分式方程的应用
分式方程的应用
例1、 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：
60662
x x =
+
601206620
20222
x x
x x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
例2、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23
，求甲、
乙两队单独完成各需多少天？
设：乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需23x 天。
由题意，得
1211231x x x ++
=(
)
即
解得：1231
6
x
x
x
x +
+
==
经检验x =6是原方程的根 x x ==6234时，
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。
例3. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时
由题意，得80427
40707x y x y x y
x y ++-=++-=????
???
解得：经检验：是原方程的根
x y x y ==??
?==???
17
3
17
3
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
巩固练习
一、选择题
1、（吉林长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的４倍，骑自行车比步行上学早到３０分钟．设小玲步行的平均速度为
x 米／分．根据题意，下面列出的方程正确的是
（A ）28002800304x x -=． （B ）28002800304x x -=． （C ）
28002800305x
x
-=．
（D ）
28002800305x
x
-
=．
【答案】（A ） 2、（辽宁沈阳）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，
但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高
80%，因此能比走路线一少用10分钟到达。若设走路线一时的平均车速为x 千米/时，则根据题意，得 A ．
253010(180)60x x -
=+% B ．
253010(180)x
x
-
=+%
C ． 302510(180)60
x
x -=+% D ．
302510(180)x
x
-=+%
【答案】 A
3、（铜仁地区）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）
A.60512601015-=+x x
B.
60
51260
1015+
=
-
x x
C.
60
512
60
1015
-
=
-x x D.
5
12
1015
-=+x x .
【答案】A
4、（吉林长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的４倍，骑自行车比步行上学早到３０分钟．设小玲步行的平均速度为x 米／分．根据题意，下面列出的方程正确的是
（A ）28002800304x x -=． （B ）28002800304x x -=． （C ）
28002800305x
x
-=．
（D ）
28002800305x
x
-
=．
【答案】（A ） 二、填空题
1、（山东青岛，11，3分）某车间加工120个零件后，采用了新工艺.工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时.采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则根据题意可列方程为 . 【答案】
12012011.5x x
-=
三、解答题
1. （广东珠海，14，6分）（本题满分6分）八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达.若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度.
【答案】解：设骑自行车同学的速度为x 千米／小时，根据题意得，
x 15
－
x
315
=
60
40
解得，x =15 经检验，x =15是原方程的根. 答：骑自行车同学的速度是15千米／小时 2、（贵州毕节，26，12分）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B 铅
小明
(1) 这个学校九年级学生总数在什么范围内？(4分)
(2) 若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生
有多少人？(8分) 【答案】（1）240＜学校九年级学生总数≤300 （2）设九年级学生总数为x ，则
解得：x =300
经检验x =300是原方程的解 答：这个学校九年级学生有300人
3、（湖北十堰，22，8分）A ，B 两地间的距离为15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，
若给九年级学生每人购买1支，只能按零售
价付款，需要120元；若多购买60支，则可按批发价付款，同样需要120元。
12012056
6
x x ?=
?+
20分钟后，乙从B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米。乙到达A 地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地。请你就“甲从A 地到B 地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程。
【答案】解法一：
问题：设甲从A 地到B 地步行所用时间为x 小时，由题意得： 30x-115x +10 ,化简得：2x 2-5x-3=0,解得：x 1=3, x 2=-12
, 检验：x 1=3, x 2=-12 都是原分式方程的解，但x 2=-1
2 不符合题意，所以x=3,
所以甲从A 地到B 地步行所用时间为3小时.
解法二：问题：设甲步行的速度为x 千米/小时，由题意得： 30x+10+ 13+ 23 = 15x ,化简得：x 2
+25x-150=0, 解得：x 1=5, x 2=-30,
检验：x 1=5, x 2=-30都是原分式方程的解，但x 2=-30不符合题意，所以x=5. 所以甲步行的速度为5千米/小时.
4、（山东莱芜，22，10分）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售.经市场调查，批发平均每天售出6吨．
(1)受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出多少吨？
(2)在（1）条件下，若批发每吨获得的利润为2000元，零售每吨获得的利润为2200元，计算实际获得的总利润．
【答案】解（1）设原计划零售平均每天售出x 吨，根据题意可得
5)
2(62006200=++-
+x x
解得16,221-==x x
经检验2x =是原方程的根，16x -=不符合题意，舍去． 答：原计划生育零售平均每天售出2吨． （2）
()天202
26200=++
实际获得的总利润是：
()元41600017600024000020422002062000=+=??+??
