【精选】江苏专版高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题11附加题部分学案
专题十一 附加题部分
(选修测试物理的考生学习此部分)此部分考查的内容主要是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4－1《几何证明选讲》、4－2《矩阵与变换》、4－4《坐标系与参数方程》、4－5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两
个专题)．
———————命题观察·高考定位———————
(对应学生用书第54页)
1．(2016·江苏高考)如图11－1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －
y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．
图11－1
(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．
(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .
①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )；
②求p 的取值范围.
【导学号：56394080】
[解] (1)抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为? ??
??p 2，0，
由点? ????p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p 2－0－2＝0， 即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2
＝8x .
(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－
x ＋b .
①证明：由???
?
?
y2＝2px ，y ＝－x ＋b
消去x 得y 2
＋2py －2pb ＝0.(*)
因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2
－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.
方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p2＋2pb ， 从而y 0＝y1＋y2
2
＝－p .
因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p .
因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .
由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <4
3
.
因此，p 的取值范围是? ??
??0，43. 2．(2015·江苏高考) 如图11－2，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形
ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2
，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.
图11－2
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．
[解] 以????
??
AB →，AD →，AP →为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则
各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．
第22题图
(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →
＝(0,2,0)．
因为PC →＝(1,1，－2)，PD →
＝(0,2，－2)， 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则m ·PC →＝0，m ·PD →
＝0，
即?
??
??
x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.
所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．
从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →
·m |AD →||m|
＝3
3，
所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为
33
. (2)因为BP →
＝(－1,0,2)，
设BQ →＝λBP →
＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，
又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →
＝(－λ，－1,2λ)．
又DP →
＝(0，－2,2)，
从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →
|CQ →||DP →|
＝1＋2λ
10λ2＋2.
设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，
则cos 2
〈CQ →，DP →〉＝
2t2
5t2－10t ＋9
＝
29? ??
??1t －592＋
209≤9
10.
当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为310
10
.
因为y ＝cos x 在?
????0，π2上是减函数，
所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．
又因为BP ＝12＋22＝5，
所以BQ ＝25BP ＝255
.
3．(2016·江苏高考)(1)求7C36－4C47的值；
(2)设m ，n ∈N *
，n ≥m ，求证：(m ＋1)Cm m ＋(m ＋2)Cm m ＋1＋(m ＋3)Cm m ＋2＋…＋n Cm n －1＋(n ＋1)Cm n ＝(m ＋1)Cm 2
n ＋2. [解] (1)7C36－4C47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×4
4×3×2×1＝0.
(2)证明：当n ＝m 时，结论显然成立．
当n >m 时，(k ＋1)C m k ＝
＋！
m ！－！
＝(m ＋
1)·
＋！＋！＋
－
＋！
＝(m ＋1)Cm k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又因为Cm k ＋1＋Cm 2k ＋1＝Cm k ＋2，
所以(k ＋1)Cm k ＝(m ＋1)(Cm k ＋2－Cm 2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .
因此，(m ＋1)Cm m ＋(m ＋2)Cm m ＋1＋(m ＋3)Cm m ＋2＋…＋(n ＋1)Cm n ＝(m ＋1)Cm m ＋[(m ＋2)Cm m ＋1＋(m ＋3)Cm m ＋2＋…＋(n ＋1)Cm n ]
＝(m ＋1)Cm m ＋2＋(m ＋1)[(Cm 2m ＋3－Cm 2m ＋2)＋(Cm 2m ＋4－Cm 2m ＋3)＋…＋(Cm n ＋2－Cm 2n ＋1)] ＝(m ＋1)Cm 2
n ＋2. 4．(2015·江苏高考)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *
)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；
(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． [解] (1)Y 6＝{}1，2，3，4，5，6，S 6中的元素(a ，b )满足：
若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，
f (n )＝?
??????
??
n ＋2＋? ??
??n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋? ????n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，
n ＋2＋? ??
??n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋? ??
??n －12
＋n 3，n ＝6t ＋3，
n ＋2＋? ??
