垂径定理练习题及标准答案.docx
垂径定理
一.选择题
★ 1.如图1 , ΘO的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是（）A. 4 B . 6 C . 7 D . 8
答案：D
★★ 2.如图，ΘO的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）
A. 2 B . 3 C . 4 D . 5
答案：B
★★ 3.过ΘO内一点M的最长弦为10 cm,最短弦长为8cm,则OM的长为（）
A. 9cm B . 6cm C . 3cm D . ?, 41cm
答案：C
★★ 4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA OB在O点钉在
一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6
个单位，则圆的直径为（）
A. 12个单位B . 10个单位C . 1个单位D . 15个单位
答案：B
★★ 5.如图，ΘO的直径AB垂直弦CD于P ,且P是半径OB的中点，CD = 6cm ,则直径AB 的长是（）
A. 2.. 3cm B . 32cm C . 4 ., 2cm D . 4 J3cm
答案：D
★★ 6.下列命题中，正确的是（）
A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案：D
★★★ 7?如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）
A. 5 米B . 8 米C . 7 米D . 5 ,3 米
★★★ &O O的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm则AB与CD之间的距离为（）
A. 1 Cm B . 7cm C . 3 Cm 或4 Cm D . Icm 或7cm
答案：D
★★★ 9.已知等腰△ ABC的三个顶点都在半径为5的ΘO上，如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为（）
A. 2 B . 8 C . 2 或8 D . 3
答案：C
二.填空题
★ 1 .已知AB是ΘO的弦，AB= 8cm, OCL AB与C, OC=3cm则ΘO的半径为Cm
答案：5 Cm
★2.在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm,则它的弦心距为Cm
答案：3 Cm
★3.在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于_______________
答案：6
★★ 4.已知AB是ΘO的弦，AB= 8cm, OCL AB与C, OC=3cm则ΘO的半径为Cm
答案：5 Cm
★★ 5.如图，ΘO的直径AB垂直于弦CD垂足为E,若∠ CO= 120°, OE= 3厘米，则CD = 厘米
★★ 6.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为
cm.
答案：6 -, 3 Cm
★★ 7.过Θ O 内一点M 的最长的弦长为 6cm ，最短的弦长为 4cm ，则OM 勺长等于 Cm 答案：.5
★★ 8 .已知AB 是Θ O 的直径，弦 CD ⊥ AB, E 为垂足，CD=8 OE=1,贝U AB= ____________ 答案：2,17
★★ 9.如图，AB 为Θ O 的弦，Θ O 的半径为5, OC ⊥ AB 于点D,交Θ O 于点G 且CD= I ,
答案：6
★★ 10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m,半径OA = 10m 则
中间柱CD 的高度为
m
答案：4
★★ 11.如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4 , 2)
和A(2 , 0),则点B 的坐标是 __________
Iy
P
丿-
O
一 A F J —B
X
答案：(6 , 0)
答案:
★★ 12.如图，AB是Θ O的直径，ODLAC于点D, BC=6cm 贝U OD= Cm
答案：3
★★ 13.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G B、F、E, GB=IQ EF=8,那么AD=
答案：3
★★ 14 .如图，Θ O的半径是5cm, P 是Θ O外一点,PO=8cm, ∠ P=3Qo,则AB= Cm A
答案：6
★★★ 15.Θ O的半径为13 cm,弦AB// CD, AB= 24cm, CD= 1QCm 那么AB和CD的距离是Cm
答案：7cm或17cm
★★★ 16.已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB,交AB于D,若AB=8 CD=2则圆的半径
为_______
答案：5
★★★ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为____________ 米5
5
答案：
2
★★★ 18.在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米
答案：7或1
★★★ 19.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个
隧道所在圆的半径OA是_____________ 米
C
答案：5
★★★ 20.如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦
AC于点D。若AC=8cm DE=2cm贝U OD的长为Cm
答案：3
★★★ 21.已知等腰厶ABC的三个顶点都在半径为5的ΘO上，如果底边BC的长为8,那么
BC边上的高为_______
答案：8或2
★★★ 22.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0 ,则折痕AB的
答案：2、3
★★★ 23.如图，ΘO的的半径为5,直径AB丄弦CD,垂足为E, CD=6那么∠ B的余切值
为_________
答案：3
三.解答题
★★ 1.已知ΘO的弦AB长为10,半径长R为7, OC是弦AB的弦心距，求OC的长
答案：2.6 ★★ 2.已知ΘO的半径长为50cm,弦AB长50cm. 求：(1)点O到AB的距离；(2 )∠ AoB的大小
答案：(1) 25 (3)
(2) 600
★★ 3.如图，直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后，油深
CD 为15Cm 求油面宽度 AB
答案：40
★★ 4.如图，已知Θ O 的半径长为 R=5,弦AB 与弦CD
平行，他们之间距离为 7, AB=6求: 弦CD 的长.
