等差数列

等差数列

1．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ）

A ．66

B ．99

C ．144

D ．297

2．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ）

A ．66

B ．99

C ．144

D ．297 3．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．1

4．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．1

5．各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，，22a 成等差数列，

)

A.1

B.3

C.6

D.9

6．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若

） A

7．等差数列{a n }满足a 4＋a 7＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15 8．等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )．

A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)

B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *

)

C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)

D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *

)

9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则公差为 10．在数列{}n a 中，S n =2n 2

-3n(n∈N ＊

)，则a 4等于 （ ）

A ．11

B ．15

C ．17

D ．20 11．在等差数列{}n a 中，S 10=120，则a 1+a 10等于 （ ） A ．12 B.24 C.36 D.48 12．等差数列{}n a 中，a 1=1，d=3，a n =298，则n 的值等于（ ） A ．98 B ． 100 C ．99 D ．101

13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若3a +9a =6，则S 11= ( ) A ．12 B ．33 C ．66 D ．99

14．已知等差数列}{n a 中，897,,16a a a 则=+的值是 A.16 B.7 C.8 D.4

15．等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 16．数列{a n }的通项公式是a n ＝，若前n 项和为10，则项数n 为( )

A ．120

B ．99

C ．110

D ．121

17．等差数列{a n }的前项和为S n ．已知S 3=

，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则{a n }的通项式为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n+1或3 D ．2n －1或3

18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m+1＝3，则＝ ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为 ( ) A ．－48 B ．－40 C ．－49 D ．－43

20．设函数

，是公差为

的等差数列，

，则

（ ）

A ．0

B ．

C ．

D ．

21．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n+1－a n (n ∈N +

)．若b 3=－2，b 10=12，则a 8=( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 22．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，Sn 为其前项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8=( )

A ．50

B ．64

C ．62

D ．35

23．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k+2－S k =24，则k= ( ) A ．8 B ．6 C ．5 D ．7

24．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ．

25．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)

i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ．

26．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．）， 第2 层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．

（1）试问第n 层()

2n N n *

∈≥且的点数为___________个；

（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．

27．已知数列{}n a 满足条件1111,n n n n a a a a a --=-=,

28m=________． 29．已知函数()2

x

f x =,等差数列

{}

n a 的公差为2，a 1=1，则

30．等差数列{}{}n n a b ，的前n 项和分别为n n S T 、，若

31．若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________. 32．数列{a n }满足

，则{a n }的前

项和为

33．互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上OA

和OB 上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等．设OA n =a n 若a 1=1，

a 2=2则数列{a n }的通项公式是_________．

34．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且

n 的个数是__________。

35．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且

112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；

（2

列{c n }的前n 项和T n.

36．已知数列}{n a 满足：且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈．

（1）令21n n b a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （2）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ． 37．已知数列{}n a ，0a <满足()0f x '=，，21x =， （1）求证：数列1

22422121c d c d ????????

==?

???????+????????

是等差数列，并求数列12131311c d c d ????????

==????????+????????

的通项公式；

（2）设数列22,3,c d c d +=??+=?满足1,4.c d =-??=?，对于任意给定的正整数1214??=??-??

A ，是否

，A (8cos ρθ=)，使得OM ，(,)N ρθ，(2,)M ρθ成等差数列？若存在，试用M 表示A ，28cos ρθ=；若不存在，说明理由． 38．在等差数列{}n a 中，127a a +=，38a =．令和为n T .

（1）求数列{}n a 的通项公式和n T ；

（2）是否存在正整数

m ，n （1m n <<）,使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若

存在，求出所有

的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.

39．已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2， ，a m 和正数b 1，b 2， ，

b m ，使a ，a 1，a 2， ，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2

， ，b m ，b

是等比数列． （1）若m

＝5

（2）若b ＝λa(λ∈N *

，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *

，6≤n ≤m)使得a n －5＝b n ，求λ的

最小值及此时m 的值；

（3）求证：a n ＞b n (n ∈N*，n ≤m)．

40．已知集合{}123,,,n A a a a a =???，123(0,,3)n a a a a n N n +≤<<

是否具有性质P ； （2）求证：①10a =； （3）当3,4n =或5时集合A 中的数列{}n a 是否一定成等差数列?说明理由.

