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线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数

线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.

在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.

一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性

二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径

三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力

线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查

四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识

计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，

第一章行列式

一.概念复习

1. 形式和意义

形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

……….

a n1 a n2…a nn

如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|.

意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2. 定义(完全展开式)

一般地,一个n阶行列式

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

………

a n1 a n2…a nn

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:

,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

215

4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

则项

所乘的是.

()

j j

即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值:

a11 a12 (1)

a21 a22…a2n =.

(

)

(

j j

………

a n1 a n2…a nn

这里

j j

表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.

3、对角行列式计算

行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.

对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。关于副对角线：

(1)2

1121

1211

(1)

n n n

n n n n n n n a a a a a a a a a

K N N

4、代数余子式

把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij

的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

5、化零降阶法

化零降阶法用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式，

化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 6、行列式的性质

① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .

② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.

⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

⑥ 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K 倍，则行列式的值不变。

⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.

7.范德蒙行列式：

形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-I 的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j j

i a a

因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.

8、克莱姆法则

克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。

说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。

法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A |=0。第四章可证明：|A |=0是齐次方程组有非0解的充要条件。

例题

一. 填空题

1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.

解：a 12a 21a 33a 44中列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为 2. 写出四阶行列式中含有因子2311,a a 的项。解：44322311a a a a 或42342311a a a a 3. 在五阶行列式中3524415312)

23145()15423()

1(a a a a a =______3524415312a a a a a .

解：15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”.

4. 在函数x

x x

x x x f 2

12)( 中, x 3

的系数是______.

解: x 3的系数只要考察23422

2x x x

x x x

,所以x 3前的系数为2.

5. 行列式4

512

2132

213x x

D x x x

，4D 的展开式中，4x 的系数是，3x 的系数是。解：利用行列式的性质，将含有变量x 的项移到主对角线上。将行列式的第2、3行交换，得

x x x D 3121

232

154

（第1行)51

( 加到第2列）5123181205

552131

x x x

含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素乘积项，即

44332211)1234()1(a a a a

)3()51(5x x x x 43153x x

所以，4x ，3x 的系数分别是15，3 。

6. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 01

0100

a b b

解：0)(1

010022 b a a

b b

a a

b b a . 所以a = b = 0.

7. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.

解: nn nn

n n a a a a a a a a a

221121

2111

000

8. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为

321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式

332A A A A ______.

解:

332A A A A 6||3323

3 A A A A A A A A

二．计算证明题

1.计算以下行列式的值

2. 设a ，b ，c 是互异的实数，证明：3

c b a c b a

=0的充要条件是0 c b a 解：

001

223

3333

333 c b a b c a c a b ab b ac c a c a b a b a c a c a b a c a b a c a b

因为a ，b ，c 是互异的实数，所以0 c b a 。

3. 设).(',62

321

)(23

x F x

x x x

x F 求解：x x x x x x

x F 620321)(23

x x x x x 3103211222

x x x x x 31

020

1222=x

x x x x 310210122

2 = 311222312x x x x 所以 2

6)('x x F

4. 计算n 阶行列式n

x x x n

x x x n x x x D n n n n

212121

222111(n 2). n

x x x n x x x n

x x x D n n n n

222222111

x x n

x x n x x n n

2121

2211 =

x x x x n x x x x n

x x x x n n n

3332222111

+n x x x n

x x x n

x x x n n n

323232

222111

n x x x n x x x n x x x n n n

313131222111

x x n

x x n n

32132132

12211

=－n

x x x n x x x n

x x x n n n 313131222111=－n x x x n x x x n

x x x n n n

111222111－n

x x n

x x n n

3131312211= 0

当2

n 2122112

121x x x x x x

5.设4

21143113

151||

A 计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = , 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.

解：63

2011

1262

60126031511

3211

4311

1511 A

6.已知4

521011130112

101 A 试求：（1）42322212A A A A =

（2）44434241A A A A = 解：（1）42322212A A A A =0

（2）解：16

107105

102

010*********

1110

111

30112101

A 根据第5、6题可以总结：代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A

7.试证: 如果n 次多项式n

n x C x C C x f 10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)

证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组

00010 n

n x C x C C

01110 n

n x C x C C

………… 010 n

n n n x C x C C

系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以

010 n C C C

i j j i n n

n n

n n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A

11210212

2102

111111

因为x 的值各不相同，所以0 A ，0 A 齐次线性方程组只有0解。

0210 n C C C C