??n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋? ????n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *
)．
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋6
3
＝13，结论成立．
②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：
a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋
k －12＋k －2
3
＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1
3，结论成立；
b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3
＋1
＝(k ＋1)＋2＋
＋
－12
＋
＋－1
3
，结论成立；
c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋
k －12＋k －1
3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1
2
＋
＋－2
3
，结论成立；
d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋
k －2
3
＋2
＝(k ＋1)＋2＋
＋－12
＋k ＋13
，结论成立；
e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋
k －12＋k
3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1
2
＋
＋－1
3
，结论成立；
f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋
k －1
3＋1
＝(k ＋1)＋2＋
＋－12
＋
＋
－2
3
，结论成立．
综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． [命题规律]
(1)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．与二项式定理综合问题较难．
(2)空间向量与立体几何，重点考查利用空间向量求线线角、线面角、面面角，难度中等．
———————主干整合·归纳拓展———————
(对应学生用书第55页) [第1步▕ 核心知识再整合]
1．几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式．
2．矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算． 3．坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，通过极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点．
4．不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，分类讨论去绝对值是必然的选择． 5．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；
(2)方差：V (X )＝(x 1－μ)2
p 1＋(x 2－μ)2
p 2＋…＋(x n －μ)2
p n ； (3)性质：E (ax ＋b )＝aE (x )＋b ；V (ax ＋b )＝a 2
V (x )． 6．两点分布与二项分布的均值与方差
(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 7．直方图的三个常用结论
(1)小长方形的面积＝组距×
频率
组距
＝频率； (2)各长方形的面积和等于1； (3)小长方形的高＝频率
组距.
8．排列、组合数相关性质
排列：Am n ＋1＝Am n ＋m Am －1n ；
组合：Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n (m ≤n ，m ，n ∈N *
)，k Ck n ＝n Ck 1n －1. C0n ＋C2n ＋C4n ＋…＝C1n ＋C3n ＋C5n ＋…＝2n －1
.
9. 二项式定理
(a ＋b )n
＝C0n a n
＋C1n a
n －1
b ＋…＋Cr n a n －r b r ＋…＋Cn n b n (n ∈N *
)，
10．(1)直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法：
设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，
c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则
①线面平行：
l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
②线面垂直：
l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.
③面面平行：
α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. ④面面垂直：
α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. (2)直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算：
设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． ①线线夹角：
设l ，m 的夹角为θ? ????0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|
a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.
②线面夹角：
设直线l 与平面α的夹角为θ? ????0≤θ≤π2，
则sin θ＝|a·μ|
|a||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|.
③面面夹角：
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|μ·v|
|μ||v|
＝|cos 〈μ，v 〉|.
[第2步▕ 高频考点细突破]
【例1】 O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：AB 2
＝BE ·BD －AE ·AC .
图11－3
[证明] 连接AD (图略)，∵AB 为圆的直径，∴AD ⊥BD ，又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，
F 四点共圆，
∴BD ·BE ＝BA ·BF .
又△ABC ∽△AEF ，
∴
AB AE ＝AC
AF
，即AB ·AF ＝AE ·AC ，
∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2
.
[规律方法] 与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在圆内证明三角形相似主要是通过圆周角定理
或圆心角定理证明角相等．
[举一反三] 如图11－4，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．
图11－4
求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ；
(2)AC 2
＝AP ·AB .
[解] (1)证明：因为PC 切半圆O 于点C ，
所以∠PCA ＝∠CBA .
因为AB 为半圆O 的直径，
所以∠ACB ＝90°.
因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°.
因此∠PAC ＝∠CAB .
(2)由(1)知△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC
AB
，
即AC 2
＝AP ·AB .
【例2】 (2017·江苏高考)已知矩阵A ＝??????10，B ＝????
??
02.
(1)求AB ；
(2)若曲线C 1：x28＋y2
2
＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.
【导学号：56394081】
[解] (1)因为A ＝??
????
11
0，B ＝????
??1 00
2，
所以AB ＝??????0110??????1002＝????
??
0210.
(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，
它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，
则??????0 21 0??????x0y0＝????
??x y ， 即?
??
??
2y0＝x ，x0＝y ，所以?
???
?
x0＝y ，y0＝x
2.
因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x208＋y20
2＝1，
从而y28＋x28
＝1，即x 2＋y 2
＝8.
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2
＋y 2
＝8.
