P 满足S △POB =S △AOB ,请求出P 的坐标. 9、 如左图，在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x 2

=经过平移得到抛物线2

1y x 2x 2

=

-. ⑴.抛物线是如何平移的？

⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？ （阴影部分见示意图）

10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直 角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1. ⑴.求助此抛物线的解析式；

⑵.若将此抛物线先向右平移4个单位，再向下移2个单位，请 化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；

⑶.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离； ⑷.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解 析式.

11、如图①，已知抛物线2y ax bx c =++ 经过()()(),,,A 03B 30C 43、、.

⑴.求抛物线的解析式；

⑵. 求抛物线的顶点的坐标和对称轴； ⑶.把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴 上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分）.

12、如图，在矩形OABC 中，,AO 10AB 8==,沿直线CD 折叠矩形OABC

的一边BC ,使点B 落在OA 边上的点E 处，抛物线2y ax bx c =++经过

O D C 、、三点. ⑴.求AD 的长； ⑵.抛物线的解析式.

九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅲ

二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）

知识点：

1. 二次函数与一元二次方程的关系：

已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.

⑴.△2b 4ac 0->（） ? 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ? 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ? 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点.

x

y

–1

1

2

3

–1–2

1

2C

B A O

x

y

y

= 12

?x 2 2?x y

= 1

2

?x 2O

x

y

-3

-3

O

x

y

E D A C

B

O

x

y

–1–2–3–4–5123

45

–1–2–3

–4–5–6–7

1

23

O

x

y 2

4

2

468101214

O 4题图

x

y 433C B

A O ①x

y

4

3

3C

B

A O ②

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⑷.△2b 4ac 0-≥（） ? 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系：

已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.

⑴.当a 0>时：

①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：

①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体. 例题解析：

例1、已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图，且

OA OB =,有以下结论：①.abc 0>；②.

=-2

4ac b

14a

-；③. a b c 0-+>; ④.2b 4ac 0-<；⑤.4a 2b c 0-+<；⑥.b 2a 1+>；⑦.ac b 10++<. 其中正确的有 （填序号）.

例2、已知二次函数2

y x 2x m =-++的部分图象如图所示. ⑴.求关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-++=的解； ⑵.根据图象写出不等式2x 2x m 0-++<的解集.

例3、已知二次函数22y 2x mx m =--

⑴.求证：对于任意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点； ⑵.若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A B 、，且点A 坐标为 (),10，求点B 的坐标.

例4、二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，根据图象解答：

⑴.写出方程2ax bx c 0++=的两根；

⑵.写出不等式2ax bx c 0++>的解集；

⑶.写出y 随x 的增大而减小的自变量的取值范围；

⑷.若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 追踪练习： 1、选择题：

⑴.已知二次函数2y x bx 2=+-的图象与x 轴的一个交点的坐标为(),10，则它与x 轴的另一个交点的坐标为 （ ） A.(),10 B.(),20 C.(),20- D.(),10- ⑵.已知函数()2y k 3x 2x 1=-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ）

A.k 4<

B.k 4≤

C.k 4<且 k 3≠

D.k 4≤且k 3≠

⑶.已知二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对

应值如右表，则下列判断正确的是 （ ） A.当x 0>时， B.抛物线与y 轴交于负半轴

C.y 0>抛物线开口向上

D.方程2ax bx c 0++=的正根在3和4 之间. 2、填空题：

⑴.已知抛物线2y ax 2ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(),10-，则一 元二次方程2ax 2ax c 0-+=的根为 .

⑵. 如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，则2ax bx c 0++= 时x = ；2ax bx c 0++>时x 的取值范围是 ；2ax bx c 0++< 时x 的取值范围是 .

⑶.若()2y 2x m 2x 1=-+-+在x 轴上截得的线段长为6，则m = . ⑷.如图是二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象，有以下结论：

①.ab 0>；②.a b c 0++<；③.b 2c 0+<；④.a 2b 4c 0-+>；

⑤.3

a b 2

=. 其中正确的有 （填序号）. 3、已知二次函数2y x 2x m 1=++-.

⑴.若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值；

⑵.若该二次函数的图象与一次函数y x 2m =+的图象只有一个交点，求m 的值.

