二次函数1教案
第12部分 二次函数 第1课时 二次函数的意义 课标要求 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点 二次函数的概念及意义. 典型例题 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02=-x y ； （2）2)1()2)(2(---+=x x x y ； （3）x x y 12+=； （4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否 为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数. 例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02 ≠-m m ． 解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得0≠m 且1≠m ． 因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 归纳反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索：若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？ （1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与 所存年数x 之间的函数关系；
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2
二次函数1
二次函数小测验（1） 班别：姓名：学号：成绩：一．选择题（每小题3分） 1．若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（） A．y＝2x2﹣1B．y C．y＝1x2D．y＝﹣x2 +2x﹣1 2．函数y＝﹣2x2+1的图象是（） A．直线B．射线C．双曲线D．抛物线 3．二次函数y（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 4．比较二次函数y＝2x2与y x2+1，则（） A．开口方向相同B．开口大小相同 C．顶点坐标相同D．对称轴相同 5．在函数y＝（x﹣1）2+3中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞0C．x＜3D．x≤1 6．抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（） A．（0，﹣4）B．（0，4）C．（2，0）D．（﹣2，0）7．对于抛物线y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1） C．对称轴为直线x＝﹣2 D．若y随x的增大而增大，则x＞2 8．将函数y＝x2的图象经过下列哪种平移，可以得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
9．抛物线y＝x2+4x+3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（） A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣1）2+1 10．关于抛物线y1＝x2+k与直线y2＝kx+1在同一直角坐标系的图象，其中不正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（每小题4分） 11．已知函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m等于． 12．将抛物线y＝﹣（x+2）2+3向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是． 13．抛物线y x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到． 14．已知二次函数y＝ax2﹣1（a≠0）有最大值为﹣1，则a＝．（取一个适当的值即可） 15．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值 为． 16．若抛物线y＝ax2经过点（1，1）和（﹣1，n），则n的值是． 17．如图，将函数y1的图象沿y轴向上平移得到一条新 函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为 点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分）， 则新图象的函数表达式是．
第一讲二次函数的意义
第1讲二次函数复习学案 班级：姓名： 【知识要点】 1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数. 2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2k±；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x2)h ±.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）． 【典型例题】 例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（） A. （－2，3）B .（2，3）C .（－2，－3）D .（2，－3） 分析：考查二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）。例2将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（）。 A. y=（x+2）2－8 B. y=（x+2）2－4 C.y=（x+2）2+12 D. y=（x+2）2－12 分析：考查配方法． 例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次
函数表达式是（）。 A .y=x2－2 B. y=（x－2）2 C. y=x2+2 D. y=（x+2）2 分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变. 例4 已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1 (1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中； (2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围 内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。 分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0。解：（略） 【知识运用】 一、选择题 1.下列函数中,是二次函数的是( ) A .2 =B. y=2x2C. y=x2－2x3+1 D .y=x+2π 5x y+ 2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是( ) A.直线x=－1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=－2 3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
北师大版数学高一(北师大)必修1试题 2.4.1二次函数的图像 (3)
2.4.1二次函数的图像 一、选择题 1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( ) A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1 D ．y ＝－x 2－4x ＋1 [答案] A [解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3， 即a ＝－1. 所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 2．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝4x 2 C ．y ＝1 2x 2 D ．y ＝1 4x 2 [答案] A [解析] 由图像变换可知选A. 3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋5 3 B ．y ＝13x 2＋2x ＋5 3 C ．y ＝13x 2＋2x －5 3 D ．y ＝13x 2－2x －5 3 [答案] B [解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则根据题意得???? ? a － b ＋ c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7， a ＋ b ＋ c ＝4， 解得????? a ＝1 3，b ＝2， c ＝53. 所以y ＝13x 2＋2x ＋5 3 ，故选B. 4．已知a ≠0，b <0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以
成立的是( ) [答案] C [解析] 由b <0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a <0，而直线体现了a >0，从而排除A. 5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝2(x ＋2)2－6 C ．y ＝2x 2－6 D ．y ＝2(x ＋2)2 [答案] D [解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D. 6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝1 2(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线， 在同一坐标系中，哪个开口最开阔( ) A ．g (x ) B ．f (x ) C ．h (x ) D ．不确定 [答案] A [解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 二、填空题 7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋3 2的图像的顶点坐标为________． [答案] (1,1) [解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝1 2(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)． 8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________． [答案] f (x )＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1. 则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题 9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．
二次函数讲解(比较详细)
初中二次函数讲解（比较详细） 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点： （[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）；
(完整word版)高一数学(必修一)知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结 （拂晓搜集整理） 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B
或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记 作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 运算 类型 交集并集补集 定义由所有属于A且属 于B的元素所组成 的集合,叫做A,B的 交集．记作A I B （读作‘A交B’）， 即A I B=｛x|x∈A， 且x∈B｝． 由所有属于集合A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A Y B （读作‘A并B’）， 即A Y B ={x|x∈A， 或x∈B})． 设S是一个集合，A是 S的一个子集，由S中 所有不属于A的元素 组成的集合，叫做S中 子集A的补集（或余 集） 记作A C S ，即 C S A=} , |{A x S x x? ∈且 韦恩A B 图1 A B 图2 S A
人教B版高中数学必修一二次函数练习题及答案