5、（北京市）列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37
．小王用自驾车方式上班
平均每小时行驶多少千米？
【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米．
依题意，得182x +9=37×18
x
解得 x =27
经检验，x =27是原方程的解，且符合题意．
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米． 6、（贵州遵义）（10分）“六·一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童
玩具，
上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍， 但每套进价多了10元。
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少
是多少元？ 【答案】（1）设第一批玩具每套的进价是x 元，由题意得，
450025003
102
x=x=50x x =?
+解得 50
经检验是原方程的解。
答：第一批玩具每套的进价为50元。
（2）设每套售价至少是y 元。
50+50 1.5y 4500 y ?≥（）－－2500(4500+2500)25%解得≥70答:每套售价至少为70元.
7、（广东肇庆，21，7分）肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿道的长度．
【答案】解：设原计划平均每天修绿道x 米，依题意得 2%)201(18001800=+-
x
x
解这个方程得：x ＝150（米）
经检验，x ＝150是这个分式方程的解，∴这个方程的解是x ＝150 答：原计划平均每天修绿道150米． 8、（2011广西南宁，20，6分）解分式方程：
1
x 2-=1
x 42
-
【答案】解：去分母，得2（x+1）=4
解之，得x=1
检验：将x=1代入x2-1=1-1=0，所以x=1是原方程的增根，原方程无解.
9、（广西梧州）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，
80000 x+500=
60000
x
．
解得x=1500．
经检验x=1500是方程的解．
故今年甲型号手机每台售价为1500元．
（2）设购进甲型号手机m台，由题意得，
17600≤1000m+800（20-m）≤18400，
8≤m≤12．
因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：
设总获利W元，则
W=（1500-1000）m+（1400-800-a）（20-m），
W=（a-100）m+12000-20a．
所以当a=100时，（2）中所有的方案获利相同．
方法二：
由（2）知，当m=8时，有20-m=12．
此时获利y1=（1500-1000）×8+（1400-800-a）×12=4000+（600-a）×12 当m=9时，有20-m=11
此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11， 解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同．
10、（江苏徐州，22,6分）徐州至上海的铁路里程为650km 。从徐州乘“G ”字头列车A 、“D ” 字头列车B 都可直达上海，已知A 车的平均速度为B 车的2倍，且行驶的时间比B 车少2.5h.
（1）设B 车的平均速度为x kn ／h ，根据题意，可列分式方程： ▲ ； （2）求A 车的平均速度及行驶时间.
【答案】（1）
650650 2.52x x
-=. （2）解（1）中的方程
650650 2.52x
x
-=
去分母，得1300-650=5x 移项，得－5x =650－1300 合并同类项，得－5x =－650 系数化为1，得x =130 所以2x=260，
65052130
2
=?
答：A 车的平均速度为260 km ／h ，行驶时间为5 2
h.
11、（广西来宾，21，10分）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个.
（1）求第一次每个书包的进价是多少元?
(2)若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？
【答案】 解：（1）设第一次每个书包的进价是x 元
30002400
20 1.2x x
-= x =50
经检验x =50是原方程的根.
答：第一次每个书包的进价是50元
（2）设最低可打m 折 （80-50×1.2）×1
2400250 1.2
×
×+（80m-50×1.2）×124002
50 1.2
×
×≥480
m≥8 答：最低可打8折.
12、（广西崇左，20，9分）（本小题满分9分）今年入春以来，湖南省大部分地区发生了罕见的旱灾，连续几个月无有效降水.为抗旱救灾，驻湘某部计划为驻地村民新建水渠3600米，为使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成
修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？
【答案】解：设原计划每天修水渠x 米，则实际每天修水渠1.8x 米， 则依题意有
36003600201.8x
x
-=，解得x=80.
答：原计划每天修水渠80米.
13、（湖南岳阳，21,6分）为了建设社会主义新农村，华新村修筑了一条长3000m 公路，实际工作效率比原计划提高20%，结果提高前5天完成任务．问原计划每天应修路多长？
【答案】设原计划每天应修路x m ，得
5%)201(30003000=+-
x
x
，
解得x=100，经检验，x=100是原方程的解。答：原计划每天应修路100m.