[规律方法] 本小题主要考查矩阵的乘法、特征向量的求法，考查运算求解能力．注意矩阵乘法不满足交换律，即A －1
B ≠BA －1
，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下． [举一反三]
(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知α＝??????21为矩阵A ＝??
??
??
1 a －1
4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2
.
[解] 由条件可知??
????1
a －1
4??????
21＝λ????
??
21， ∴?
??
??
2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.
因此A ＝??
??
??1
2－1 4， 所以A 2
＝??
????1 2－1
4??????1 2－1 4＝????
??－1 10－5 14.
【例3】 xOy 中，以
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C 1的参数
方程为??
?
x ＝3＋2cos α
y ＝3＋2sin α
，(α∈[0,2π]，α为参数)，曲线C 2的极坐标方程为
ρsin ? ????θ＋π3＝a (a ∈R )，若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值． [解] 曲线C 1的方程为(x －3)2
＋(y －3)2
＝4，圆心坐标为(3，3)，半径为2.
∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin ? ????θ＋π3＝a (a ∈R )，∴12ρsin θ＋32ρcos θ＝a ， ∴曲线C 2的直角坐标方程为3x ＋y －2a ＝0， ∵曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点， ∴
|3＋3－2a|
2
＝2，解得a ＝1或a ＝5. [规律方法] 参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键． [举一反三]
(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?????
x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为??
?
x ＝2s2，
y ＝22s
(s 为参数)．设P
为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,
22s )， 从而点P 到直线l 的距离
d ＝
|2s2－42s ＋8|
12＋－
＝
－2
＋45
.
当s ＝2时，d min ＝45
5
.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45
5
.
【例4】
[解]y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos2x.
由柯西不等式得y 2
＝(3sin x ＋4cos2x)2
≤(32
＋42
)·(sin 2
x ＋cos 2
x )＝25， 所以y max ＝5，此时sin x ＝3
5
.
所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5..
[规律方法] 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的． [举一反三]
(2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2
＝16，证明：ac ＋bd ≤8. [证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2
≤(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)． 因为a 2
＋b 2
＝4，c 2
＋d 2
＝16， 所以(ac ＋bd )2
≤64， 因此ac ＋bd ≤8.
【例5】 n ≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m ＋n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k ＝1,2,3，…，
m ＋n ).
(1)试求编号为(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X )是X 的数学期望，证明：E (X )<
n ＋
－
.
【导学号：56394082】
[解] (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ＝Cn －1m ＋n －1Cn m ＋n ＝n m ＋n .
(2)证明：随机变量X 的概率分布为
E (X )＝∑k ＝n m ＋n 1k ·Cn k －1Cn m ＋n ＝1Cn m ＋n ∑k ＝n m ＋n
1
k ·
－！－
！
－
！
. 所以E (X )<1
Cn m ＋n ∑
k ＝n m ＋n
－！－
！－！
＝
1－n
m ＋n ∑k ＝n
m ＋n
－！－
！
－
！
＝1n －
n
m ＋n (1＋Cn 2n －1＋Cn －2n ＋…＋Cn －2m ＋n －2) ＝
1－
n
m ＋n (Cn n －1＋Cn 2n －1＋Cn －2n ＋…＋Cn －2m ＋n －2)
＝
1－
n m ＋n (Cn －1n ＋Cn －2n ＋...＋Cn －2m ＋n －2) ＝ (1)
n
m ＋n (Cn －1m ＋n －2＋Cn －2m ＋n －2)
＝
Cn －1m ＋n －1
－n m ＋n
＝
n ＋－
，
即E (X )<
n ＋
－
.
[规律方法] 求解离散型随机变量均值与方差的主要步骤：(1)求出随机变量的所有可能的取值；(2)计算随机变量取各个值的概率，列出概率分布列；(3)按照公式计算均值(数学期望)与方差． [举一反三]
(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为2
3，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．
[解] (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.
P (A 1)＝25
；
P (A 2)＝35
×13×25
＝225
； P (A 3)＝? ????352×? ??
??13
2×25＝2125
. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62
125.
所以甲获胜的概率为62
125.
(2)X 所有可能取的值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝4
5
；
P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425
； P (X ＝3)＝? ????352×? ??
??13
2×1＝125
.
即X 的概率分布列为
所以X 的数学期望E (X )＝1×5＋2×25＋3×25＝25
.