41．已知数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n

()1,2,3,n = ．

（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3，求数列}{n c 的前n 项和n T ．

42．已知公比不

为1的等比数列{}n a 的首，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；

（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n

个数，使这32n +个数成等差数列，记插入

的这3n

个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

445566,,a S a S a S +++成等差数列．

（1）求等比数列{}n a 的通项公式；

（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n +个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

44．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．

45．设数列{}n a 的前n 项和12n n S +=，数列{}n b 满足

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．

46．已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，124lg ,lg ,lg a a a

成等差数列，又

（1）证明：{}n b 为等比数列； （2）如果数列{}n b 前3，求数列{}n a 的首项和公差； （3）在（2）小题的前题下，令n S 为数列{}n n b a 6的前n 项和，求n S ．

47．已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足1416()70a a ++=，132,,S S S 成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）已知()n b n n +=∈N ，记1(1)n n n n c b a -=-，求数列{}n c 前n 项和()f n .

48．数列{}n a 中各项为正数，n S 为其前n 项和，对任意n *∈N ，总有2,,n n n a S a 成等差数

列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在最大正整数p ，使得命题“n *?∈N ，ln()2n n p a a +<”是真命题？若存

49．下列命题正确的是 （ ）

①若数列{}n a 是等差数列，且*)(N t s n m a a a a t s n m ∈+=+、、、， 则t s n m +=+；

②若n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，则n n n n n S S S S S 232--，，成等差数列； ③若n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，则n n n n n S S S S S 232--，，成等比数列； ④若n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且B Aq S n n +=；（其中B A 、是非零常数，

*N n ∈），则B A +为零．

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

50．已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，其中111==b a ，22b a ≠，且2b 为

1a 、2a 的等差中项，2a 为2b 、3b 的等差中项．

（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2，求数列}{n c 的前n 项和n S ． 51．设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对所有的正整数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，求：数列}{n a 的通项公式。 52．已知：数列{a n }的前n 项和S n =n 2

+2n(n ∈N *

) （1）求：通项n a （2

53．已知：公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且满足.22,1175243=+=a a a a 求数列}{n a 的通项公式；

54．等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)

55．设

是首项为，公差为的等差数列(d ≠0)，

是其前项和．记b n =

,

，其中为实数．

(1) 若，且，

，

成等比数列，证明：S nk =n 2

S k (k,n ∈N +

)；

(2) 若

是等差数列，证明：

．

56．设数列的前项和为．已知，=a n+1－n 2

－n －

()

(1) 求

的值；

(2) 求数列

的通项公式；

(3) 证明:对一切正整数，有

+

+…+

<

．

57．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=－10 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{

}的前n 项和．

58．设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列(0)d ≠，n S 是其前n 项的和。记

c 为实数。 （1）若0c =，且124,,b b b 成等比数列，证明：2(,)nk k S n S k n N +=∈； （2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =。

59．已知首项等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值。 60．设等差数列{}n a 满足29a =，且15,a a 是方程2

16600x x -+=的两根。 （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T 。

参考答案

1．B

【解析】由已知及等差数列的性质得，46339,327,a a ==

B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.

2．B

【解析】由已知及等差数列的性质得，46339,327,a a ==

B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.

3．D 【解析】

试题分析：设公差为d ，由已知，21111()(2)41a d a a d a d ?+=+?+=?

，解得11

0a d =??=?，

所以，10a =1，故选D ． 考点：等差数列、等比数列．

4．D 【解析】

试题分析：设公差为d ，由已知，21111

()(2)41a d a a d a d ?+=+?+=?，解得11

0a d =??=?，

所以，10a =1，故选D . 考点：等差数列、等比数列.

5．B 【解析】

试题分析：由题意得31232a a a =+，即211132a q a a q =+，解得31q q ==-或

（舍去）；

考点：数列的性质、等差等比数列的简单综合. 6．C 【解析】

选C ．

考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前n 项和公式． 7．D 【解析】

试题分析：∵等差数列{a n }满足a 42+a 72+2a 4a 7=9，则有 (a 4+a 7)2

=9，∴a 4+a 7=±3．

． 考点：等差数列的前n 项和．

8．D 【解析】

试题分析：由a 2?a 4=12，a 2+a 4=8，且d ＜0，解得a 2=6，a 4=2．

故选D ．

考点：等差数列的通项公式． 9．3 【解析】

试题分析：因为30-15=（a 2-a 1）+（a 4-a 3）+…+（a 10-a 9）=5d ，所以d=3，故答案为：3 . 考点：等差数列的前n 项和. 10．A 【解析】 试题分析：145n

n n a S S n -=-=-，令n=4，得411a = .

考点：数列前n 项和与通项的关系. 11．B 【解析】

考点：等差数列前n 项和. 12．B 【解析】 试题分析：1(1)32n

a a n d n =+-=-，令a n =298，即32298100n n -=?= .

考点：等差数列的通项公式. 13．B 【解析】

考点：等差数列前n 项和. 14．C 【解析】

试题分析：,162978=+=a a a 则8a =8. 考点：等差数列的通项公式. 15．B 【解析】

，∴11024a a +=，故选B ．

考点：等差数列的求和公式． 16．A 【解析】由

，

所以，即，

即

，解得

.选A

17．D

【解析】∵S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2 ∴3a 2=

a 2=0或 a 2=3

又S 1，S 2，S 4成等比数列S 22

=S 1·S 4(2a 2－d)2

=(a 2－d)(4a 2+2d)

若a 2=0d 2=－2d 2

d=0，∴S n =0，不合题意

若a 2=3(6－d)2

=(3－d)(12+2d)d=0或d=2 所以数列的通项公式为a n =3或a n =2n －1 18．C

【解析】∵{a n }是等差数列 ∴S m = =0

a 1=－a m =－(S m －S m －1)=－2，

又= －

=3，∴公差=

－

=1，

∴3=

=－

，∴

=5，故选C ．

19．C

【解析】∵数列{a n }是等差数列

∴2a 1+9d=0,3a 1+21d=5，解之得a 1=－3，d=

∴nS n =

n 3

－n 2

设f(x)= x 3－

x 2

（x ∈N +

），则f ′

(x)= x 2

－

x

∴当x∈(－∞,0)及(,+∞)时， f(x)为增函数；

当x∈(0, )时，f(x)为减函数

∴当x=时，f(x)有最小值

∵x∈N+,∴n=7时，f(7)min=－49

20．D

【解析】，即，

而是公差为的等差数列

∴a1+a5=a2+a4=2a3,a1=a3－,a2=a3－,a4=a3+,a5=a3+，代入上式得

，

化简并整理得10a3－(2cos+2cos+1)cosa3=5

不是的倍数，

，故选D．

21．B

【解析】∵{b n}为等差数列且b3=－2，b10=12 ∴b n=2n－8

又b n=a n+1－a n，∴a n+1－a n=2n－8

由叠加法(a2－a1)+(a3－a2)+…+(a8－a7)=－6+(－4)+(－2)+0+2+4+6=0a8－a1=0

∴a8=a1=3

22．B

【解析】设{a n}的公差为d，

∵a1，a2，a5成等比数列，

∴（1+d）2=1·（1+4d），解之得d=2或d=0（舍）

S8=8×1+ =64

23．C

【解析】∵{a n}为等差数列

∴S k+2=(k+2)+(k+2)(k+1)，S k=k+k(k－1)

∵S k+2－S k=24

∴k2+4k+4－k2=24k=5

24

【解析】

试题分析：方法一：设123,,a a a 分别为,,a d a a d -+，因为12a a <，所以0d >，又2213b bb =，所以422()()a a d a d =-+222

