《离心率的五种求法》
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离心率的五种求法
椭圆的离心率10<
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y a
x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62
-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）
A.
3B.3C.6D.32
解：2=c 解：1=c ，
解：()
5,2-=3322
解：由题意知，入射光线为()32
5
1+-
=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则??
???=+-=0
553
2
c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A
二、构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若
边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A.324+
B.13-
C.
2
1
3+ D.13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2
c
-，由焦半径公式
a ex PF p --=1，
即a c a c c -??? ??-?-=2，得0222
=-??? ??-??? ??a c a c ，解得
=a
c
e 解：， 又2c
得2
e A A 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则
2221b c MF MF +==，又c F F 221=， 在21MF F ?中，由余弦定理，得2
12
2
12
22
1212cos MF MF F F MF MF MF F ?-+=
∠,
即(
)(
)
(
)
2
22
22222421b
c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，
∵2
2
2
a c
b -=，∴212222-=--a
c a ，∴2223c a =，∴2
32
=
e ，∴26=e ，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：121
21222222221-=+=+=+===
c
c c
PF PF c a c a c e
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4：
若过1F
.
解A 2解：
例5：另：由1tan cot 22=-θθy x ，??
?
??∈4,0πθ，得θtan 2=a ，θcot 2=b ,
∴θθcot tan 2
2
2
+=+=b a c ,∴θθθ
θ2222
cot 1tan cot tan +=+=
=a
c e ∵??
?
??∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22>e ，∴2>e ，故选D
例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段所成的
比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题
意，记()0,c A -，??
?
??h c C ,2，()00,y x E ，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．
c
1=，则
1①
42e 32≤1.合，则此双曲线的方程为（）
A.
124
1222=-y x B.
196
482
2=-y x C.13
232
2=-y x D.1632
2=-y x
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）
A ．
3
1
B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
2
3 3．已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心率为（）
A 35
B 34
C 45
D 2
3 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离
心率为A 2B
22C 2
1
D 42 5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2
1
，则该双曲线的离心率为（） 6OF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（） 7.设F P 是其右准线上纵坐标为c 3（c
8．设090，且
9．已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A []2,1B ()2,1C [)+∞,2D ()+∞,2
10．椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若
212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．??
? ??21,0
B ．??
? ??22,0
C ．??
?
???1,21
D ．???
????1,22 参考答案：
1.
由c a
=2
1a c =
可得 3.a b c ===故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a b =
，椭圆的离心率2
c e a =
=，选D 。 3.
4.5.2，选C
6.以1F O F 1=30°，|AF 1|=c
7.
8.设F 1，且
|AF 1∴离心率2
e =
，选B 。 9.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有
且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b a ，∴b
a
≥3，离心率
e 2
=222
22
c a b a a +=
≥4，∴e ≥2，选C 10.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若2
||2a MN c =，
12||2F F c =，12MN F F 2≤，则22a c c
≤，该椭圆离心率e ≥22
，选D