三校联考试卷(文科数学)

德化二中、德化三中、德化八中高三年上学期期末联考

数学（文科）试卷

班级：___________座号：____________姓名：___________
卷Ⅰ　选择题

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中有且只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填写在答案卡的相应位置上，
在本卷作答不给分.）
1．关于 x 的一元二次方程 ax2 ? 2x ?1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分必
要条件是（ ）
A． a ? 0 B． a ? 0 C． a ? ?1 D． a ?1
?
2．函数 y ? ?3sin(2x ? ) x ?[0 , ? ]的单调递增区间为( )
6
5? ? 2? ? 11? 2? 11?
A．[0 , ] B．[ , ] C．[ , ] D．[ , ]
12 6 3 6 12 3 12

a4 1
3．若数列{an}是等差数列，且 ? ，则 a2 等于（ ）
a8 3
1
A． 2a B． a C．0 D． a
4 4 2 8
4．函数 f（x）= x +2（x ? 0）的反函数 f ?1 （x）的图象是（ ）







5． 已知函数 f(x)= log 1 x , 则 f(－1)与 f(2)的大小关系是 ( )
2
A． f(－1)=f(2) B． f(－1)>f(2)
C． f(－1)x2 ? 2x ? 2
6．函数 y= (x>－1) 的图象的最低点的坐标是（ ）
x ?1
A．（1，2） B．（1，－2） C．（0，2） D．不存在

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7．圆 x 2 ? y 2 ? 4 截直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 所得的弦长为（ ）

A．2 B．1 C． 3 D． 2 3

8．已知 a，b，c，d 为不等于 1 的正数，且 a，b，c，d 成等差数列，则下面三个数

列：①a＋b，b＋c，c＋d；②a－b,b－c,c－d；③ loga b,loga c,loga d 中，必成等

差数列的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
9．某城市的绿化建设有如下统计数据：

年 份 2002 2003 2004 2005

绿化覆盖率（%） 17.0 17.8 18.6 19.4

如果以后的几年继续依此发展绿化，那

么使该城市绿化覆盖率超过 23.5%的最早

年份是（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
10．下列命题正确的是（ ）
a b
A． a ? b,c ? d ? ac2 ? bd 2 B． ? ? a ? b
c 2 c 2
1 1
C． a ? b且ab ? 0 ? ? D． a ? b ? ac2 ? bc2
a b
11．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
r r r r
A．若向量 a =(x，y)，向量 b =(－y，x)(x、y≠0)，则 a ⊥ b

r 2 r 2 r r r
B．若 a ? b ? 0, 则 a ? b ? 0
r r r r r r
C．若向量 a 和向量 b 都是单位向量且 a ∥ b ，则 a ＝ b

D．△ABC 中， AB 和 CA 的夹角等于? －A
?
12．若直线 3x ? y ?1 ? 0 与直线 x ? ay ? 0 的夹角为 ，则实数 a 等于( )
6

3
A．0 B． 3 C．0 或 3 D．0 或 ?
3


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卷Ⅱ　非选择题

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.请把正确的答案填写在答案卡

的相应位置上，在本卷作答不给分.）

13．设集合 M=｛ x| x - m<0 ｝, N=｛ x x ? ?1｝, 若 M∩N=φ, 则实数 m 的取值范围

是_____________．

2x 1
14．已知 f (x) ? ，且 f ?1 ( ) ? __________．
1? 2x 3

15．已知 A、B 两点的坐标分别是（－1,0），（1,0），点 C 是直线 y=x 上的动点，则
△ABC 的重心 G 的轨迹方程是_____________．
24 ?
16．已知 sin(? ? 2?) ? ，? ?(? ,0) ，则 sin? ? cos? ? _______．
25 4
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.）
17．（本题满分 12 分）

已知{an }，{bn }为两个数列，数列{an }的前 n 项和 Sn ? n(n ?1)


（1）求数列{an}的通项公式；


2 *
（2）若数列{bn} 满足： bn ? (n? N ) ,求{bn} 的前 n 项和Tn ．
anan?1

18．（

本题满分 12 分）
r
在△ABC 中， a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, x ＝（3a＋c，b）,
ur r ur
y ＝(cosB，cosC)，且 xgy ＝0．
（1）求 cosB；
sin 2? ? cos2 ?
(2) 若角α满足 tan? ? cos B ，求 的值
1? cos 2?
19．（本题满分 12 分）

已知 f (x) ? ?3x2 ? a(5 ? a)x ? 9.


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(1)当不等式 f (x) ＞0 的解集为（－1,3）时，求实数 a 的值；

(2)若 f (1) ＞0，解关于 x 的不等式 ? x ? a?? x ? 2? ? 0 .

20．（本题满分 12 分）
某集团准备兴办一所中学，投资 1200 万用于硬件建设．为了考虑社会效益和经
济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
每个班级的 每班配备教 每班硬件建设 教师年薪（万元/
学生数 师数 资金（万元） 人）
初中 60 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公
费外，初中生每年可收取学费
0.06 万元，高中生每年可收取学
费 0.15 万元．因生源和环境等条
件限制，初高中总班级数以 20
至 30 个班为宜．根据以上情况，
请你合理规划办学规模使年利润
最大，最大利润多少万元？
（利润＝学费收入－年薪支出）
21．（本题满分 12 分）
已知直线 l : y ? ?x ?1与椭圆

x 2 y 2 2 1
? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为 ( , ) 。
a 2 b 2 3 3
（1）求此椭圆的离心率；

（2）若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上，求此椭圆的方

程．

22．（本题满分 14 分）
已知函数 f(x)同时满足以下三个条件：①f(x)是定义域为 R 的奇函数；②f(x)的图
象关于直线 x＝1 对称；③当 0＜x≤1 时，f（x）＝x．
（1）求 f（0）的值；
（2）判断并证明函数 f(x)在区间[1,2) 的单调性；
（3）证明 f (x ? 4) ? f (x) ．


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德化二中、德化三中、德化八中高三年上学期期末联考

数学（文科）试卷

参考解答及评分标准
(试卷命题：徐高挺　王晋华)
一、选择题：请将唯一正确答案的编号填入答题卡的相应位置上。本题共
12 题，每题 5 分，共 60 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C C B C A B D B C C
二、填空题：请将你认为正确的答案填写在答题卡相应位置的横线上。本
题共 4 题，每题 4 分，共 16 分。
13．m ? -1 14．－1
1
15．y=x（x≠0） 16．
5
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明．证明或
演算步骤

17．（1）Q Sn ? n(n ?1)


?n ?1时， a1 ? S1 ? 2 , (2 分)


当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? n(n ?1) ? (n ?1)n ? 2n （4 分）

*
综上， an ? 2n (n? N ) （6 分）


* 2 2 1 1 1
（2）当 n? N ,bn ? = ? ( ? ) （9分）
anan?1 2n(2n ? 2) 2 n n ?1
1 1 1 1 1 1
?T ? b ? b ? ???? b ? (1? ? ? ? ???? ? )
n 1 2 n 2 2 2 3 n n ?1
1 1 n
? (1? ) ? （12 分）
2 n ?1 2n ? 2
18．（1）x·y＝（3a＋c）cosB＋bcosC＝0，
由正弦定理 3sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0， (2 分)
3sinAcosB＋sin(B＋C)＝0．

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