14、（张家界，21，8分）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ 【答案】设原计划每天铺设管道x 米，根据题意得
12030012027
1.2x x
-+
=
解得x=10
经检验x=10是原方程的解 答：原计划每天铺设管道10米.
15、（贵州黔南，21，10分）
为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：
单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元） 甲公司
18 5000
乙公司
20 0
（1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。（体积可按面积×高进行计算）
（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间。 【答案】
（1）甲公司费用：1.2×0.4×18+0.5=9.14（万元）； 乙公司费用：1.2×0.4×20=9.6（万元） 所以请甲清淤公司进行清淤费用较省。
（2）设甲单独清淤需x 天，乙单独清淤需y 天，根据题意得
????
??
?=+?+?=?+?4800
)1(48002480024003480024800x y x
y x 解得???==12811y x ，???-==2122y x （舍去） 答：甲、乙两公司单独完成清淤任务各需8天、12天。
16、（辽宁本溪，21，10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进
价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数．商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【答案】（1）设甲种玩具的进价为x 元／件，则乙种玩具进价为(40－x )元／件． 根据题意得
x
90＝x
-40150 即 90(40－x )＝150x x ＝15
经检验x ＝15是原方程的解 ∴ 40－x ＝40－15＝25
答：甲、乙两种玩具的进价分别为15元／件、25元／件． （2）设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具（48－y ）件 根据题意得 ??
?≤-+-<1000
)48(251548y y y
y
解得20≤y ＜24
因为y 是整数，所以y 取20、21、22、23 答：商场共有4种进货方案．
初三中考数学分式方程及其应用
课时11．分式方程及其应用 【课前热身】 1．方程22123=-+--x x x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于4 42-x x ，则=a ，=b . 3．解方程1 2112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x 4．如果分式12-x 与3 3+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 5．如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y x D ．4 311=++y x 6．若分式 1 22--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析： （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使 最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变 形后的整式方程，求出参数的值. 【典例精析】 例1 解分式方程：1233x x x =+--． 例2 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电. 该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木 工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元． （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负 担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【中考演练】 1．方程0112=--x x 的解是 ． 2．若关于x 方程23 32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．
分式方程应用题精选
八年级分式方程的应用题精选 1、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则 300 1500900+=x x 解，得x ＝450 经检验：x ＝450是原方程的解。 答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。 2、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 解：设步行速度是x 千米/时，则 247197=-+x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。进尔4x ＝20（千米/时） 答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。 3、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多五分之三，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 解：⑴设她第一次在供销大厦买了x 瓶酸奶，则 2.053140.185.12+?? ? ??+=x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。 答：她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。 4、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴ 求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵ 若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？ 解：⑴设4月份销售价为每件x 元，则 x x 9.07002000202000+=+ 解，得x ＝50 经检验：x ＝50是原方程的解。
分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
分式方程及其应用(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：分式方程的概念是什么？并举例说明； 问题2：解分式方程分为哪三步？ 问题3：解分式方程中，把分式方程化成整式方程的依据是什么？ 问题4：解分式方程，结果必须_______，原因是什么？ 问题5：增根产生的原因是什么？ 问题6：分式方程有增根意味着什么？ 问题7：分式方程无解可能存在两种情形，分别是什么？ 分式方程及其应用（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列方程不是分式方程的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程的定义 2.分式方程的解是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解分式方程 3.分式方程的解是( ) A. B. C. D.无解 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 4.若关于的分式方程有增根，则的值为( )
A.1 B.-1 C.-7 D.7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题 5.若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A.1 B.-1 C.3 D.5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题
6.若关于的分式方程无解，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题 7.若关于的分式方程无解，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题 8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少．设货车的速度为千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