答案：18-,3
答案: 16 :3
3
★★ 7.已知：如图，AD 是Θ O 的直径,
★★ 5.如图，已知 AB 是Θ O 的直径, CD ⊥ AB 垂足为点 E ,如果BE=OE AB=12m 求厶ACD 的周长 C 是弧AB 的中点, OC 交弦AB 于点D.∠ AOB=120 , AD=8求OA 的长
BC 是Θ O 的弦，AD ⊥ BC,垂足为点 E , BC=8 AD=10.
B
答案: B
★★ 6.如图，已知
求：（1）OE的长；（2）∠ B的正弦值
答案：（1） 3 （2）2ι5
5
★★★ &如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点G交弦AB于点Db 已知：AB=24cm CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
答案：（1）略（2）13
★★★ 9.如图，ΘO是厶ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10 BC=12 求ΘO的半径
25,弦AB长为48, C是弧AB的中点.求AC的长.
答案：30
★★★ 11. 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对
的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为
（精确到0.1米）答案：27.9
★ ★ ★
ABC 中，
BC=16.求
圆的半
B C三根木柱，使得
A、B之间的距离与
A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A 到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
答案：1442.5
★★★ 14.如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形
5
弧上取了A, B两点并连接AB ,在劣弧AB上取中点C连接CB ,经测量BC = 5米,
4
ABC =36.87° ,根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（Sin36.87 ° ：0.60, cos36.87 ° ：0.80, tan 36.87 ° ：0.75）
答案：
12
★★★ 15.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时
7.2米，求桥拱的半径
答案:
25
3
★★★ 13.本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A
12.已知：在厶
AB=AC=10,
△ ABC的外接
径.
的水面宽
AB为0.6米.
(1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高) ；
(2)当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度.
C是L O上一点，CD⊥ AB,垂足为点D , F是AC的中点，OF与AC相交于点E , AC =8 cm, EF =2cm.
(1) 求AO的长；
(2) 求Sin C 的值.
4
答案：(1) 5 (2)
5
★★★★ 17.如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF求正方形CDEF面积。
答案：2-、、3
四.证明题
★★ 1.如图，AB是ΘO的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD求证：OC=OD
★★★ 16.已知：如图，AB是L O的直径,
答案：略
★★ 2.如图，AB 是Θ O 的弦，点D 是弧AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于 C. 求证：AD- DC
答案：略
★★ 3.已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦
AB 交小圆于CD 求证：AC=BD
答案：略
★★★ 4.如图，AB CD 是Θ O 的弦，且 AB=CD OM L AB ON ⊥ CD 垂足分别是点 M N, BA 、 DC 的延长线交于点 P . 求证：PA=PC
答案：略
★★★ 5.已知：如图，点 P 是Θ O 外的一点，PB 与Θ O 相交于点 A B, PD 与Θ O 相交于 C D, AB=CD
求证：(1) PO 平分∠ BPD (2) PA=PC
答案：略
★★★ 6.已知：如图所示，点 P 是Θ O 外的一点，PB 与Θ O 相交于点A 、B , PD 与Θ O
相交
D
P
于 C D, AB=CD求证：(1) PA=PC (2) AE=EC
答案：略
五?作图题
★★ 1.已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧.