山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中高三数学第四次四校联考试题 理 新人教A版
数学试题（理科）
命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 【考试时间120分钟，满分150分】 第Ⅰ卷（选择题 60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设U=R ，A={x ?y=x x},B={y ?y=－x2}，则A∩(CUB)=( ) A.φ B.R C. {x ?x>0}
D.{0}
2.设复数1z i =+(i 是虚数单位)，则22z z +=
( )
A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i +
3.下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5 4.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( ) A.3
B.－6
C.10
D.－15
5.实数,x y 满足
22020x x y x y ≥??
-+≥??--≤?
,若z kx y =+的
最大值为13,则实数k =( ).
A. 2
B. 13
2
C. 94
D. 5
6.等比数列{}
n a 满足
0,n a >n N +
∈,且
23232(2)
n n a a n -=≥，则当1n ≥时，
2122221log log log n a a a -++???+=
( )
A. (21)n n -
B . 2
(1)n +
C. 2
n
D. 2
(1)n -
7.已知函数f(x)=sin(ωx+?)(ω>0, ???<π2)的部分图象如图所示，则y=f(x+π
6
)取得最小值
是
开始 i=1，S=0
i ＜6？
i 是奇数？
2
S S i =-
2
S S i =+
i=i+1
输出S
结束
是
否
否
正视图
3
x 1
2
侧视图
俯视图
时x的集合为（）
A. {x?x= kπ-
π
6
, k∈Z } B. {x?x= kπ-
π
3
, k∈Z }
C. {x?x=2kπ-
π
6
, k∈Z } D. {x?x=2kπ-
π
3
, k∈Z }
8.右图可能是下列哪个函数的图象（）
A.y=2x－x2－1
B. y =
2xsinx
4x+1
C.y=(x2－2x)ex
D. y=
x
lnx
9.向边长分别为
13
,6,5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）
A．18
1
π
-
B. 12
1
π
-
C.
1
9
π
-
D. 4
1
π
-
10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）
A．12种 B.16种 C.24种 D. 36种
11. 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB＝6，则该球的体积为( )
A．163π B．323π C．48π D．643π
12.已知双曲线
()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>
，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．
()
2,+∞
B．
()
1,2
C．
3
,
2
??
+∞
?
??D．
3
1,
2
??
?
??
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于 .
14. 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB
→
＋AC
→
＝2AO
→
，且|OA
→
|＝|AC
→
|，则向量BA
→
在向量BC
→方向上的投影为 .
15.已知
(0)
()
(0)
x
e x
f x
x
-
?≤
?
=
>
,
1
()()
2
g x f x x b
=--
有且仅有一个零点时，则b的取值范围是 .
16.若数列
{}
n
a
与
{}
n
b
满足
1
11
3(1)
(1)1,,
2
n
n
n n n n n
b a b a b n N
-
+++
+-
+=-+=∈
，且1
2
a=
,
设数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，则
63
S = .
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
cosA ＝2
3，sinB
．
(1)求tanC 的值；
(2)若a
?ABC 的面积．
18. （本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题
不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为32
，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望； （2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？ 19. (本小题满分12分) 如图，在几何体ABCDEF 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°, 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1． （1）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ； （2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围． 20. (本小题满分12分)抛物线C1：24y x =的焦点与椭圆C2
：22221(0)x y a b a b +=>>的
一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A ，C1, C2在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，且OAB
?的面积为.
(1)求椭圆C2的标准方程；
（2）过A 点作直线l 交C1于C,D 两点，连接OC,OD 分别交C2于E,F 两点，记OEF ?，
OCD ?的面积分别为
1S ,
2
S .问是否存在上述直线l 使得
21
3S S =，若存在，求直线l 的方程；若不
存在，请说明理由.
