例析立体几何中的动点轨迹问题

立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） ） 解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ， 且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。 二、几何体的截痕

例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率 ， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点， 在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23． 四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别 此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（ ） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．

注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

立体几何动态问题专题

立体几何的动态问题 立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。 动点轨迹问题 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义） 1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB ＝30°，则点P的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支 式题如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点满足∠＝π 6 ，若动 点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________． 3．（2015春?龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题： ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆； ③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆； ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1

立体几何中的动点问题

立体几何中的动点问题 1、如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，⊥PA 平面ABCD ，且4=PA ，M 是PB 上的一个动点（不与B P ,重合），过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()x f y =的图象是C 2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，且CD BD ⊥，CD BD AB ==，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若PBD ?的面积为()x f ，则()x f 的图象大致是A

3、 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，1=AB ，N M ,分别在BC AD ,1上移动，始终保持//MN 平面11D DCC ，设x BN =，y MN =，则函数()x f y =的图象大致是 C 4、如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________2π 5、点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，给出下列命 题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变； ②//1P A 平面1ACD ； ③1BC DP ⊥； ④平面⊥1PDB 平面1ACD ； 其中正确的命题序号是_______①②④

6、在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为11C B ，11D C 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是_______22 7、已知直三棱柱111C B A ABC -中的底面为等腰直角三角形，AC AB ⊥，点N M ,分别是边C A AB 11,上动点，若直线//MN 平面11B BCC ，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为 C .A 双曲线的一支（一部分） .B 圆弧（一部分） .C 线段（去掉一个端点） .D 抛物线的一部分 解：以AB 为轴，AC 为轴，1AA 为轴建系 设()b ta M ,0,1，()tb ta M ,0,，()b ta N ,,01，则()()b t ta N -1,,0，()tb ta M ,0,()10<≤t 则N M ,中点?? ? ??2,2,2b ta ta Q (通过作与平面11B BCC 平行的平面交C A AB 11,来找N M ,进而找中点Q )

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不 需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动点Q（x ' ， y ' ）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x ',y ' 表示为 x,y的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。

专题_解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题 学大分教研中心 周坤 轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK ，不废话了，开始进入正题吧... Part 1 几类动点轨迹问题 一、动线段定比分点的轨迹 例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。 ()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，， ()( )0 11101a a x x y b b y λλλλλλλ+???=+=??? +??++?=??=? ?+? ， 2225a b +=代入 () () 2 2 2 2 2 1125y x λλλ +++ = () () 2 2 2 2 2 125 2511x y λλλ+ =++

2225 14 P x y λ=+= 当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;② 01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③； 例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程. ()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有 ()()()()11 33131313x x y y ?+-= ?+-? ? +-?=?+-? 11332 312 x x y y -?=??? -?=??化简即： 22114x y +=代入 22 3331422x y --???? += ? ????? 得 所以点P 的轨迹为()2 2 116139x y ? ?-+-= ?? ? 二、两条动直线的交点问题 例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x = AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，，

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。 7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。 二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

立体几何中的最值问题(一)

2 5 2 5 2 5 3 3 立体几何中的最值问题（一） 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常 常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线 段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（） A. B. C. 2 D. 1 5 5 解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动， 当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。又P 在BD 上运动，且当 5 P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 5 图 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。 解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平 面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥。 2 5

图 2 三、展成平面求最值 例 3. 如图 3-1，四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形，且 AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱 AB 、BC 、CD 、DA 于点 P 、Q 、R 、S ，则四边形 PQRS 的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图 3-1 解析：如图 3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且 AB=CD ， AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点，且 AD // BC // A ' D ' ， AB // CD '， A 、C 、A’共线，D 、 B 、D’共线， AA ' = DD ' = 2BD 。又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS ， S’与 S 在四面体中是同一点。因而当 P 、Q 、R 在 S’S 上时， S ' P + PQ + QR + RS 最小，也就是四边形 PQRS 周长最小。又 S ' A = SA '，所以最小值 L = SS ' = DD ' = 2BD = 2b 。故选 B 。 图 3-2 四、利用向量求最值 例 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中，P 是 AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为 。

立体几何中的动点轨迹问题讲解

立体几何中的动点轨迹问题讲解 这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。 这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。 立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。 题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。

但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。 与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C

立体几何动点问题

1 A 1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=2 2 ， 则下列结论中错误 ．．的个数是( ) (1) AC⊥BE. (2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为2 2 . (3) 三棱锥A-BEF的体积为定值. (4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条. (5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40?并且与平面BEF所成角为50?的直线有2条. A.0 B.1 C.2 D.3 2．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点 ，且 2 2 = EF,则下列结论中错误 ．．的是（） A．B．∥平面 C．三棱锥的体积为定值 D．△AEF与△BEF的面积相等 3.关于图中的正方体1 1 1 1 D C B A ABCD-，下列说法正确的有 ___________________． ①P点在线段BD上运动，棱锥1 1 D AB P-体积不变； ②P点在线段BD上运动，二面角 A D B P- - 1 1不变； ③一个平面 α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面 α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面 α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面 1 1 D AB 与平面1 BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。 4、如图,正方体1111 ABCD A BC D - 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段1 CC 上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___________(写 出所有正确命题的编号). ①当 1 2 CQ << 时,S为四边形; ②当 1 2 CQ= 时,S不为等腰梯形; ③当 3 4 CQ= 时,S与11 C D 的交点R满足 1 1 3 C R= ; 1 1 1 1 D C B A ABCD- 1 1 D B F E, BE AC⊥EF ABCD BEF A-

