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等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)

数列——等差数列

【考纲解读】

理解等差数列的概念。

掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。

能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。

【知识储备】

—

知识点1、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点2、等差数列的通项公式

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，叠加得到等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。例1：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。

-5 ；

2 -6.5

)

1a n

知识点3、等差中项

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

a A +=

或b a A +=2

例2：已知{}n a 是等差数列。

（1）有3122a a a +=，那么7352a a a +=是否成立？ 9152a a a +=呢？为什么？（2）)1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立？（3）

（4）

)0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立？据此你能得出什么结论？

）

知识点4、等差数列的前n 项和

)(1n n a a n S +=

将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2)

1(1-+

该公式整理后是关于n 的二次函数。

例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。

【

（1）；，，8n 18481=-=-=a a

（2）7.0185.141=-==d a a n ，，。

知识点5、等差数列的判定方法

定义法：若d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，则数列{}n a 是等差数列。

等差中项：若212+++=n n n a a a 或)1(2k k n >>+=+-k n a a a n n ，则数列{}n a 是等差数列。

? 通项公式法：若通项公式B An a n +=为一次函数，则数列{}n a 是等差数列，且公差A d =，首项B A a +=1。

? 前n 项和法：若前n 项和Bn An S +=2

n ，则数列{}n a 是等差数列，

且公差A d 2=，首项B A a +=1。例4：已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 3

412+=，求这个数列的通项公式。

知识点6、等差数列的性质

① 等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d

m n a a m n )(-+=

——该公式为等差数列的递推公式。对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a

、

例5：已知{}n a 是等差数列。有，，722283==+a a a 则=9a 。

{}n a 是等

② 若数列差数列，n S 是其前

n 项的和，

S a a a a a a a a 3++++++++++

*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示：

③ 等差数列的前n 项和的性质：

若项数为()*

2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，

n S a S a +=奇偶．

若项数为()

21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，

S n

S n =

-奇偶

（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）。

例6：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a = 。

【题型划归】

题型一、利用递推公式d a a n n +=+1或d m n a a m n )(-+=求值。

例1、设数列{}n a 的首项)N ( 2,711∈+=-=+n a a a n n 且满足，则=17a 。

《

万能解题模板：

【现炒现卖】

在数{}n a 中，23=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为（）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

—

题型二、利用等差中项)0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 求值。

例2、已知{}n a 为等差数列，1282=+a a 则5a 等于（） A.4 B.5 C.6 D.7

万能解题模板：

【现炒现卖】

等差数列{}n a 的前三项依次为 6-a ，52-a ，23+-a ，则a 等于（） A.-1 B.1 C.-2 D.2

题型三、利用等差数列性质q p m n +=+，有q p m n a a a a +=+求值。

例3、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+= 。万能解题模板：

【现炒现卖】

若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7a = 。

题型四、已知其中几项的值，求公差d 、通项公式n a 、前n 项和n S 、及n S 的最大（小）值等。

例4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝，则，43231S a a == 。

万能解题模板：

【

【现炒现卖】

等差数列{}n a 中，3524a a +=，22=a ，则7a = 。

题型五、已知前k 项和的值及后k 项和的值，求项数n 或者n S 。

例5、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

—

万能解题模板：

【现炒现卖】

等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p +++

+=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和

n S = 。

题型六、已知n S ，利用1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥求通项公式n a 。

例6、已知数列}{n a 的前n 项和322+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式n a 。

万能解题模板：

【现炒现卖】

已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(2

-++=n n a n S 。求证：数列{}n a 是等差数列。

[

题型七、已知k S ，k S 2，k S 3的关系，利用k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列求其中几个量。例7、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30812=-S S ，则8S ＝。

万能解题模板：

【现炒现卖】

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 。

题型八、利用等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且

nd S S =-奇偶，②若项数为()

*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．

例8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

、

万能解题模板：

【现炒现卖】

若等差数列共有12+n 项()*N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（）

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

课后强化巩固

【基础巩固】

1、等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）

A.92

B.47

C.46

D.45 2、在等差数列{}n a 中，35=a ，26-=a ，则=++1054a a a 。

)

3、已知数列的通项25+-=n a n ,则其前n 项和为=n S 。

4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差n 等于（） A.7 B.6 C.3 D.2

5、等差数列{}n a 中，已知3

a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为（） A.48 B.49 C.50 D.51

6、等差数列-2,1,4，…的前n 项和为（） A.