()a d =-，则222a d a =-或

222a d a =- （舍），

若

，则

，舍去；

若，则

2422213a a a =，则2213a a a =±．若2

213a a a =，易知

123a a a ==，舍去；若2

2

13a a a =-，则且10a <，则

22

113360a a a a ++=，所以

且1q >，

考点：等差数列、等比数列的性质 25【解析】

试题分析：方法一：设123,,a a a 分别为,,a d a a d -+，因为12a a <，所以0d >，又2

213b bb =，所以422()()a a d a d =-+222

()a d =-，则222a d a =-或

222a d a =- （舍），

若

，则

，舍去；

若，则

2422213a a a =，则2213a a a =±．若2

213a a a =，易知

123a a a ==，舍去；若2

2

13a a a =-，则且10a <，则22

113360a a a a ++=，所以

且1q >，

考点：等差数列、等比数列的性质 26．6(1)n -；8

【解析】

试题分析：当2n ≥时，根据题意每边都有n 个点，六边形共有6条边，而6条边形的六个顶点重复计算了一次，所以第n 层的点数有666(1)n n -=-个；当一个六边形点阵共有169个点时，设它一共有n 层，则有16(21)6(31)6(1)169n +?-+?-++?-= ，所以

，整理可得(1)5687n n -==?，所以8n =．

考点：等差数列的通项公式及其前n 项和公式． 27

【解析】

试题分析：由11n n n n a a a a ---=得

1为首项，1

考点：1．由递推关系求数列的通项；2．等差数列的通项公式．

28．5． 【解析】

试题分析：因为三个

数成等差数列，所

以

．

考点：等差中项． 29．100 【解析】 试题分析：

(101210)

12

21210221210

log ()()()log (222)log (2

)...a

a a a a

a

f a f a f a a a a +++????=????==+++????

考点：等差数列的前n 项和. 30

【解析】

试题分析：等差数列的性质．∵在等差数列中2121?n n S n a -=-（），

考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质． 31

【解析】

试题分析：由等差数列的性质，得229b =+，解

得．又由题意，得

考点：等差数列的性质．

32．1830

【解析】法一：由得，

，

即，也有，两式相加得，设为整数，

则，

于是

法二：∵

∴a2=a1+1，a3=－a2+3=－(a1+1)+3=－a1+2，a4=a3+5=－a1+7，

a5=a1，a6=a1+9，a7=－a1+2，a8=－a1+15

a9=a1，a10=a1+17，a11=－a1+2，a12=－a1+23

a13=a1，a14=a1+25，a15=－a1+2，a16=－a1+31

∴a1+a2+a3+a4=1+2+7=10，

a5+a6+a7+a8=9+2+15=26，

a9+a10+a11+a12=17+2+23=42，

a13+a14+a15+a16=25+2+31=58，

由此发现，此数列的每四项之和为一常数，且每四项和构成一首项为10，公差为16的等差数列，而60=15×4，所以{a n}的前项和为15×10+=1830

33．a n=，n∈N+

【解析】设△A1B1O的面积为S0，梯形A n B n B n+1A n+1的面积为S

∵所有A n B n相互平行

∴△A1B1O∽△A2B2O=()2=S=3S0

同样依次可得，，…，

∴

()

2

…=··…

=

a n+1=a n =

，n ∈N +

34．5 【解析】 试题分析：

设11)1(d n a a n -+=，21)1(d n b b n -+=

，所以1113b a =.①

所以211159118510d b d a +=+.② 将①代入②得: 2111591185130d b d a +=+,所以11212559b d d =-③

则21111111d b d a +=+④ 将①代入④得: 2111111113d b d a +=+,所以112211b d d =-⑤

,

,此时11,5,3,2,1=n ,共有5个. 考点：等差数列通项,求和公式.

35．（1

（2）32)32(+?-=n n n T .

【解析】

试题分析：（1）由2n n S a =-及112n n S a --=-进行相减求得n a 与1n a -的关系，由等比数列定义可得数列｛n a ｝的通项公式，又由112n n n b b b -++=可知数列{b n }是等差数列，进而可求得其通项公式；（2

乘法求其前n 项和T n.