分式方程及其应用知识分享
分式方程及其应用
分式方程应用题辅导班（B班） 一、知识梳理： 列分式方程解应用题的步骤：1、设元（一般采用直接设元，要带上单位） 2、列分式方程 3、解分式方程（可直接写结果，不要过程） 4、检验（这是必不可少的，要做到验方程、验题意） 5、答题（要带上单位） 二、列分式方程解应用题专题训练 行程问题 1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
工程问题 3、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成，如果由甲小队去做，恰好能够如期完成；如果由乙小队去做，要超过规定日期3天才能完成；现在由甲乙两队合作2天，剩下的工程由乙小队独立去做，恰好在规定日期完成，问规定日期为几天？ 4、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数. 顺逆流航行问题 5、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 6、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地 逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x
分式方程及其应用的典型例题讲解学习
分式方程及其应用 一、知识点回顾： 1、分式方程的定义： 。 例如：下列方程：（1）31-x =5（2）x 1=14-x （3）π32-x =x-1（4）),(1为常数b a b a x = 其中属于分式方程的有 2、分式方程的增根：使得原分式方程的分母为零，所以解分式方程必须 。 3、解分式方程的基本步骤可以归纳为： 、 、 、 、 。 二．范例 1．当x =______时， 13x x ++的值等于13 ． 2．当x =______时，424x x --的值与54 x x --的值相等． 3．若方程212 x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________． 4．下列关于x 的方程，是分式方程的是 （ ） A .23356x x ++-= B .137x x a -=-+ C .x a b x a b a b -=- D .2 (1)11 x x -=- 5．若3 x 与6 1x -互为相反数，则x 的值为 （ ） A . 13 B .－13 C .1 D .－1 6．若关于x 的方程2233 x m x x -=+--无解，则m 的值为___________． 7．解分式方程13132x x x +-=，去分母后所得的方程是 （ ） A .12(31)3x -+= B .12(31)2x x -+= C .12(31)6x x -+= D .1626x x -+= 8．解方程： （1） 623-=x x ； （2）12x -+ 3 =12x x --．
（3） 1121-=---x x x x ． （4）1 613122-=-++x x x ； 9．已知关于x 的方程 2122x m x x -=--的解为正数，求m 的取值范围． 10. 解含有字母系数m 的分式方程 2233x m x x -=+-- 11. 若分式方程 223242 mx x x x +=--+有增根，试求m 的值． 12. 甲、乙两打字员，甲每分钟打字数比乙少10个．两人分别打同一份搞件，结果乙完成所需的时间是甲的 56 ，那么甲、乙两人每分钟打字数分别是多少？
(完整版)分式方程的解法及应用(基础)
分式方程及应用 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． ． 类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？ 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________． （二）分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+= x x 二、化归法 例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法
例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 ． 类型四、分式方程的应用 例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲 班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两 班每小时各种多少棵树? 举一反三：
培优专题分式方程及其应用(含答案)
12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解读】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()
分式方程及其应用教案
第三讲 分式方程及其应用专讲 【学习目标】 1．掌握分式的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程； 2．体验和学习应用分式方程． 3．熟练运用分式方程解题，能准确找出题中的等量关系。 【知识要点】 1．分式方程的概念： 字母里面有未知数的方程． 2．分式方程的解法： （1）去分母：将分式方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程； （3）验根 3．增根：使分式方程中分母为0的根，叫做方程的增根，应舍去． 【经典例题】 例1 解方程 （1）2235211787x x x x x x x ----=----+ （2）x x x x -=-+-3231 例2 解方程 （1）22416222-+=--+-x x x x x （2）()() 365212222-=+----x x x x x x x
（3）9 6999624822222+--=-++++x x x x x x x x （4）61514171-+-=-+-x x x x 例3 （1）a 为何值时，方程 3 23-+=-x a x x 会产生增根？ 例4 .甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度? 例5．轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度 为2千米/小时，求船在静水中的速度。 例6．某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的31，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？
分式方程及实际应用
详解点一 、分式方程的概念 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知数。 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数。例如：011=+x ；3 432=++x x 是分式方程； 5 3422x x =++是整式方程，不是分式方程。 详解点二 、分式方程的解法 1、解分式方程的思想和方法 2、解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，得出整式方程的根； （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）检验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）写出分式方程的根。 详解点三、分式方程的增根 1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根； 2、增根产生的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0时，就产生了增根。 3、排除增根的方法
