第124讲、余数的性质(1)---答案

第124讲、余数的性质

---初版

一、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

如：23，19除以5的余数分别是3和4所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

如：23，16除以5的余数分别是3和1所以23－16＝7除以5的余数等于2两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

1、（例题精讲）幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。这班里共有多少位小朋友？

解法、（余数的加减法定理） 40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是36，180，

108的大于20的公约数，只有36。

2、（金典练习）在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有多少组？

解法、（余数的加减法定理）余数的加减法定理1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依

次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的

数组共有下面4个：()

2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．

3、（金典练习）有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？

解法、（余数的加减法定理）(70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小

于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5250>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，12231550++=，所以除数是29

4、（金典练习）用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n =是多少？

解法、（余数的加减法定理）n 能整除639112925258++-=．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8

的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43.

5、（金典练习）从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N 最大为多少？

解法、（余数的加减法定理）取出的N 个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两

个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者

10．在12007中，除以15的余数为0的有151?，152?，…，15133?，共有133个；除以15的余数为5的有1505?+，1515?+，…，151335?+，共有134个；除以15的余数为10的有15010?+，15110?+，…，1513310?+，共有134个．所以N 最大为134．

1、（例题精讲）求2461135604711??÷的余数

解法、（余数的加乘法定理）因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，2461135604711

??÷的余数等83811??÷的余数，而838192??=，1921117...5÷=，所以2461135604711??÷的余数为5．

2、（金典练习）求478296351??除以17的余数

解法、（余数的加乘法定理）先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17

的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，

(2711)179......1??÷=．

3、（金典练习）一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？

解法、（余数的加乘法定理）余数是3×3÷7的余数，为2

4、（金典练习）222212320012002+++

++除以7的余数是多少？

解法、由于22222200220034005123200120021001200313356

??+++++=

=??，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++++除以7的余数是0；

5、（金典练习）求12644319÷的余数

解法、本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19

余2，求原式的余数只要求12219÷的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，

因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，12662226464=?=?，64÷19余数

为7，那么求12219÷的余数就转化为求646419?÷的余数，即49÷19的余数。49÷19余数为

11，所以原式12644319÷的余数为11.

1、（例题精讲）一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

解法（1）、设从大到小分别为6a+1，6b+1，6c+1，6d+1，则a+b+c+d=16。又a>b>c>d ，b-c>=4（自

然规律和婚姻法规定，除非是18岁以前生孩子），故唯一解是7、6、2、1，父母兄妹年

龄依次是43、37、13和7。

解法（2）从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k +型的数，又

是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7

岁

2、（金典练习）今天是星期四，100010天之后将是星期几？

解法、先求较小的n ，使10n 除以7的余数为1，10除以7余3，210除以7余2，32101010=?除以7

余326?=，422101010=?除以7余224?=，633101010=?除以7的余数等于6636?=除以7的余数等于1．所以，100010除以7的余数等于461661010??除以7的余数等于414?=，故100010天之后，应是星期一．

3、（金典练习）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．

解法、设甲数是x ，由题意得：

x=（1088-x ）×11+32，

x=11968-11x+32，

x+11x=12000-11x+11x ，

12x ÷12=12000÷12，

x=1000，

1088-1000=88，

4、（金典练习）在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是

解法、因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的8998

～可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

5、（金典练习）求1~2008的所有自然数中，有多少个整数a 使2a 与2a 被7除余数相同？ a 2

2a 被7除的余数是2，4，1，2，4，1，2，4，1，，每3个一循环；

2a 被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，

，每7个一循环． 所以能同时满足这两个条件的规律，必须是3和7的公倍数，即为21的倍数，也就是使2a 与2a 被7除的余数相同的数，在自然数列中，是每21一个循环，其中有6个余数相同，分别是每个循环中的第2，4，5，6，10，15个数．

又因为2008219513÷=，所以，在1~2008的所有自然数中，能使2a 与2a 被7除余数相同的数共有：6955575?+=（个）．

1、求89

143除以7的余数．

解法（1）由于()1433mod 7≡ (143被7除余3)，所以()89891433mod 7≡ (89143被7除所得余数与893被7除得余数相等),而63729=，()7291mod 7≡（729除以7的余数为1），

所以()8966655143333335mod7≡????≡≡个

,故89143除以7的余数为5.

解法（2）计算893

于是余数以6为周期变化．所以335mod 7≡≡

2、4373091993??被7除的余数

解法（1）先将4373091993??算出以后，即4373091993269120769??=．再求得此数被7除的余

数为1．

解法（2）因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：437309?（）

以7的余为31?（）．又因为1993除以7的余数为5，所以4373091993??（）

除以7的余数等于315??（）

即15除以7的余数，算出4373091993??被7除的余数为1． 解法（3）利用余数判别法⑹，算出4373091993269120769??=，奇数节的数之和与偶数节的数之和

的差即2697691201722336+++++-++=+-=（）（）（），36除以7的余数为1，即437309193??

被7除的余数为1．

3、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有多少组？

解法（1）（余数的加减法定理）余数的加减法定理1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数

依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的

数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，

()1998,2000,2003,2001,1995．

4、求19973的最后两位数．

解法、即考虑19973除以100的余数．由于100425=?，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，

103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1

，

则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917=?+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=?，所以173除以100的余数等于292943??除以100的余数，而29294336163??=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．

5、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

解法、被除数与除数的和：933-40-16=877；除数是：（877-16）÷（40+1）=861÷41=21；

被除数是：40×21+16=840+16=856；

6、如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？

解法、从5！开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33所以末位数字一定是3