浙江省温州市十校联合体 2019届高三年级上学期联考
图1
侧视图
正视图4
浙江省温州市十校联合体 2019届高三年级上学期联考
数学试题（文科）
（完卷时间：120分钟， 满分：150分，本次考试不得使用计算器）
一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分． 1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =
（ ）
A ．{11}x x -≤<
B ．{1}x x >
C ．{11}x x -<<
D ．{1}x x ≥- 2．设i 为虚数单位，则3+2i
2－3i
=
（ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
3．设集合}30|{≤<=x x M ， }20|{≤<=x x N ，那么 “M a ∈”是“N a ∈”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若向量),3(m a =，)1,2(-=b ， 0=?b a ，则实数m 的值为 （ ）
A ．32-
B ．32
C ．2
D ．6
5．某程序框图如图1所示，该程序运行输出的k A ．4 B ．5 C ．6．函数22cos ()14
y x π
=--是
A ．最小正周期为π的偶函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2
π
的偶函数
D ．最小正周期为
2
π
的奇 7．如图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如
图，则该几何体的全面积为 （ ） A ．6+B ．24+
C ．143
D ．32+8．设变量,x y 满足约束条件0,
0,220,x x y x y ≥??
-≥??--≤?
则32z x y =-的最大值为 （ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
9．已知 时均有 当 且2
1
)()1,1(,)(,102<
-∈-=≠>x f x a x x f a a x 则实数a 的取值范围
（ ）
A ．[)∞+???
??，
，221 0 B ．(]4,11,41 ??
????
C ．(]2 11,21， ??
???? D ．[)∞+??
? ??， 441,0 10．已知12,F F 分别是双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的左，右焦点。过点2F 与双曲
线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，且0
1290F MF ∠=，则双
曲线的离心率为
（ ）
A B ．2
C D ．3
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．如图3, 是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率
分布直方图,则成绩不低于69．5分的人数为 ．
12．若0x >，则2
x x
+
的最小值为 。 13．已知)3()
0)(2()1()
0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则??
?>---≤-== ． 14．已知1，1a ，2a ，9成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，9成等比数列，且1a ，2a ，1b ，
2b ，3b 都是实数，则212)(b a a -= ．
15．已知集合{}{}1,2,3,7,8A B ==,现从A, B 中各取一个数字, 组成无重复数字的二位数, 在这些二位数中, 任取一个数, 则恰为奇数的概率为
16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月
份销售额比六份递增x %,八月份销售额比七月份递增x ％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是 ．
17．在平面几何里，有：“若ABC ?的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面
积为r c b a S ABC )(2
1
++=
?”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积
为 ”
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，
b ,
c ,2sin a b A =． （1）求B 的大小；
（2）若a =5c =，求b ．
19．（本小题满分14分）设{}n a 为等比数列，且其满足：a S n
n +=2． （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为n
n a n
b -
=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，
P D A B C D ⊥底面，点
E 在棱PB 上． （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
21．（本小题满分15分）已知函数3223
()39f x x ax a x a =--+． （1）设1a =，求函数()f x 的极值； （2）若1
4
a >，且当[]1,4x a ∈时，)('x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．
22．（本小题满分15分） 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为)02
1(，F ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）已知直线)2
1(+=x k y 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FB FA 2=，求k 的值； （3）设点P 是抛物线C 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆1)1(2
2
=+-y x 内切于
PRN ?，求PRN ?的面积最小值．
参考答案
11、 36 1213、 0 14、 8 15、
12
7
16、 20 17、 r S S S S V BCD
A )(3
1
4321+++=-四面体 三、解答题（本大题共有5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，2sin a b A =． （1）求B 的大小；
（2）若a =5c =，求b ． 解：（1）A B A sin sin 2sin = ∴2
1sin =B
∵△ABC 是锐角三角形 ∴6
π
=
B （7分）
（2）7cos 222=-+=
B ac c a b （14分）
19．设{}n a 为等比数列，且其满足：a S n
n +=2．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为n
n a n
b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解（1）n=1时，a a +=21 2≥n 时，112--=-=n n n n S S a
∵{}n a 为等比数列 ∴12
21
11==+=-a a ∴1-=a
∴{}n a 的通项公式为1
2-=n n a （6分）
（2）12
--=-=n n n n a n b
)2
1
21321211(12-?+?+?+?-=n n n T ①
]2
1
21)1(212211[2112n n n n n T ?+-+?+?-=- ② ②-①得n n n n T 21
21212112112?-++++=--
∴42
2
1-+=-n n n T （14分）
20．解 本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知
识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵PD ABCD ⊥底面， ∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面． （6分） （Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD ，1
2
OE PD =
，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，
在Rt △AOE 中，12OE PD AB AO =
==， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45? （14分）
21．解：（Ⅰ）当a=1时，对函数()f x 求导数，得'
2
()369.f x x x =--
令 '
12()0,1, 3.f x x x ==-=解得
列表讨论'
(),()f x f x 的变化情况：
（Ⅱ）'
2
2
()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称． 若
'1
1,()4
a f x <≤则在[1,4a]上是增函数，从而 '()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a =
由'
2
2
|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有
'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且
由''14
(1)121,(4)120.35
f a a f a a a ≥--≤≤≤≤≤得由得
所以11414
(,1][,1][0,],(,].43545a a ∈-∈即
若a>1,则'2'
|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立．
所以使'
|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,].45
（15分）
22．解：（1）设抛物线C 的方程为2
2(0),y px p => 由
1
22
p =，即1p =，
所以抛物线C 的方程为2
2y x =…………4分
（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由||2||FA FB = 得故12112()22
x x +
=+
即121
22x x -= ①
又由21()22y k x y x
?
=+???=?
得2222
(2)04k k x k x +-+= 故1222
1x x k +=- ②
121
4
x x = ③
解①②③构成的方程组得1211,,43
x x k ===±
又由2242
(2)440k k k ?=--=->，即11k -<<，所求得的k 适合，
因此所求得的k
的值为3
±
…………9分 （3）设00(,),(0,),(0,)P x y R b N c ，且b c >
∴直线PR 的方程为000()0y b x x y x b --+=
圆2
2
(1)1x y -+=内切于PRN ?， 由则圆心（1，0）到直线PR 的距离为1，
1=化简得2000(2)20x b y b x -+-=
同理可得2
000(2)20x c y c x -+-=
由于02x >，所以,b c 为方程2
000(2)20x x y x x -+-=的两根，
∴0022x y c b -=+，002x x bc -=，∴2
02
020020202
)2(4)2(844)(-=--+=-x x x x y x c b ∴842
4
)2(2210002
00≥+-+-=-=-=?x x x x x c b S PRN ，
当且仅当40=x 时取等号，
所以PRN ?的面积最小值为8． …（15分）