4、已知二次函数2

y x kx k 5=-+-

⑴.求证：无论k 取何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点；

⑵.若此二次函数图象的对称轴为x 1=，求它的解析式；

⑶.若⑵中的二次函数的图象与x 轴交于A B 、，与y 轴交于点C ； D 是第四象限函数图象上的点，且OD BC ⊥于H ,求点D 的坐标． 5、已知二次函数()()

222y x m 8x 2m 6=-+++.

⑴.求证：不论m 取何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴. ⑵.设函数的图象与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值.

九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅳ

利用二次函数的解决实际问题举例

利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.下面我就本专题作简单的分类举例：

题目一：利用二次函数解决面积问题

例1、如图，在矩形ABCD 中，,AB 6cm BC 12cm ==；点P 从点A 点开始沿AB 边向点B 一每

1x 3

=-

x

y

–1–21

O

x y

–1123

–1–2

123O

x

y

1

-6

O

x

y

3

1O

例2图

x

y

H D B A C O 例1图

x

y –1

1

–1

B

A

C

O

D

A B

C

P Q

唐玲

秒1cm 的速度运动；点Q 从点B 点开始沿BC 边向点C 一每秒2cm 的速度运动；若P Q 、分别同时从A B 、同时出发，设S 表示PDQ V 的面积,x 表示运动时间. ⑴.求出S 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.求出S 的最大值或最小值，并说明理由.

例2、如图，抛物线经过()(),,,10A 10B 50C 03??

???

、、三点，设(),E x y 是抛物线上一动点，且在x

轴的下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形.

⑴.求抛物线的解析式；

⑵.当(),E x y 运动时，试求平行四边形OEBF 的面积A 与x 之间

的函数关系式，并求出最大面积； ⑶.是否存在着样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存

在，求E 点和F 的坐标；若不存在，请说明理由.

题目二：利用二次函数解决利润等代数问题

例1、某商场一商场某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价x （元）与产品销售量y （件）之间的关系如下表，且日销售量y （件）与是偶家x （元）是一次函数. ⑴.求出日销售量y （件）与是偶家x （元） 的函数函数关系式.

⑵.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应 定为多少元？此时最大利润是多少？

例2、千年古镇赵化的某宾馆有50个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）.

⑴.设一天的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； ⑵.设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； ⑶.一天订住多少房间时宾馆的利润最大？最大利润是多少？

题目三：利用二次函数解决抛物线形问题

例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB 时，拱 桥顶离水面2米（见图示），水面AB 宽为4米；若水 面下降1米，水面CD 宽度增加多少米？

追踪练习：

1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件文具售价不能高于40元.设每件文具的销售单价上涨x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元.

⑴.求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； ⑵.每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是2520元？

⑶.每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大？最大月利润是多少？

2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗.他已备足可以修高.15m 、长18m 的墙的材料准备施工，

设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为x m ，即AD EF BC x m ===(不考虑墙的厚度)

⑴.若想水池的总容积为336m ，x 的值应为多少？

⑵.求水池的容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围. ⑶.若想使水池的容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？

3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱FE 的高度为

3.6米.

⑴.求正中间的立柱OC 的高度； ⑵.是否存在一根立柱，其高度恰好是OC

的高度的一半？请说明理由.

4、身高为.18m 的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为.305m ，小王站在与篮圈中心的水平距离4m 的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为.25m 时，球达到距离地面.35m 的最高点.，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈. ⑴.请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；

⑵.若篮球在小王的头顶上方.025m 出手，问：球出手时，他跳离地 面的高度是多少米？

⑶.若是身高.226m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也 和本题的一样，球在姚明头顶上方.034m 处出手，则姚明

应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮

球准确落入篮圈？

x y

F

B A C

O E

A B F C

O E C

F

D

B A E .25m 4m

.35m .305m

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

初三数学上册同步练习题精选

初三数学上册同步练习题精选 学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。因此，小编精心为大家整理了这篇初三数学上册同步练习题精选，供大家参考。 一、选择题(在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上;本题共32分，每小题4分) 1. 已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P A. 在⊙O外 B. 在⊙O上 C. 在⊙O内 D. 不能确定 2. 已知△ABC中，C=90，AC=6，BC=8，则cosB的值是 A.0.6 B.0.75 C.0.8 D. 3.如图，△ABC中，点 M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是 A . B . C. D. 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A. B. C. D. 5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2= cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 A.外离 B.外切 C.内切 D.相交 6. 某二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正