【例6】 (2017，…，n }的所有含有4个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，A C4n .设A 1，A 2，A 3，…，A C4n 中所有元素之和为
S n .
(1)求S 4，S 5，S 6并求出S n ； (2)证明：S 4＋S 5＋…＋S n ＝10C6n ＋2.
[解] (1)当n ＝4时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 4＝1＋2＋3＋4＝10， 当n ＝5时，集合M 每个元素出现了C34次，S 5＝C34(1＋2＋3＋4＋5)＝60， 当n ＝6时，集合M 每个元素出现了C35次，S 6＝C35(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝210， 所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了C3n －1，故S n ＝C3n －1·＋2
.
(2)证明：因为S n ＝C3n －1·
＋2
＝
1
12
(n ＋1)n (n －1)(n －2)(n －3)＝10C5n ＋1， 则S 4＋S 5＋…＋S n ＝10(C55＋C56＋C57＋…＋C5n ＋1)＝10C6n ＋2.
[规律方法] 通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组． [举一反三]
(2017·江苏省盐城市高考数学二模)现有
＋
2
(n ≥2，n ∈N *
)个给定的不同的数
随机排成一个如图11－5所示的三角形数阵：
图11－5
设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *.记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n .
(1)求p 2的值；
(2)证明：p n ＞
C2n ＋1
＋！
.
[解] (1)由题意知p 2＝2A22A33＝23，即p 2的值为2
3
.
(2)先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为
n
＋2
＝2n ＋1
；
去掉第n 行已经排好的n 个数，
则余下的
＋2
－n ＝
－2
个数中最大数在第n －1行的概率为
n －1－2
＝2n
；
…
故p n ＝
2n ＋1×2n ×…×23
＝2n －1＋
＝
2n
＋
！
.
由于2n
＝(1＋1)n
＝C0n ＋C1n ＋C2n ＋…＋Cn n ≥C 0n ＋C1n ＋C2n ＞C1n ＋C2n ＝C2n ＋1，
故
2n
＋
！
＞C2n ＋1
＋！，即p n ＞
C2n ＋1
＋！
.
【例7】
求证：(1)若x 为“兄弟数” ，则x 2
也为“兄弟数”；
(2)若x 为“兄弟数”，k 是给定的正奇数，则x k
也为“兄弟数”.
【导学号：56394083】
[证明] (1)设x ＝n ＋1＋n(n ∈N *
)， 则x 2
＝2n ＋1＋2
＋＝4n2＋4n ＋1＋4n2＋4n ，是“兄弟数”．
(2)设x ＝n ＋1＋n ，y ＝n ＋1－n(n ∈N *
)，则xy ＝1，
而x k
＝∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(n)i
，y k
＝∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(－n)i
，
故x k
＋y k
＝∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(n)i
＋∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(－n)i
＝2[C0k (n ＋1)k
＋C2k (n ＋1)
k －2
·n ＋C4k (n ＋1)
k －4
·n 2
＋…＋Ck －1k n ＋1·n k －12
]，
不妨记：x k
＋y k
＝2a n ＋1，a ∈N *
，
同理：由x k
－y k
＝∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(n)i
－∑i ＝0
k
Ci k (n ＋1)
k －i
(－n)i
，
不妨记：x k
－y k
＝2b n ，b ∈N *
，
进而，2x k
＝
＋
＋4b2n ，即x k
＝
＋＋b2n.
又4a 2
(n ＋1)－4b 2
n ＝(x k
＋y k )2
－(x k
－y k )2
＝4x k y k
＝4，故a 2
(n ＋1)＝b 2
n ＋1. 因此x k
＝b2n ＋1＋b2n 亦为“兄弟数”．
[规律方法] 二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数、不等式等其他知识点综合成题时， 对其他模块的知识点要能熟练运用． [举一反三]
在自然数列1,2,3，…，n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n －k 个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1)求P 3(1)；
(2)求∑k ＝0
4
P 4(k )；
(3)证明∑k ＝0n
k P n (k )＝n ∑k ＝0n －1P n －1(k )，并求出∑k ＝0
n
k P n (k )的值．
[解] (1)因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，所以P 3(1)＝3.