试题解析：（1）由题意知2n n S a =-①，当n ≥2时，112n n S a --=-②，①-②得

11n n n n n a S S a a --=-=-

，即

n }是以1

{b n }

是等差

数列，设，故

{a n }和{b n }的通项公式分别为

（

2

）

∵

，∴

12n n

T c c c =+++ 12102)12(252321-?-++?+?+?=n n ③

n n n n n T 2)12(2)32(23212121?-+?-++?+?=- ④

③-④得n n n n T 2)12()222(21121?--++++=-- ， 即32)32(2)12()22(21---=---+=-n n n n n n T ， ∴32)32(+?-=n n n T 考点：n a 与n S 的关系：11,1

,2

n n n S n a S S n -=?

=?-≥?，等差与等比数列的定义和通项公式，数列

求和方法：错位相减法.

36．（1）{}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列，21n b n =-；

（2

【解析】

试题分析：（1）注意从2[3(1)]22[(1)1]0n n n n a a ++--+--=出发，确定

数列中相邻项的关系，得到21212n n a a +--=，再根据111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 ，确定通项公式．

（2）研究发现246 , , , a a a 是以

135, , , a a a 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列，因此，应用“分组求和法”，计算等比、等差数列数列的和．

解得本题的关键是确定数列的基本特征．

试题解析：（1） 2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=

21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=

即21212n n a a +--= 4分

21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-=

{}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 5分 1(1)221n b n n =+-?=- 6分

（2）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即

246 , , , a a a ∴ 是以

8分 当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，

135 , , , a a a ∴ 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列 10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++

分 考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式．

37．（1

2）当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；当2p ≥时，存在21q p =-，2452r p p =-+，满足题设条件．

【解析】

试题分析：（1

.因此首先得到

关于n

b 与1n b +的关系式，因为2n n a b =，所

以，

则

，又13a =，所以

（2）先明确数列{}n C ，由(1)得2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-，然后假设存在，得一等量关系：

方向.题中暗示，用p 表示，所以

1)

：

令4211,p q --=得21q p =-，因为要p q <，所以分情况讨论，当

1p =时

等差数列不成立．当2p ≥时，

21q p p =->，224734(1)10r q p p p p -=-+=-+->，即r q >．

试题解析：（1）因为2n n a b =，所以

2分

又13a =，所以

4分

6分 （2）由（1）知2n a n =+，所以2521n n c a n =-=-， ①当1p =时，11p c c ==，21q c q =-，21r c r =-，

（*）， 因为p q r <<，所以2q ≥，3r ≥，

所以（*）不成立． 9分 ②当2p ≥时，若

12分

欲满足题设条件，只需21q p =-，此时2

452r p p =-+， 14分 因为2p ≥，所以21q p p =->，2

2

4734(1)10r q p p p p -=-+=-+->， 即r q >． 15分 综上所述，当1p =时，不存在q ，r 满足题设条件；

当2p ≥时，存在21q p =-，2

452r p p =-+，满足题设条件． 16分 考点：等差数列定义，等差数列综合应用

等差数列(三年级)

第九讲：计算问题（二） ——等差数列1 一、训练目标 知识传递：让学生初步认识等差数列。 能力强化：观察能力、分析能力。 思想方法：配对思想、对比思想。 二、知识与方法归纳 听过德国数学家高斯的故事吗？他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题：“1+2+3+4+5+……+100=？”小高斯很快报出了得数：5050，这个答案完全正确。老师和同学都很惊讶他的速度！小高斯用什么办法算得这么快呢？今天我们就来了解一下高斯所采用的方法——配对求和。 三、经典例题 例1．计算：1+2+3++4+5+6+7+8+9+10 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34解： 例2．计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17 1+2+3+4+ …+99+100解：

例3．计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110解： 体验训练1 计算：101+102+103+ …+129+130 解：101+102+103+ …+129+130 = = = = 例4．计算：1000-1-2-3-4- …-19-20 解： 体验训练2 计算：500-11-13-15-17-19-21-23-25-27-29 解：