确的是 A. a0, c0 B. a0, c0 C. a0, c0 D. a0, c0 7.下列命题中，正确的是 A.平面上三个点确定一个圆 B.等弧所对的圆周角相等 C.平分弦的直径垂直于这条弦 D.与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线 8. 把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是 A.y=-(x+3)2-2 B.y=-(x+1)2-1 C.y=-x2+x-5 D.前三个答案都不正确 二、填空题(本题共16分, 每小题4分) 9.已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比 _____ . 10.在反比例函数y= 中，当x0时，y 随 x的增大而增大，则k 的取值范围是_________. 11. 水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________;甲队以2∶0战胜乙队的概率是________. 12.已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为 _________ cm.

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ）

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，

九年级数学上册练习题及答案

九年级数学上册练习题及答案 九年级数学试题一选择题：1、下列命题中的真命题是、 A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、中心对称图形都是轴对称图形 C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D、等腰梯形是中心对称图形 第2题图2、如右图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 A．2cmB．3cm C．23cm D．25cm3、如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30?，则∠A的度数． A、30? B、45? C、60? D、75?、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列条件正确的是 A．ac＜0 B、b－4ac＜0 C、 b＞0 D、 a＞0,b＜0,c＞05、抛物线y= x 向左平移8个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是 A、 y=2- B、 y=2+ C、 y=2-

D、 y=2+96．如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是2第3题图 第4题图7、某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程中正确的是 A、2892=25 B、2562=289 C、289=25 D、256=28 98、如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点 A、C分别在y 轴、x轴上,以AB为弦的⊙M与x轴相切、若点A的坐标为,则圆心M的坐标为 A、 B、 C、 D、9．若点A的坐标为O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90得到OA′，则点A′的坐标是 A、 B、 C、

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。

人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套

人教版九年级数学上册中考专题复习题 1.类比归纳专题：配方法的应用 2.类比归纳专题：一元二次方程的解法 3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题 4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合 5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题 6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围 7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做) 8.抛物线中的压轴题 9.易错专题：抛物线的变换 10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算 11.旋转变化中的压轴题 12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度 13.类比归纳专题：切线证明的常用方法 14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法 15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积 16.考点综合专题：圆与其他知识的综合 17.圆中的最值问题 18.抛物线与圆的综合 19.易错专题：概率与放回、不放回问题

类比归纳专题：配方法的应用 ——体会利用配方法解决特定问题 ◆类型一 配方法解方程 1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2 C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2 D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0 化为????t －742 ＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0 化为????x －232＝109 3．利用配方法解下列方程： (1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0； (2)(x ＋4)(x ＋2)＝2； (3)4x 2－8x －1＝0； (4)3x 2＋4x －1＝0. ◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．5 5．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ） A ．有最大值13 B ．有最小值－3 C ．有最大值37 D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数． 7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N . ◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．±2 9．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．－9或11 B ．－7或8 C ．－8或9 D ．－6或7 ◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ） A ．3 B ．－1 C ．2 D ．－2 11．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．

九年级数学上册综合练习题及答案

慧学云教育 九年级数学试题（图形与证明二） 一．选择题 1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（) A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形 2、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥， BC GH AD ∥∥，那么下列说法中正确的是（） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．绿花、黄花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、紫花种植面积一定相等 3．如图，直线1l ∥2l ，若155,265∠=?∠=?，则3∠ A 50? B 55? C 60? D 65? 4、若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（） A ．50° B ．100° C ．80° D ．65° 5、如图1，□ABCD 的周长是28㎝，△ABC 的周长是A ．14㎝B ．12㎝C ．10㎝D ．8㎝ 12 6、下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为（） A ．20B ．30C ．40D ．10 8、如图2，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（） A ．四边形ABCD 是平行四边形B ．AC ⊥BD C ．△ABD 是等边三角形 D ．∠CAB ＝∠CAD 9、如图3，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥． 下列四个判断中，不正确．．． 的是（） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形 Ｂ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形 10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（） A ．S=2 B ．S=4 C ．S=2.4 D ．S 与B E 长度有关 二．填空题 11．已知平行四边形ABCD 中,AB =14cm,BC =16cm,则此平行四边形的周长为_____cm. 12．矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为cm. Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ 3