(2)∑k ＝04
P 4(k )＝P 4(0)＋P 4(1)＋P 4(2)＋P 4(3)＋P 4(4) ＝C04C13C13＋C14C12＋C24＋0＋1＝9＋8＋6＋0＋1＝24.
(3)把数列1,2，…，n 中任取其中k 个元素位置不动，则有Ck n 种；其余n －k 个元素重新排列，并且使其余n －k 个元素都要改变位置，则有P n (k )＝Ck n P n －k (0)，
故∑k ＝0n
k P n (k )＝∑k ＝0
n
kCk n P n －k (0)，又因为k Ck n ＝n Ck n －1， 所以∑k ＝0n
k P n (k )＝∑k ＝0n
kCk n P n －k (0)＝n ∑k ＝0n －1Ck n －1P n －k －1(0)＝n ∑k ＝0
n －1P n －1(k )．
令a n ＝∑k ＝0n
k P n (k )，则a n ＝na n －1，且a 1＝1. 于是a 2a 3a 4…a n －1a n ＝2a 1×3a 2×4a 3×…×na n －1， 左右同除以a 2a 3a 4…a n －1，得a n ＝2×3×4×…×n ＝n ！.
所以∑k ＝0
n
k P n (k )＝n ！.
【例811111ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.
图11－6
(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
(2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．
[解] 在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .
因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .
如图，以{AE →，AD →，AA1→
}为正交基底，
建立空间直角坐标系A －xyz .
因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，
则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(3，
1，3)．
(1)A1B →＝(3，－1，－3)，AC1→
＝(3，1，3)，
则cos 〈A1B →，AC1→〉＝
A1B →·AC1
→
|A1B →||AC1→|
＝
＝－17，
因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为1
7.
(2)平面A 1DA 的一个法向量为AE →
＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，
又A1B →＝(3，－1，－3)，BD →
＝(－3，3,0)， 则???
m·A1B →＝0，m·BD →
＝0，
即??
?
3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.
不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，
所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量． 从而cos 〈AE →，m 〉＝AE →
·m
|AE →||m|
＝
3，0，
，3，
3×4
＝34
. 设二面角B －A 1D －A 的大小为θ，则|cos θ|＝3
4.
因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos2θ＝74
. 因此二面角B －A 1D －A 的正弦值为
74
. [规律方法] (1)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”． (2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的． [举一反三]
(2017·江苏省无锡市高考数学一模)如图11－7，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝1
3.
(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值.
【导学号：56394084】
图11－7
[解] (1)设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝PA ＝2.以点O 为坐标原点，
DA →，DC →，OP →
方向分别是x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .则
A (1，－1,0)，
B (1,1,0)，
C (－1,1,0)，
D (－1，－1,0)，
设P (0,0，p )，则AP →
＝(－1,1，p )，又AP ＝2，
∴1＋1＋p 2
＝4，∴p ＝2，
∵OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝? ?
???13
，－13，223，
ON →＝13OB →＝? ??
??13，1
3，0，
∴PC →＝(－1,1，－2)，MN →＝? ????0，2
3
，－223，
设异面直线MN 与PC 所成角为θ，
则cos θ＝|MN →·PC →||MN →|·|PC →|＝23＋434
3
·4＝3
2.
∴θ＝30°，
∴异面直线MN 与PC 所成角为30°.
(2)PC →＝(－1,1，－2)，PB →＝(1,1，－2)，PN →＝? ??
??13，13，－2，
设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则???
n·PB →＝x ＋y －2z ＝0，
n·PC →
＝－x ＋y －2z ＝0，
取z ＝1，得n ＝(0，2，1)，
设平面PNC 的法向量m ＝(a ，b ，c )，
则???
??
m·PN →＝13a ＋13b －2c ＝0，
m·PC →＝－a ＋b －
2c ＝0，
取c ＝1，得m ＝(2，22，1)，
设二面角N －PC －B 的平面角为θ，
则cos θ＝|m·n||m|·|n|＝53·11
＝533
33.
∴二面角N －PC －B 的余弦值为533
33
.
[第3步▕ 高考易错明辨析]
1．忽视参数的符号
已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值； (2)若?
?
??
??－2f ? ????x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． [错解] (1) 由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，即－4a ≤x ≤2
a ，又f (x )≤3的解集为{x |
－2≤x ≤1}， ∴?????