()5321-n n B.()7321-n n C.()532

+n n D.()7321+n n

7、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（）

A.0991>+a a

B.0991<+a a

C.0991=+a a

D.5050=a 8、数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________。 9、在等差数列}{n a 中,5,801-==d a ,求n S 的最大值。

《

10、三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数。

【能力加强】

1、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（） A.d ＞3

8 B.d ＜3 C.

38≤d ＜3 D.3

＜d ≤3

】

2、在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________。

3、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则=9S 。

4、等差数列{}n a 中，11=a ,1453=+a a ，其前n 项和n S =100,则n =（）

A.9

B.10

C.11

D.12 5、设S n

是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==5

935,95S S

a a 则（） A.1 B.－1 C.2 D.

6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（）

A.12

B.18

C.24

D.42 8、一个等差数列中15a = 33，25a = 66，则35a =__________。 9、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S .已知.50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若n S =242，求n .

10、已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

]

【尖子训练】

1、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（） A.1a 8a >45a a B.1a 8a <45a a C.1a 8a =45a a D.1a +8a >4a +5a

2、若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知

73n n S n T n =+，则55

a b 等于（） A.7

278

214

3、已知等差数列{}n a 中，q a p =，)(q p p a q ≠=，则______=+q p a 。

【

4、等差数列{}n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列?

???n S n 的前n 项和，

求n T 。

5、已知{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列，422=-b a ，

3214321a a a b b b b ++=+++。

（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；

（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

}

￥

6、设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S 。（1）若11a =0,14S =98,求数列{}n a 的通项公式；

（2）若1a ≥6，11a ＞0，14S ≤77，求所有可能的数列{}n a 的通项公式.

解析

【知识储备】

例1、答案：

）

例2、答案：三个问均成立，结论是：事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。例3、答案：（1）8828

81n -=+=）（a a S （2）25.5812

,251n 1=+==-=）（n n a a S d a a n 。例4、答案：1211324111=+==S a ，21241=?=d ，12

21+=n a n 。

例5、答案：159=a 。例6、答案：54=a 。

【题型划归】

例1、

?关键词： 2,711+=-=+n n a a a 。

?通过关键词提取到的关键信息： 21==-+d a a n n 。

?逻辑思维分析：由71-=a ， 21==-+d a a n n ，所以此数列为等差数列，可用d n a a n )1(1-+=

求d a a )117(117-+=。

?答题过程：71-=a ， 21==-+d a a n n 可求2521177)117(117=?-+

-=-+=）（d a a 。万能解题模板：

第1步：利用递推公式求出公差d ；

第2步：看题目中是否有首项1a ，若没有则利用递推公式d m n a a m n )(-+=求出n a ，若有则用通项公式

d n a a n )1(1-+=求出n a 。

【现炒现卖】答案：C ；解析：5.0=d ，515.0)3101(2101=?-+=a 。例2、

?关键词：等差数列，?12582a a a ，=+。

?通过关键词提取到的关键信息：角标2582?=+。

?逻辑思维分析：通过角标关系可知5a 是82a a 、的等差中项，由k k n 2+-+=n n a a a 可得2

25a a a +=。

?答题过程：62

2825==+=a a a 。万能解题模板：

第1步：分析给出的三项角标之间是否符合等差中项关系；第2步：利用等差中项公式k k n 2+-+=n n a a a 求解。

【现炒现卖】答案：B ；解析：前三项符合等差中项关系，）（）（）（236252+-+-=?-∴a a a 。

例3、

?关键词：等差数列，？12497,1,16a a a a ==+。 ?通过关键词提取到的关键信息：12497+=+

?逻辑思维分析：知由角标关系及等差数列可得12497a a a a +=+，则49712a a a a -+= ?答题过程：1511649712=-=-+=a a a a 万能解题模板：