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》 圆是常见的几何图形， 是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？ 设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知，形成概念 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

九年级上册数学 压轴解答题专题练习(解析版)

九年级上册数学 压轴解答题专题练习（解析版） 一、压轴题 1．阅读理解： 如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”． 解决问题： （1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号) ①ABM ；②AOP ；③ACQ （2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为 1 2 ，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于 3 ，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围． 2．问题提出 （1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积． 问题探究 （2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值． 问题解决 （3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值． 3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作 Rt ABQ △，使90BAQ ∠=?，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右 侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点 E ．在射线CD 上取点 F ，使3 2 DF CD = ，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x = （1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ． （2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形． 4．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ? =∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点 D ，使CD CF =，点 E 是射线B F 与射线DA 的交点．

初三上学期数学圆试题一及答案

九年级上册 初三数学圆测试题一附参考答案 一、填空题（每题3分，共30分） 1．如图1所示AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若OA=2cm ，OC=1cm ，则AB 长为______． ? 图1 图2 图3 2．如图2所示，⊙O 的直径CD 过弦EF 中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF=______． 3．如图3所示，点M ，N 分别是正八边形相邻两边AB ，BC 上的点，且AM=BN,则 ∠MON=_________________度． 4．如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是_______． 5．如图4所示，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm ）?则该圆的半径为______cm ． 图4 图5 图6 6．如图5所示，⊙A 的圆心坐标为（0，4），若⊙A 的半径为3，则直线y=x 与⊙A?的位置关系是________． 7．如图6所示，O 是△ABC 的内心，∠BOC=100°，则∠A=______． 8．圆锥底面圆的半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为________．（用含 的式子表示） 9．已知圆锥的底面半径为40cm ，?母线长为90cm ，?则它的侧面展开图的圆心角为_______． 10．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A ，C 为圆心的两圆相切，点D 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，那么⊙A 的半径r 的取值范围为________． 二、选择题（每题4分，共40分） 11．如图7所示，AB 是直径，点E 是半圆 AB 中点，弦CD ∥AB 且平分OE ，连AD ，∠BAD 度数为（ ） A ．45° B ．30° C ．15° D ．10° 图7 图8 图9 12．下列命题中，真命题是（ ） A ．圆周角等于圆心角的一半 B ．等弧所对的圆周角相等 C ．垂直于半径的直线是圆的切线 D ．过弦的中点的直线必经过圆心 13．半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ，若3

新人教版九年级上册数学全册教案

《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）

人教版九年级上册数学公式汇总

第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相

人教版九年级数学上册 几何模型压轴题专题练习(word版

人教版九年级数学上册 几何模型压轴题专题练习（word 版 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值． 【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492 ． 【解析】 【分析】 （1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE = ，1 2 PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABD ACE ???，得出BD CE =，同（1）的方法得出1 2 PM BD = ，1 2 PN BD = ，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ?的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1） 点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，1 2 PN BD = ， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，

人教版数学九年级上册圆知识点总结

人教版数学九年级上册圆知识点总结 人教版数学九年级上册圆知识点总结 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=cπ

人教版九年级上册数学全册教案

第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫

最新初三九年级数学上册数学压轴题专题练习(解析版)

最新初三九年级数学上册数学压轴题专题练习（解析版） 一、压轴题 1．阅读理解： 如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”． 解决问题： （1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号) ①ABM ；②AOP ；③ACQ （2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为 1 2 ，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于 3 ，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围． 2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=?===，，点 P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速 度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点 P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时 间为ts ． （1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38 83 a t == ，时，证明：ADF CDF S S ??=． 3．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒） （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形. （2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 4．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4． （1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由． 5．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ? =∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点 D ，使CD CF =，点 E 是射线B F 与射线DA 的交点．