由于产生增根的原因是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，因此，判断是否是增根，应将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。 详解点四、列分式方程解应用题 1、分式方程是描述实际问题的一种模型 2、列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，找出相等关系和数量关系 （2）设：根据所找的数量关系设出未知数 （3）列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程 （4）解：解这个分式方程 （5）检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义 注：分式方程的应用与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验； （6）答：写出分式方程的解 例题1、下列关于x 的方程21=+ x x ，300015009000+=x x ，42480-300=x x ，x-2=0，21-3x x =，x x 3 1-2=，4x-5=0，哪些是整式方程，哪些是分式方程？ 分析：利用整式方程与分式方程的定义解答即可 解：方程21=+ x x ，300015009000+=x x ，42480-300=x x ，x x 3 1-2=，是分式方程 x -2=0，2 1 -3x x = ，4x -5=0是整式方程。 例题2、解分式方程：（1） 42480-300=x x ；（2）2--31 3-x -2x x =； 分析：先找出各分母的最简公分母，然后同时乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。（1）中根 据方程的特点可有两种解法。 解：（1）解法1 42480 -300=x x ，方程两边都乘以2x ，得600-480=4×2x ，解这个方程，得x =15， 检验：将x =15代入原方程，左边=4=右边，所以x =15是原方程的解。
专题10 分式方程及其应用(原卷版)
专题10 分式方程及其应用 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 （1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); （2）按解整式方程的步骤求出未知数的值; （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。 【例题1】（2020?哈尔滨）方程2 x+5=1 x?2 的解为（） A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9 【对点练习】（2019?黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（） A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝ 【例题2】（2020?齐齐哈尔）若关于x的分式方程3x x?2=m 2?x +5的解为正数，则m的取值范围为（） A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6 【对点练习】（2019?江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是． 【例题3】（2020?长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件
产品，依题意得（） A．400 x?30=500 x B．400 x =500 x+30 C．400 x =500 x?30 D．400 x+30 =500 x 【对点练习】（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【对点练习】（2020?广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3 5 ． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用． 一、选择题 1．（2020?黑龙江）已知关于x的分式方程x x?2?4=k 2?x 的解为正数，则k的取值范围是（）
分式方程的分类应用(详细)
分式方程的分类应用（详细） 要点感知 列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)． 预习练习 甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ， 甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( ) A.30x －30x －3＝23 B .30x －30x ＋3＝23 C .30x ＋3 －30x ＝23 D .30x －3－30x ＝23 题型一：行程问题 路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题的变形公式：速度=路程/时间，时间 =路程/速度。 例2、某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多 行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速 前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列 车运行(s ＋50)km 所用时间为________h . 本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ， v 当作已知数． 等量关系： 列方程： 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？
2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？
分式方程及其应用(习题及答案)
分式方程及其应用（习题） ? 例题示范 例1：解分式方程：11322x x x -=---． 【过程书写】 1(1)3(2) 1136242 x x x x x x =----=-+-+==解： 检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解 例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】 列表梳理信息： 【过程书写】 解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ， 由题意得， 120120 0.51.2x x =- 解得，x =40 经检验：x =40是原方程的解，且符合题意 答：慢车的速度是40km/h ． ? 巩固练习
1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ） A ．1a b a x a ++= B ．x a b x b a +=-11 C ．b x a a x 1-=+ D ．1=-+++-n x m x m x n x 2. 解分式方程2236111 x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+ B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程 2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x = 3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师 比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ） A ．1515112x x -=+ B ．15151 12x x -=+ C ． 1515112x x -=- D ．15151 12x x -=- 4. 若方程 61(1)(1)1 m x x x -=+--有增根，则m =_________． 5. 如果解关于x 的分式方程1 134 x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________． 6. 解分式方程：
分式方程应用题(精典题)
分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计 从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进 价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成 总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空 调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强 清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田 每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完 成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: 9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2 天后， 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