例5．计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解： 例6．计算：100-99+98-97+96-95+ …+4-3+2-1 解： 四、内化训练 1.计算：12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28 解： 2.计算：3+7+11+15+19+23+27+31+35+39+43+47 解：

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

(完整版)等差数列专题

等差数列专题 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p . 3．等差中项 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和 y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2 . 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N * )． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2 ； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n 2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ， 则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最 小值． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n a 1＋a n 2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；

等差数列的概念与简单表示

2．2 等差数列 第1课时等差数列的概念与简单表示 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) [基础·初探] 教材整理1等差数列的含义 阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．() (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()

(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() (5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.() 【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列． (4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． (5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1， x2的等差中项为A＝x1＋x2 2＝－3.故该说法正确． 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 教材整理2等差数列的通项公式 阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d. 2．从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位． 1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________. 【解析】∵a1＝4，d＝－2， ∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】6－2n 2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________． 【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.

等差数列的前n项和

等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√

[小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得

6、第六讲 等差数列的基本认识

第五讲等差数列的基本认识 1、数列定义 （1） 1，2，3，4，5，6，7，8，… （2） 2，4，6，8，10，12，14，16，… （3） 1，4，9，16，25，36，49，… 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100) 2、等差数列 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差，例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 项数＝（第几项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 例1、求等差数列3，5，7，…的第10项，第100项，并求出前100项的和。 例2、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。例3、计算：6＋7＋8＋9＋……＋74＋75 例4、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？

例5、计算：（2＋4＋6＋......＋2000）－（1＋3＋5＋ (1999) 例6、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？ 例7、求100以内（包括100）所有被5除余0的自然数的和。 例8、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 课堂练习: 1、求所有除以4余1的两位数的和。 2、已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的偶数项之和与奇数项之和的差是多少？

等差数列

1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 2．已知等差数列{a n}的前n项和S n，若a2+a3+a10=9，则S9=（） A．27 B．18 C．9 D．3 3．若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（） A．1 B．0或C．D．log23 4．在等差数列{a n}中，若a1+a3+a5+a7+a9=150，则a5的值为（） A．75 B．50 C．40 D．30 5．等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（） A．B．12 C．D．6 6．已知等差数列{a n}满足a3+a5=14，a2a6=33，则a1a7=（） A．33 B．16 C．13 D．12 7．已知等差数列{a n}中，a2=﹣1，前5项和S5=﹣15，则数列{a n}的公差为（）A．﹣3 B．C．﹣2 D．﹣1 8．已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若S4=20，a4=8，则S8=（）A．52 B．72 C．56 D．64 9．已知{a n}是公差为2的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S5=15，则a5=（） A．3 B．5 C．7 D．9 10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=（）A．B．145 C．D．175 11．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a2+a8﹣a4=6，则S11=（）A．132 B．108 C．66 D．不能确定 12．在等差数列{a n}中，若a3+a11=18，S3=﹣3，那么a5等于（） A．4 B．5 C．9 D．18 13．已知等差数列{a n}的公差为d，且a8+a9+a10=24，则a1?d的最大值为（）A．B．C．2 D．4 14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9=（）

等差数列前n项和优质课教案 doc

（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100

方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=

等差数列

等差数列 一：等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推公式：a n －a n －1＝d (n ≥2) [点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二：等差数列的通项公式 【例1】已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *) [点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列． 例1 在等差数列{a n }中， (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴????? a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得????? a 1＝－5， d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d . 由已知得，????? a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得????? a 1＝1， d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17. 跟踪训练1．2 018是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项 D ．第1 009项 解析：选C ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 018＝2n ＋2，∴n ＝1 008. 2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 由已知????? a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得????? a 1＝－23， d ＝4.

