届高三文科数学立体几何空间角专题复习
2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1：两异面直线所成的角
例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点
（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若
90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所
成的
角等于（C ） (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
变式训练：
1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为(C)
（A ）1010(B)15(C )31010(D)35
2.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ?∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（）
A ．1030
B ．21
C ．15
30 D ．1015 3.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱
111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）
A ．55
B ．53
C ．55
D ．35
第3题图第4题图第5题图
4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） Ａ．15 Ｂ．25 Ｃ．35 Ｄ．45
5.（2012年高考（四川文理））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是
6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．
7.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是。8（2011年上海文）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求
（1）异面直线BD 与1AB
所成角的余弦值；
10（2）四面体11AB D C 的体积. 考点2：直线与平面所成的角 例3.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面
D ）
（A ）3（B （C ）23（D 例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，
∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面P AC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
图1－7图1－8
【解答】(1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
D B D 1
B
(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .
(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝.从而AN ＝DO ＝.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.
变式训练
9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为(D) 6 26 15 10第9题图第10题图第11题图
10.（2010四川文理15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α?.B l ∈， AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是311.已知长方体1111ABCD A B C D -中11,2,3DA DC DD ===，求直线1BB 与平面11A BC 所成的角。
12.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB
所成的角的大小.
13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，
BC=1，3PD=CD=2.
（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
【解析】（I ）//AD BC ?PAD ∠是PA 与BC 所成角
在ADP ?中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===tan 2PD PAD AD ∠==
异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2
（II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=?⊥I 面PDC
AD ?Q 面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD
（III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE
平面PDC ⊥平面ABCD PE ?⊥面ABCD PBE ?∠是直线PB 与平面ABCD 所成角
在Rt BCE ?中，BE PB ==?=
在Rt BPE ?中，sin 13
PE PBE PB ∠==
得：直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为
13 14.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥?⊥平面平面所以
又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=o .
由BD ⊥平面PAC ，PO ?平面PAC ，知BD PO ⊥.
在Rt POD V 中，由DPO ∠30=o ，得PD=2OD.
因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222
AD BC +=?+=于是梯形ABCD 面积
在等腰三角形ＡＯＤ中，OD AD =
=
所以2 4.PD OD PA ====
故四棱锥P ABCD -的体积为11941233
V S PA =??=??=. 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由
13
V S PA =??算得体积. 15.（2011年·湖南文19）如图1－5，在圆锥PO 中，已知PO ＝，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB )上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．
(1)证明：AC ⊥平面POD ；
(2)求直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值．
图1－5
课标文，G11[2011·湖南卷]【解答】
(1)因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .
又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC ⊥PO .
而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，
所以AC ⊥平面POD .
(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC ?平面P AC ，
所以平面POD ⊥平面P AC .
在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面P AC .
图1－6
连结CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影，
所以∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．
在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin30°＝.
在Rt △POD 中，
OH ＝＝＝.
在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝＝.
故直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值为.
考点3：二面角
例.如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；
（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；
（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.
例6.（2011浙江文20）如图1－7，在三棱
锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．
(1)证明：AP ⊥BC ；
(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B －AP －C 的大小．
图1－7
课标文[2011·浙江卷]【解答】(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 中点，得AD ⊥BC ，
又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，
因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥AP .
(2)如图，在平面APB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM .
因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .
故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．
在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝.
在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，
在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，
所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.
在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.
又cos ∠BP A ＝＝，
从而sin ∠BP A ＝.
故BM ＝PB sin ∠BP A ＝4.
同理CM ＝4.因为BM 2＋MC 2＝BC 2，
所以∠BMC ＝90°，
即二面角B －AP －C 的大小为90°.
变式训练：
16.（09陕西文）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB =1
，1AC AA ==ABC=600.
(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；
（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的正切值。 17.（07湖南文）如图3，已知直二面角βα--PQ
CB CA =，?=∠45BAP ，直线CA 和平面α(Ⅰ)证明BC PQ ⊥；
(Ⅱ)求二面角B AC P --的正切值.
18.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离． 巩固与提高
1.如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
（Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F 图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ；
(2)求二面角E －DB －C 的正切值.
证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝
2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴?=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．
在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ?平面11DCC D ，
∴BC ⊥DE ．又C BC EC =I ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．
(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作
EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵
面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O
在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，
∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝5
1，(第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．
A C B
P
AD BC A 1D 1 B 1C 1 E
图5 (第18题)
3.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1DD 的中点．
（1）求证：1BD ∥平面AEC ；
（2）求1BC 与平面11A ACC 所成的角.
4.[2014·湖南卷文]如图1-3所示，已知二面角α-MN -β
的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在
棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面
α，垂足为O .
图1-3
(1)证明：AB ⊥平面ODE ；
(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．
18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ?α，所以DO ⊥AB .
连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .
(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．
由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.
不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝.
在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝.
连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝＝
＝.
故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为.
5.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,，在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以
BE PQ 21//==，又BE DC 21//==，所以DC PQ ==
//，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ，所以//PQ 平面ACD
（Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥
而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC
而?EB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC ，所以⊥CQ 平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //
所以⊥DP 平面ABE ，所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，
所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠
在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以555
1sin ===∠AD DP DAP 6.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。
本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位
置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、
推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。
ΘSD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，
由三垂线定理得AC ⊥BE.
(II)解法1：ΘSD ⊥平面ABCD ，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，∴SD ⊥CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤI AD=D ，∴CD ⊥平面SAD 。 过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ，
故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60°
在Rt △ADE 中，ΘAD=a ,DE=a λ，AE=a
12+λ。 于是，DF=12+=?λλa AE DE AD
在Rt △CDF 中，由cot 60°=12+=λλ
CD DF
得3312=+λλ
，即332+λ=3λ (0,1]λ∈，解得λ=
22 7.[2014·天津卷文]如图1-4所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝，AD ＝2，P A ＝PD ＝，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．
(1)证明：EF ∥平面PAB ；
(2)若二面角P -AD -B 为60°.
(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
17．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ?平面P AB ，而EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .
(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P -AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60?，由余弦定理，可解得PB ＝，从而∠PBE ＝90?，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ?平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .
(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝PB ＝，可得AM ＝，故EF ＝.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝＝.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为.
8.[2014·浙江卷文]如图1-5，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝.
图1-5
(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；
(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．
20．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝，由AC ＝，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.
(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC. 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．
在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；
在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，
得AF＝.
在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，
得tan∠EAF＝.
所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
高三数学知识点总结：立体几何
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的 2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C 5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1 4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
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