分式方程及其应用(讲义及答案)
分式方程及其应用（讲义） 课前预习 1.请回顾相关知识，填空： 2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息． 梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型． 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否_________________． 知识点睛
1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程． 2. 解分式方程： 根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________． 精讲精练 1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ① 315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152 x x +=+； ⑤11 x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程： （1）2115225 x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1) x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---； （5） 2236111 x x x +=+--；
分式方程及其应用
分式方程及其应用 一、知识要点 1. 分式方程的概念 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 如何解分式方程 （1）解分式方程的基本思想是“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。 （2）解分式方程的步骤： ①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （3）“增根”是怎样产生的？ 把分式方程“转化”为整式方程时，需要用最简公分母乘方程的两边，如果所得的解恰好使最简公分母为零，那么这个根就是“增根”。 （4）注意的问题： ①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。 ②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。但要注意用最简公分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。 3. 分式方程的应用 解分式方程应用题的分析方法，解题步骤与解一元一次方程或二元一次方程组应用题基本相同，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程。其方法和步骤可归纳如下：①审清题意，分清已知量和未知量；②设未知数；③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；④解方程，并验根；⑤写出答案。 二、问题举例 例1. 解方程 。 ； 32651222-=+----x x x x x x x 例2. 解下列方程： ()()x x x x ++++=151 602 3. （2003年吉林省）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km 。由于小明的父亲战斗在抗 击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每天骑自行车接他上 学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班 多用20min 。问王老师步行的速度及骑自行车的速度各是多少？ 例4. 有大、小两辆汽车，小车每天运p 吨贷物，大车比小车每天多运10 吨货物。现在让大车完成运送120吨货物的任务，小车完成运送100吨货 物的任务，哪辆汽车完成任务用的时间少？ 例5 甲、乙两个工程队各有20人，两队合做某项工程10天后，因甲队 另有任务，乙队又单独做了2天才完成。已知单独完成这项工程，甲队比 乙队可以快4天，设厂家需付甲队每人每天100元，需付乙队每人每天90元，试从甲、乙两队中选出一个工程队来完成此项工程。请你通过计算说明选哪个工程队节省费用。
中考复习之分式方程及其应用
分式方程及其应用 八（下）第八章 8.5 ［课标要求］： 会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） ［要点梳理］ 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做分式方程. 2、增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为＿＿＿＿的根），因此解分式方程要验根（其方法是代入最简公分母中，使分母为＿＿＿＿＿＿的是增根，否则不是）. 3、解分式方程的基本思想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4、解分式方程的常用解法有： ①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ［基础训练］ 1、指出下列方程中，分式方程有（ ） ①531212=-x x ；②=-322x x 5；③0522=-x x ；④03522 5=+-x x ； ⑤ 23 1=-y x ； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、分式方程3 1 329122+=---x x x 的解为（ ） A 、3 B 、－3 C 、无解 D 、3或－3 3、对于非零的两个实数a 、b ，规定a ＊b ＝a b 1 1-，若2＊（2x －1）＝1，则x 的值为 （ ） A 、65 B 、45 C 、23 D 、－6 1 4、若关于x 的分式方程 x x x m 2 132=--+无解，则m 的值为（ ） A 、－1.5 B 、1 C 、－1.5或2 D 、－0.5或－1.5 5、某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ［问题研讨］ 例1、解分式方程： （1） 2631132-=--x x （2）x x x x 24 1232+=++ （3） 11 1 122=++-x x 例2、若关于x 的方程2222 =-++-x m x x 有增根，则m 的值是＿＿＿＿ 变式1：若分式方程2＋ x x kx -=--2121有增根，则k ＝＿＿＿＿ 变式2：如果分式方程 1 1 +=+x m x x 无解，则m 的值为（ ） A 、1 B 、0 C 、－1 D 、－2 例3、关于x 的方程11 2=-+x a x 的解为正数，求a 的取值范围. 例4、已知021=++-b a ，求方程 1=+bx x a 的解. 例5、一项工程，甲、乙两个公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两个公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙两个公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，则哪个公司的施工费较少？
分式方程的应用
分式方程的应用 本节是分式方程的第4小节，共三个课时，这是第三课时，本节课主要让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程． 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：前两节课，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程，为本节课用分式方程解决生活中实际问题打下了基础. 学生活动经验基础：在本节第一课时学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程的应用打下了基础. 二、教学任务分析 学生在学习了分式方程以及分式方程的解法并能熟练地解方程之后，如何将这些技能应用于现实生活当中，也就是将生活中某些问题模型化，本节课安排了《分式方程的应用》，旨在培养学生的应用意识和解决实际问题的能力， 本节课的具体教学目标为： 1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性； 2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱． 三、教学过程分析 本节课设计了6个教学环节：复习回顾——探究新知——小试牛刀——感悟升华——巩固练习——自主小结. 第一环节复习回顾 活动内容： 1.解分式方程的一般步骤：