－4
a ＝－2，2a ＝1，
即a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f ? ??
??x 2，则
h (x )＝???
??
1，x≤－1，
－4x －3，－1＜x ＜－12，
－1，x≥－1
2
，∴
|h (x )|≤1，因此k ≥1.
[正解] (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴
当a ≤0时，不合题意；当a ＞0时，－4a ≤x ≤2
a ，得
?
????
－4
a
＝－2，2
a
＝1，即a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f ? ??
??x 2，则h (x )＝???
??
1，x≤－1，
－4x －3，－1＜x ＜－12，
－1，x≥－1
2
，∴
|h (x )|≤1，因此k ≥1. 2．基本概念理解不清
直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
[错解] 由?
??
??
2ρcos θ＝1
ρ＝2cos θ??
???
?
ρ＝1，cos θ＝1
2或?
???
?
ρ＝－1，cos θ＝－1
2，则弦长＝
[1－－
＋????
??12－? ????－122＝ 5.
[正解] 2ρcos θ＝1是过点? ??
??12，0且垂直于极轴的直线，ρ＝2cos θ是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，则弦长＝2
1－? ??
??122＝ 3. ———————专家预测·巩固提升———————
(对应学生用书第61页)
1．(原创题)如图11－8，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB ＝10，AC ＝
2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边
与BE 相交于点D ，若BD ＝8，则AP 的长为________．
图11－8
2或8 [由题意，知△APC ∽△BDP ，∴AP BD ＝AC BP ，即AP 8＝210－AP .∴AP ＝2或8.]
[题后反思] 本题强调动手能力，用身边的实物建模，构造相似三角形，这是此
新课标高考数学模拟试题文科数学(含答案)
新课标高考模拟试题 数学文科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间12０分钟。 参考公式: 样本数据n x x x ,,21的标准差??锥体体积公式 ])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-= Sh V 3 1= 其中x 为样本平均数 ??其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式?? 球的表面积、体积公式 Sh V =?? 323 4 ,4R V R S ππ== 其中Ｓ为底面面积,h 为高 ?其中R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共60分） 一、选择题 1．已知集合2 {|1},{|20}A x x B x x x =≤=-<,则A B =?( ） A ．（0，1） B. C.(]0,1?D ．[)1,1- 2．若(1,1),(1,1),(2,4)a b c ==-=-，则c 等于 ( ) Ａ．-ａ＋３b B.a-3b ?C ．3a-b D ．-3a+b 3．已知四棱锥P —ＡBC Ｄ的三视图如右图所示,则四棱锥Ｐ—ＡBCD 的体积为( ) A. 13 ?B ． 23 ?C ．3 4 ?D ．38 4．已知函数()sin()(0,0,||)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示，则()f x 的 解析式是( ) A.()sin(3)()3f x x x R π =+ ∈ B ．()sin(2)()6 f x x x R π =+∈ ?C.()sin()()3f x x x R π =+ ∈?Ｄ.()sin(2)()3 f x x x R π =+∈ 5．阅读下列程序,输出结果为2的是( )
2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
2021年江苏省高考数学总复习：数列
第 1 页 共 28 页 2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n ?a n }为等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n + 13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1， 可得数列{3n ?a n }是以3为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可得3n ?a n ＝3+n ﹣1＝n +2， 则a n ＝（n +2）?（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3?13+4?（13）2+5?（13）3+…+（n +2）?（13 ）n ， 13S n ＝3?（13）2+4?（13）3+5?（13）4+…+（n +2）?（13 ）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）? （13）n +1 ＝1+19(1?13n?1)1?13 ?（n +2）?（13）n +1， 化简可得S n =74?2n+74?（13 ）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *． 则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *． 两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 整理，得 na n +1＝（n +1）a n ． 即a n+1n+1= a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n }为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ．
全国高考数学复习微专题：传统不等式的解法
传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠ 可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式 （1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为 ()0f x >） ①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根 ③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >? 寻找x 轴上方的部分 ()0f x 的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0 f x g x g x ?>???≠?? （化商为积），进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性 （2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同 （4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法： （1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >?+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ） ，将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >?>，即a b a c b c >?+>+成立，再例如： 0,0,c ac bc a b c ac bc >>?>?? <时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()() 0,0,c f a f b a b c f a f b >>??>?? <，则11 ,a b 的关系如何？设()1f x x = ，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11 a b a b >?< （2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是x y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：