等差数列知识梳理

等差数列 【考纲要求】 1．理解等差数列概念. 2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3．了解等差数列与一次函数的关系. 4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系. 5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法； 6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：等差数列382420 知识要点】 考点一、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 要点诠释： (1)｛n a ｝为等差数列?1n n a a d +-=(n ∈N ※)?n a －1-n a =d (n ≥2, n ∈N ※ )（ d 为常数） (2)等差中项：若三个数a ，x ，b 成等差，则x 称为数a ，b 的等差中项。 任意实数a ，b 的等差中项存在且唯一，为.2 b a + (3)证数列{n a }是等差数列的方法： ① 1n n a a d --=(n ≥2) （ d 为常数）； ② n a 为1-n a 和1n a +的等差中项。 考点二、通项公式 1(1)n a a n d =+-(归纳法和迭加法) 要点诠释： ①｛n a ｝为等差数列?n a 为n 的一次函数或n a 为常数?n a =kn+b (n ∈N +) 等差数列 等差中项 等差数列的通项公式及应用 等差数列定义

②式中n a 、1a 、n 、d 只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{n a }中n a =kn+b 是关于n 的一次函数(或常数函数)，一次项系数k 为公差d 。 ④几何意义：点(n ，n a )共线；n a =kn+b 中， 当k=d>0时，{n a }为递增数列； 当k=d<0时，{n a }为递减数列； 当k=d=0时，{n a }为常数列。 考点三、通项公式的性质： （1）等差中项：a 、G 、b 成等差数列，则.2 a b G += ； （2）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d （3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+； 特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （4）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（ 、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列. 【典型例题】 类型一：等差数列的概念、公式、项的性质 例1. （1）－20是不是等差数列0，72 -，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 【解析】（1）由题意可知：10a =,72d =- ， ∴此数列的通项公式为：7722n a n =- +, 令772022n -=-+,解得477 n N =?， 所以－20不是这个数列的项. （2）根据题意可得：12a =,927d =-=. ∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）. 令75100n -=,解得：15n =, ∴100是这个数列的第15项.

等差数列经典题型

等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4

6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.

小学奥数等差数列

一、等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（）， n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 知识结构 等差数列的基本概念及公式

③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101 ++++ +++=++++ +++=++++ +++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。 （2） 必要时调整数列顺序。 重难点

小学奥数等差数列资料讲解

一、 等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式

11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、 一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，

再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

等差数列的认识与公式运用

知识点拨、等差数列的定义 ⑴先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差 数列. 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用a i表示 末项：一个数列的最后一项，通常用a n表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和：一个数列的前n项的和，常用S n来表示. 二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 ①通项公式：递增数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 递减数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个 有用的公式：a n a m （n m）d, （n m） ②项数公式：项数（末项首项）公差+1 由通项公式可以得到：n （a n a1）d 1 （若a n a1）；n （a1 a n） d 1 （若a1 a n）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的. 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L、40、43、46 , 分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48 4 1 45 项，每组3个数，所以共45 3 15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法. ③求和公式：和=（首项末项）项数吃 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： 偲路1) 1 2 3 L 98 99 100 1 41004 ( 2 4^ 4 2 3 4 98) 4 4 450 4爭)仙50 5050 等差数列的认识与公式运用

等差数列前n项和性质

精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥??

（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（）

等差数列教学设计公开课

无为二中公开课 教 学 设 计 课题《等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：（星期二）下午第一节

高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式 3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （二）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （一）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？

1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 特点：高度每增加一千米，温度就降低度。 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, , 15, , 2, …, -24....... 学生活动（1）：学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征： （1）1682，1758，1834，1910，1986，2062...... （2）28, , 15, , 2, …, -24....... （3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1...... 共同特征：1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。 2.这个常数可以为正为负，还可以为零。 （二） 新知概念，例题讲解 1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，它的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就称这个数列为等差数列. 要点：（1）从第二项起； （2）)1(a ),2n (a 11≥=-≥=-+-n c a c c a n n n n 或是为常数 （3）同一常数c 。 2.公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 “d ”来表示. 请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少 （1）d=76 (2)d= (3)d=0 例1.下列数列是等差数列吗？为什么？

高中数学等差数列教案

课 题：2.2 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ② 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：