21. (本小题满分12分)设函数
-1
()=
x e f x x （1）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；
（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式f(x)-1 请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. F A B C D E M 22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于C B ,两点，且 AC AB 31= ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ， 已知圆E 的半径为2，0 30=∠EBC （1）求AF 的长； （2）求证：ED AD 3=. 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα?=?? =??（α为参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 2 4)4 sin(=+π θρ （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标. 24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数 ()3 12--+=x x x f (1)求函数()x f y =的最小值; (2)若272)(- + ≥a ax x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 2014届高三年级第三次四校联考 数学（理科）答案 选择题 填空题 13. 0 14. 3 15．b ≥1或b=1 2或b ≤0 16. 560 三、解答题 17．解：(1)∵cosA ＝23 ∴sinA = ，……………2分 ＝sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝cosC ＋23sinC ． ……………5分 整理得：tanC ……………6分 (2) 由（1）知sinC ，cosC 由正弦定理知：sin sin a c A C = ，故c = ……………9分 又∵sinB 61 5? ……………10分 ∴?ABC 的面积为：S ＝B ac sin 21 =． ……………12分 18.解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1,2,3 51)1(362214===C C C P ξ 53)2(361224===C C C P ξ 51 )3(3 6 234===C C C P ξ ……………3分 所以，考生甲正确完成题目数的分布列为 ξ 1 2 3 P 51 53 51 所以2 51 3532511=?+?+?=ξE ……………5分 （2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η 因为 ) 32,3(～B η，其分布列为：3 ,2,1,0,)31 ()32()(33===-k C k P k k k η 所以 2323=? =ηE ……………6分 又因为 5251)23(53)22(51)21(222= ?-+?-+?-=ξD 32 31323= ??=ηD ……………8分 所以 η ξD D < 又因为 8.05153)2(=+= ≥ξP ， 74.0278 2712)2(≈+=≥ηP ……………10分 所以)2()2(≥>≥ηξP P ①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定； ②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大， 因此，可以判断甲的实验操作能力强. ……………12分 19.（1）证明：在四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2， ∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC ⊥AC. ∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE∩平面ABCD=AC ，BC ?平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE. 又因为BC ?平面FBC ， 所以 平面ACFE ⊥平面FBC ， .............5分 (2)解：由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令3则C(0，0，0)，30，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)， ∴AB →=(31，0)，BM → =(λ，-1，1)， 设n1=(x,y,z)为平面MAB 的一个法向量，由? ????n1·AB →=0n1·BM →=0,得3x y 0x y z 0,?-+=??λ-+=?? ， 取x=1,则n1=(1,3,3-λ), ∵n2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴cos θ=|n1·n2||n1|·|n2| =11+3+(3－λ)2?1 =1 (3－λ)2+4 ...........10分 ∵0≤λ≤3,∴当λ=0时，cosθ有最小值7 7， 当λ=3时，cosθ有最大值1 2. ∴cosθ∈［71, 2］..............12分 20.解：（1）∵ 24y x =∴焦点()1,0F ∴1c =即221a b =+……………1分 又∵ 1623OAB B S OA y a ?=??= ∴6 3B y = ……………2分 代入抛物线方程得226 (,)33B .又B 点在椭圆上得23b =，2 4a = ∴椭圆C2的标准方程为22 143x y +=. ……………4分 （2）设直线l 的方程为2x my =+，由22 4x my y x =+??=?得2 480y my --= 设 1122(,),(,) C x y D x y ，所以 12124,8 y y m y y +=?=-……………6分 又因为21211 sin 21sin 2E F OC OD COD OC OD S y y S OE OF y y OE OF EOF ∠===?∠ 直线OC 的斜率为11 14y x y =，故直线OC 的方程为1 4y y x =， 由1224143y y x x y ?=????+=??得221364364E y y ?=+，同理 22 2364364F y y ?=+ 所以2 2 2222 12364364643()()36436412148E F y y y y m ???=?=+++ 则22 22212222112148()3E F S y y m S y y ?+==?， ……………10分 所以2 2 1214893m +=， 所以24840m =-，故不存在直线l 使得21 3S S = ……………12分 21.解：(1) 由题意知：，f '(x)=xex-(ex-1)x2= (x-1)ex+1x2, ……………2分 令h(x)=(x-1)ex+1,则h '(x)=x ex>0, ∴h(x)在（0，+∞）上是增函数， ……………3分 又h(0)=0，∴h(x)>0,则f '(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. ……………5分 (2) f(x)-1=ex- x -1 x