2020届江苏高考数学应用题专题复习
高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u ＝? ??100v ＋23，0
高考数学模拟试题
高考数学模拟试题 （第一卷） 一、选择题：（每小题5分，满分60分） 1、已知集合A={x|x 2+2ax+1=0}的真子集只有一个，则a 值的集合是 A ．（﹣1，1）； B ．(﹣∞,﹣1)∪[1，+∞]； C ．{﹣1，1}； D ．{0} 2、若函数y=f(x)的反函数y=f －1(x)满足f －1(3)=0，则函数y=f(x+1)的图象必过点： A ．（0，3）； B ．（－1，3）； C ．（3，－1）； D ．（1，3） 3、已知复数z 1,z 2分别满足| z 1+i|=2，|z 2－3－3i|=3则| z 1－z 2|的最大值为： A ．5； B ．10； C ．5+13； D ．13 4、数列 ,4 3211,3211,211++++++ ……的前n 项和为： A ．12+n n ； B ．1+n n ； C ．222++n n ； D ．2+n n ； 5、极坐标方程ρsin θ=sin2θ表示的曲线是： A ．圆； B ．直线； C ．两线直线 D ．一条直线和一个圆。 6、已知一个复数的立方恰好等于它的共轭复数，则这样的复数共有： A ．3个； B ．4个； C ．5个； D ．6个。 7、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是异面直 线AC ，A 1D 的公垂线，则EF 和ED 1的关系是： A ． 异面； B ．平行； C ．垂直； D ．相交。 8、设(2－X)5=a 0+a 1x+a 2x+…+a 5x 5, 则a 1+a 3+a 5的值为： A ．－120； B ．－121； C ．－122； D ．－243。 9、要从一块斜边长为定值a 的直角三角形纸片剪出一块圆形纸片，圆形纸片的最大面积为： A ．2 πa 2； B ．24223a π-； C ．2πa 2； D ．2)223(a π- 10、过点（1，4）的直线在x,y 轴上的截距分别为a 和b(a,b ∈R +)，则a+b 的最小值是： A ．9； B ．8； C ．7； D ．6； 11、三人互相传球，由甲开始发球并作为第一次传球。经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有： A ．6种； B ．8种； C ．10种； D ．16种。 12、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x －2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则 A ．f(1)>f(5.5) ; B ．f(1) 江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数，，则的解集是 ． 2. 设函数，则满足的的取值范围为 ． 3. 已知函数，不等式对恒成立，则 ．* 4. 已知函数f (x )＝e x -1 －tx ，?x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ． 5. 已知函数f (x )＝2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是 ．* 6. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点， 则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为2 0am ????，，则实数a 的取值范围 是 . * 8. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为 ． 9. 设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则 实数的取值范围是 ．* 10. 已知函数f (x )＝???x 2 －1，x ≥0， －x ＋1，x ＜0． 若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 ． 11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈1 2，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直 线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ． 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ，，≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ，()4f x a >R 1 新课标高考模拟试题 数学文科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。 参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式 ])()()[(1 22221x x x x x x n S n -++-+-= Sh V 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 Sh V = 3 23 4,4R V R S ππ= = 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题 1．已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =≤=-<，则A B = （ ） A ．（0，1） B ． C ． (]0,1 D ．[)1,1- 2．若(1,1),(1,1),(2,4)a b c ==-=-，则c 等于 （ ） A ．-a+3b B ．a-3b C ．3a-b D ．-3a+b 3．已知四棱锥P —ABCD 的三视图如右图所示，则四棱锥P —ABCD 的体积为（ ） A ． 1 3 B ． 23 C ． 34 D ． 38 4．已知函数 ()sin()(0,0,||)2 f x A x A π ω?ω?=+>>< 的部分图象如图所示，则() f x 的解析式是（ ） A ．()sin(3)()3f x x x R π=+∈ B ．()sin(2)()6f x x x R π =+∈ C ． ()sin()()3 f x x x R π =+∈ D ． ()sin(2)()3 f x x x R π =+∈ 5．阅读下列程序，输出结果为2的是（ ） 6．在ABC ? 中，1tan ,cos 2A B == ，则tan C 的值是 （ ） A ．-1 B ．1 C D ．-2 7．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有下列四个命题： ①若,,;m m βα βα?⊥⊥则 ②若//,,//;m m αβαβ?则 ③若,,,;n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则 ④若,,,.m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的序号是 （ ） A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③ 8．两个正数a 、b 的等差中项是5,2 ,a b >且则双曲线22 221x y a b -=的离 心率e 等于 （ ） 常考问题9 等差数列、等比数列 (建议用时：50分钟) 1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 解析 a 1＋a 2＋a 3＝15?3a 2＝15?a 2＝5，a 1a 2a 3＝80?