高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案

立体几何折叠动点问题 1．（2020?湖南模拟）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是( ) A ． B ．36 C ．24 D ． 2．（2020?德阳模拟）ABC ?是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( ) A B C D 3．（2020?德阳模拟）ABC ?是边长为的等边三角形，E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ?折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为( ) A ． B C ．3 D ．2 4．（2020春?江西月考）已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ?中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥， D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截 面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( ) A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π

5．（2020春?沙坪坝区校级期中）已知A ，B ，C ，D 四点均在半径为(R R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为1 6，则球O 的表面积为( ) A ．32 π B ．2π C ． 94 π D ． 83 π 6．（2020春?五华区校级月考）已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，2AB =，AC =60ABC ∠=?， 且三棱锥O ABC -，则球O 的体积为( ) A ．24π B ．48π C ． D ． 7．（2020?东莞市模拟）已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，M 是11A B 的中点，且1111 2 C M A B =，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为( ) A ．12 B ． 16 C ．4 D ． 43 8．（2020?江西模拟）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=?，连接AC ，BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，14AO BD ==，点C '与点C 关于平面1BC D 对称，则三棱锥C ABD '-的体积为( ) A ． B ． C ． D ．

最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O

2014高考理科立体几何难建系和动点问题(考前必做的立几大题)

学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 2 1．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图四棱锥P ABCD -902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?，与PAD ?都是等边三角形 (I)证明:; PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小 （2012年高考（四川理））如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC . (Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小. （2012年高考（辽宁理）） 如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=, /,AB AC AA λ==点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面//A ACC ; (Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角,求λ的值 .

（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点, 且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2. (1)求证:A 1C⊥平面BCDE; (2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小; (3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由. （2012年高考（安徽理））平面图形111ABB AC C 如图4所示,其中11BB C C 是矩 形,12,4BC BB ==,AB AC ==1111A B AC ==现将该平面图形分别沿 BC 和11B C 折叠,使ABC ?与111A B C ?所在平面都与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题 . (Ⅰ)证明:1AA BC ⊥; (Ⅱ)求1AA 的长; (Ⅲ)求二面角1A BC A --的余弦值.

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）； （1）单动点模型 ~ 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.

P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值. 作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. O 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k. 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） ~ 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附答案

数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点 一、选择题 1．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ． 64 B ． 62 C ． 32 D ． 34 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点， 1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2 119244 EC =+=， ∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ， 1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ， 且1136 222BDE S BD OE ?= =??= g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6 . 故选:A . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题. 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A ． 132 π B ．7π C ． 152 π D ．8π 【答案】B 【解析】 【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】 由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1 4 的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为： 221 41212274 ππππ??+??+?=． 故选：B ． 【点睛】 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．． 1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )

数学高考题型专题讲解44---立体几何中最值问题

数学高考题型专题讲解44 ---立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体, 涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一距离最值问题 【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（） A．B．1 C．D．2 【答案】B 【解析】 以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，

所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选：B． 【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】 1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为 A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等． 一、常见题目类型 (优质试题·金华十校高考模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点 M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包 括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3 ，则点P 的轨迹是( ) A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．双曲线的一部分 【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为 θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角， 即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3 ，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分， 因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B. 【答案】 B (优质试题·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( ) A.43 B.163 C.49π D.83 π 【解析】 根据题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图1所示，则B (2，1，0)，C (0，2，0)，设M (x ，0，z )，易知直线MB ，MC 与平面ADEF 所成的角分别为∠AMB ，∠DMC ，均为锐角，且∠AMB ＝∠DMC ，所 以sin ∠AMB ＝sin ∠DMC ?AB MB ＝CD MC ，即2MB ＝MC ，因此2（2－x ）2＋12＋z 2＝x 2＋22＋z 2，

动点轨迹问题

专题动点轨迹问题 ——直线、圆弧型路径 自查: (2018 广州25题)如图12,在四边形ABCD中,∠B＝60°,∠D＝30°,AB＝B C、 (1)求∠A＋∠C得度数; (2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间得数量关系,并说明理由; (3)若AB＝1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足,求点E运动路径得长度、 一．几何模型 (1) 直线型路径 ①【定距离判断直线型路径】 当某一动点到某条直线得距离不变时,该动点得路径为直线、 ②【定角度判断直线型路径】 当某一动点与定线段得一个端点连接后所成得角度不变,该动点得路径为直线、 (2)圆弧型路径 ①【用一中同长定圆】 到定点得距离等于定长得点得集合就是圆、 ②【用定弦对定角定圆】 当某条边与该边所对得角就是定值时,该角得顶点得路径就是圆弧、 二．典例分析 例1如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,且AE:ED=1:3.动点P从点A出发,沿AB 运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F,设M就是线段EF得中点,则在点P运动得整个过程中,点M运动路线得长为、 例2如图,△ABC与△ADE都就是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中点,若点D在直线BC 上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE得最小值就是为、 例3如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径得半圆上,M为PC得中点,当点P沿半圆从点A 运动至点B时,点M运动得路径长就是、 例4 在正方形ABCD中,AD=2,点E从点D出发向终点C运动,点F从C出发向终点B运动,且始终保持DE=CF、连接AE,DF交于点P,则点P运动得路径长就是、 三、巩固练习 1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D就是平面内得一个动点,且AD=2,M为BD得中点,在D点运动过程中,线段CM长度得取值范围就是、 1题图 2题图 3题图 2.如图,等边三角形ABC中,BC=6,D、E就是边BC上两点,且BD=CE=1,点P就是线段DE上得一个动点,过点P分别作AC、AB得平行线交AB、AC于点M、N,连接MN、AP交于点G,则点P由点D移动到点E得过程中,线段BG扫过得区域面积为、