第1步：分析给出的四项角标之间是否符合q p m n +=+关系；

第2步：利用等数数列的性质q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+求解。

【现炒现卖】答案：12；解析：分析角标，前一个等式有3a ，后一个等式有4a -，相加得d -；前一个等式还有10a -，后一个等式还有11a ，相加得d ；d -与d 抵消了，只剩下7a ，因此，可以把两个等式加起来，即得127=a 例4、

?关键词：等差数列，？，，43231S a a ==

?通过关键词提取到的关键信息：432=+a a

?逻辑思维分析：423=+a a ，由等差数列的性质可得43241=+=+a a a a ，则)()(32414a a a a S +++= ?答题过程：432=+a a ，43241=+=+a a a a ，8)()(32414=+++=a a a a S

，

万能解题模板：

第1步：通过已知两项找其关系，如果需要可利用递推或等差中项公式求出d ；

第2步：若题目求通项公式，可用递推d m n a a m n )(-+=求解，若求前n 项和，可利用等差数列性质

=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，再用2

)

(1n n a a n S +=

求解。【现炒现卖】答案：27；解析：122

34=+=a a a ，10224==-d a a ，5=d ，27)27(27=?-+=d a a 。例5、

?关键词：等差数列，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，？n 。 ?通过关键词提取到的关键信息：前三项+后三项=93，1552

)

(1=+=

n n a a n S 。 )

?逻辑思维分析：由等差数列性质23121--+=+=+n n n a a a a a a 知，

93)(3)()()(123121=+=+++++--n n n n a a a a a a a a ，可算出n a a +1，由2

)

(1n n a a n S +=

即可算出n 。

?答题过程：937815)(3)()()(123121=+=+=+++++--n n n n a a a a a a a a ，311=+n a a ，

1552

312)(1==+=

a a n S n n ，10=n 。

万能解题模板：

第1步：由等差数列性质 =+=+=+--23121n n n a a a a a a ；第2步：利用2

)

(1n n a a n S +=

求解。【现炒现卖】答案：20)(q p n + ；解析：10

p a a n +=

+。例6、

！

?关键词：322

+=n S n 。

?通过关键词提取到的关键信息：3)1(22

1+-=-n S n 。

?逻辑思维分析：322+=n S n ，3)1(22

1+-=-n S n ，由1--=n n n S S a 可求出n a 。

?答题过程：322+=n S n ，3)1(22

1+-=-n S n ，241-=-=-n S S a n n n 。

万能解题模板：

第1步：通过n S 与n 的关系，递推出1-n S 与1-n 的关系；第2步：利用1--=n n n S S a 求解。

；

【现炒现卖】解析：1)1)(1(21-++=

n n a n S ，1)1(2

11-+=--n n a n S ，1--=n n n S S a ，整理得1

)1(1=---n n na a n ①，

则1

)1(1=+-+n n a n na

②， ②-①得0211=+--+n n n na na na ，整理得11-+-=-n n n n a a a a ，即{}n a 是等差数列。例7、

?关键词：等差数列，4S ＝14，30812=-S S ，8S ？ ?通过关键词提取到的关键信息：角标4、8、12成倍数关系。

…

?逻辑思维分析：由等差数列性质k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列，知d S S S 24812=--，

d S S S +=-448，即可求出8S 。

?答题过程：1624812==--d S S S ，8=d ，20614448=+=+=-d S S S ，348=S 。万能解题模板：

第1步：寻找角标的成倍关系；

第2步：利用等差数列性质k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列，求解相关量。

【现炒现卖】答案：解析：,18)(,2733636==--=-d S S S S S 4569=-S S 。例8、

?关键词：等差数列，735S =，4a =？

?通过关键词提取到的关键信息：角标7是奇数，且，7142=-?。

?逻辑思维分析：由角标关系，利用等差数列性质项数为12-n （奇数），则()2121n n S n a -=-可得477a S =。 ?答题过程：5357447===a a S ，。万能解题模板：

第1步：寻找角标的关系；

第2步：利用利用等差数列性质①若项数为(

2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且nd S S

=-奇偶

，②若

项数为(

21n n -∈N ，则()21

21n n S

n a -=-，且n S S a -=奇偶，

（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶），求n n S a 或。

【现炒现卖】答案：B ；解析：有奇数项，33

441=

-=n n S S 偶奇，解得4=n ，所以712=-n 。

【基础巩固】

1、答案：C.