(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(舍去d ＝－3)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案 105 2．(2013·泰州期中)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13 a 11 ＝________. 解析 根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{a n }是递增等比数列，所以a 2a 8＝a 3a 7＝2，又a 3＋a 7＝3，且a 3＜a 7，解得a 3＝1，a 7＝2，所以q 4＝2，故a 13 a 11 ＝q 2＝ 2. 答案 2 3．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6 ＝13，则S 6 S 7 ＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13?a 1＝2d ，所以S 6 S 7＝ 6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝27 35. 答案 27 35 4．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________. 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1，从而1＋q ＝6 q ，∴q ＝2或q ＝－3(舍去)，a 1＝12，代入可有S 4＝12×(1－24)1－2 ＝15 2. 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是． 9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ．12 C ．12 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么 这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 到函 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2 π- B . (,0)6 π- C . (,0)6 π D . (,0) 3 π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．10 - B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22:20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（正视图 侧视图 俯视图 A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ， 则65a a ?的最大值是( ) A ．94 B ．6 C ．9 D ．36 9．已知变量,x y 满足约束条件102210x y x y x y +-≥ ?? -≤??-+≥? ，设22z x y =+，则z 的最小值是（ ） A. 12 B. 2 C. 1 D. 13 10. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0≥x 时，?????+∞∈--∈+=) ,1[|,3|1) 1,0[),1(log )(2 1x x x x x f ，则函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21- 第Ⅱ卷（非选择题 满分 100分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11. 命题“若12 三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; 江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1 第1课时函数的图象与性质1 第2课时导数及其应用5 第3课时函数与方程8 第4课时函数与导数的综合应用10 专题二三角函数与平面向量14 第1课时三角函数的图象与性质14 第2课时平面向量、解三角形17 第3课时三角函数与向量的综合问题21 专题三不等式25 第1课时基本不等式及其应用25 第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31 第1课时等差、等比数列31 第2课时数列的求和34 第3课时数列的综合应用38 专题五立体几何42 第1课时平行与垂直42 第2课时面积与体积47 专题六平面解析几何52 第1课时直线与圆52 第2课时圆锥曲线56 第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60 第4课时圆锥曲线的范围问题64 专题七应用题67 专题八理科选修72 第1课时空间向量72 第2课时离散型随机变量的概率分布76 第3课时二项式定理80 第4课时数学归纳法84 专题九思想方法88 第1课时函数与方程思想88 第2课时数形结合思想92 第3课时分类讨论思想95 第4课时等价转化思想98 专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高. 第1课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2 的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝?????x ＋a ，－1≤x <0? ????? 25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ? ????－52＝f ? ????92，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和 C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________. 第3题图 4.(17无锡一调)已知f ()x ＝? ??2x －3，x >0 g ()x ，x <0是奇函数，则f ()g ()－2＝________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F → ＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC → ＝3. (1) 求AB →·AC → 的值； (2) 求λ＋μ的值． 第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________． (2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同 常考问题21 坐标系与参数方程 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ? ? ???2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极 坐标方程． 解 将圆心C ? ? ???2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2 －4ρcos ? ?? ?? θ－π3－1＝0. 此即为所求的圆C 的极坐标方程． 2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆??? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数) 的右焦点，且与直线??? x ＝4－2t ， y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝1 2(x －4)，即x －2y －4＝0. 3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a | 32＋4 2 ＝1， 解得a ＝－8或a ＝2， 故a 的值为－8或2. 4．已知曲线C 1：??? x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ?? x ＝8cos θ，y ＝3sin θ江苏高考数学专题练习函数(含解析)
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