A B C D O x y 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论： ①0b ；③024>++c b a ；④042>-ac b ． 其中正确的有 （ ） （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个 3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 4．把抛物线y=12 x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________. 5.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________. 6．抛物线c bx ax y ++=2 如右图所示，则它关于y 轴对称 的抛物线的解析式是__________． 7．已知二次函数y=2x 2-mx-4的图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________. 8．如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上， 图 1 y O 3 3 1
O M A N B C y x C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ． 9．已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -，和1()a y -，，则1y 的值是 ． 10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点 （0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) (A) 01 (C) 1二次函数的概念和图像
二次函数 二次函数的概念： 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”. 探索： 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建一个矩形温室,其周长为120m , 设一条边长为 x (m), 求其面积 y (m 2) 与边长的关系式. 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 二次函数 1.定义：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （一） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 x y = (2) 21x y - = (3) 122 --=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y
【新教材】新人教A版必修一 二次函数 教案
2019-2020学年新人教A版必修一二次函数教案二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c（a>0）f（x）＝ax2＋bx＋c(a〈0) 图象 定义域R R 值域错误!错误! 单调性 在x∈错误!上单调递减； 在x∈错误!上单调递增 在x∈错误!上单调递增； 在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－错误!对称 概念方法微思考 1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0）; （2）顶点式:y＝a(x－m)2＋n(a≠0）； （3)零点式：y＝a（x－x1）(x－x2）(a≠0）． 2．已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）,写出f（x)≥0恒成立的条件． 提示a〉0且Δ≤0. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) (1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）,x∈[a，b]的最值一定是错误!.（×） (2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √） (3）函数y＝ 1 2 2x是幂函数．（×) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（√) (5)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．( ×) 题组二教材改编 2．已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α等于( ) A. 1 2 B．1C。错误!D．2 答案 C
解析 由幂函数的定义，知错误! ∴k ＝1，α＝错误!。∴k ＋α＝错误!. 3．已知函数f （x ）＝x 2 ＋4ax 在区间(－∞,6）内单调递减,则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3B．a ≤3 C ．a <－3D ．a ≤－3 答案 D 解析 函数f (x )＝x 2 ＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间（－∞,6）内单调递减可知，区间（－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D 。 题组三 易错自纠 4．幂函数f (x ）＝21023 a a x －＋（a ∈Z )为偶函数，且f (x ）在区间（0，＋∞)上是减函数,则 a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 因为a 2 －10a ＋23＝（a －5）2 －2， f （x )＝2 (5)2a x －－（a ∈Z ）为偶函数， 且在区间（0,＋∞）上是减函数， 所以(a －5)2 －2<0，从而a ＝4，5,6， 又（a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C 。 5．已知函数y ＝2x 2 －6x ＋3，x ∈[－1，1］，则y 的最小值是______． 答案 －1 解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32〉1,∴函数y ＝2x 2 －6x ＋3在［－1,1］ 上单调递减， ∴y min ＝2－6＋3＝－1。 6．设二次函数f （x )＝x 2 －x ＋a (a >0），若f （m ）<0，则f (m －1)________0。（填“>”“<”或“＝”) 答案 〉 解析 f (x ）＝x 2 －x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝错误!，且f （1)〉0，f (0)>0，而 f (m )<0,∴m ∈(0,1）， ∴m －1〈0，∴f （m －1)>0。
22.1.1 二次函数(教案)
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 教学目标 【知识与技能】 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】 通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点 1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？ 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 二、思考探究，获取新知 全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给 予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=1 2 n(n-1)而不 是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一. 思考函数y=6x2，m=1 2 n2- 1 2 n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】 针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习. 三、运用新知，深化理解 1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
第一讲 二次函数与待定系数法、配方法
第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法 【问题探索】 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子； （2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2 510060000y x x =-++。 【新课引入】 提问： 1、在式子2 510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？ 答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。 2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想 2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。 （其中） 答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。 总结：一般地，形如2 y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2 (0)y ax a =≠ 举例：2 510060000y x x =-++和2 100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2 S r π=等，都是二次函数． 3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？ 答案：是，因为化简能变成2 y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
第一讲 二次函数(题)
第一讲 二次函数 【基础练习】 1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向____；对称轴方程为 ；顶点坐标为 ，与 x 轴的交点坐标为 ，最小值为 ． 2. 二次函数2223y x m x m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =_____，顶点坐标为_ ，递增 区间为 ，递减区间为 ． 3. 函数221y x x =--的零点为 ． 4. 实系数方程20(0)a x b x c a ++=≠两实根异号的条件为 ；有两正根的条件 为 ；有两负根的条件为 ． 5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________． （变式） 6.已知函数x x y 22+=在闭区间],[b a 上的值域为]3,1[-,则满足题意的有序实数对),(b a 在坐标平面内所对应点组成图形为( ) 【范例解析】 例1.设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）若2a =时，求)(x f 的最小值． (A) (B) (C) (D)
例2.函数()f x 2 12 ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式． 例3.已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．
【反馈演练】 1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的条件是 ． 2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ． 3. 已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则1()f x 与2()f x 大小关系是 ． 4. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一： 则a 的值为 （ ） A ．1 B ．－1 C ． 2 5 1- - D ． 2 5 1+ - 5．若不等式4288(2)50x a x a +--+>对任意的实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ． 6．若不等式2 10x ax ++≥对于一切1 (0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围是 ． 7．（1）若关于x 的方程2 3(37)40tx t x +-+=的两个实根,αβ满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围是 ． （2）若关于x 的方程2 20x ax ++=的两根都小于1，则实数a 的取值范围是 ． 8. 设()?? ?<≥=1 , 1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域 是 ． 9.若关于x 的方程2 40x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是 ．