2、答案：-49.

3、答案：2

52n

n --.

4、答案：C.

5、答案：C.

6、答案：B.

7、答案：C.

8、答案：42+-=n a n ；解析：23n S n n -＝是Bn An S n +=2的形式，.2,221=+=-==∴B A a A d

9、答案：630；解析：n n d n n na S n 2165252)1(21+-=-+

= ①，配方得2

)233()233(2522?+--=n S n ②，因为n ，所以n 只能取11或12；将11、12带入①式求得6306051211==S S ，。

10、答案：11、6、1；解析：已知的数字只有两个，因此只能列两个方程，而求的三个未知数，多了一个未知数，所以我们可以根据等差数列的性质，巧妙的设未知数，即设三个数分别为d a a d a +-、、，也

就只有两个未知数，???=+-=+++-∴66)()(18

)()(d a a d a d a a d a ，解得?

??-==∴556或d a 。

【能力加强】

1、答案：D.

2、答案：2

3n . 3、答案：54. 4、答案：B. 5、答案：A. 6、答案：A. 7、答案：C. 8、答案：99.

9、答案：102+=n a n ，11=n ；

解析：2101020=∴+=d d a a ，102)10(10+=-+=n d n a a n ，121=a ，

)

10212(2)(1++=

n n a a n S n n ，解得2211-=或n 。 10、答案：52+-=n a n ，4(max)=n S ；

解析：2325-=∴+=d d a a ，52)2(2+-=-+=n d n a a n ，31=a ，4)2(2

)

(21+--=+=

n a a n S n n ，∴当2=n 时，n S 有最大值4。【尖子训练】

1、答案：B ；解析：d a a d a a a a 12111817)7(+=+= ①，2

1211154127)4)(3(d d a a d a d a a a ++=++=②，

∴>∴≠002d d ②>①，。

2、答案：D ；解析：

799995555+?===T S b a b a 。 3、答案：0；解析：d p q a a p q )(-+=，d p q q p )(-+=∴，解得1-=d ，0=+=+qd a a p q p 。

4、答案：4

92n

n -；解析：1,7447=∴=a a S ，同理58=a ，1,448=∴=-d d a a ，d a a 314+=，

321-=-=∴n a a n ，，25),5(2-=∴-=∴n n S n n S n n ，所以n T 是首项为-2公差为2

的等差数列，

9)252(22n n n n T n -=-+-=。

5、答案：)(2

n n S n +=

，有；解析：（1）10,8,2213==∴+=a d d a a ，62=∴b ，2323)(2a b b =+，3,9'

3==∴d b ，

n d n b b n 3)2('2=-+=∴，)(2

)(221n n b b n S n n +=+=

；（2）由（1）的68-=n a n ，设681-=n a n ，23n b n =，有21368n n =-，+∈-=N n n n 21

223

8，，所以18n 必须是3的倍数，即1n 是3的倍数，令1006243)(,321≤-==∴∈=+k n b N k k n n ，，解得k

k ,12

≤可取1、2、3、4，即在100以内有四个相同的项：18、42、66、90。 6、答案：222+-=n a n ；

解析：（1）

14)(7)(7411414114=∴+=+=a a a a a S ，，d a a 7411+=，2021=-=∴a d ，，222+-=∴n a n ；（2）由已知条件有：???

??≤+<---≤-?????≤+>+≥∴?????≤>≥11

1320202122,111320106,77061

1111114111d a d a a d a d a a S a a 即

131-≤d ，由②③联立解得1,,7

-=∴∈-

>d Z d d ，将1-=d 带入②③解得