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广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试理科数学试卷

广东省东莞市2012-2013学年度第—学期高三调研测试

理科数学

考生注意:本卷共三大题,满分150分,时问120分钟.不准使用计算器 参考公式:若事件A 与事件B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.每小题各有四个选择支,仅有一

个选择支正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.) 1.若a 实数,1(2)ai i i +=-,则a 等于

A .2

B .-1

C .1

D .-2 2.若函数21

()cos ()2

f x x x R =-∈,则()f x 是 A .最小正周期为

2

π

的奇函数 B .最小正周期为π的奇函数 C .最小正周期为2π的偶函数 D .最小正周期为π的偶函数

3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n

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个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50) (单 位:元),其中支出在[)30,50(单位:元)的同学 有67人,其频率分布直方图如右图所示,则n 的值为 A .100 B .120 C .130 D .390 4.等差数列{}n a 中,192a =-

,35

2

a =-,则该数列前n 项 和n S 取得最小值时n 的值是

A .4

B .5

C .6

D .7

5.设m 、n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则m a ⊥的—个充分条件是

A .m//n,n //β, αβ⊥

B .,n //β,α//βm

C .m//n ,n β⊥,

α//β D .m n ⊥,n β⊥,αβ⊥

6.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出,比赛

结束,每局比赛没有平局,每局甲获胜的概率为3

5

,则比赛打完3局且甲取胜的概率为

A .18125

B .36125

C .925

D .1825

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7.2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行,某翼人 空中高速飞行,右图反映了他从某时刻开始的15

分钟内的速度()v x 与时间x 的关系,若定义“速度差函数”()u x 为时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差,则()u x 的图像是

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8.设集合{}012,,S A A A =,在S 上定义运算⊕:i j k A A A ⊕=,其中k 为i j +被3除的

余数,{},1,2,3i j ∈,则使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有 A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 9.

已知函数()f x =

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()ln g x x =的定义域为N, 则M N = .

10.已知变量x,y 满足120x y x y ≥??

≤??-≤?

则z x y =+的最小值是 。

11.如右图所示的算法流程图中,第3个输出的数是 。

12.已知实数0a >,0b >,(,1)A a ,(2,)B b ,(4,5)C 为坐标平面

上的三点,若AC BC ⊥,则ab 的最大值为 。 13.设0

(sin cos ) w

a x x dx =

+?

,则二项式61

()ax x

-的展开式中常数

项是 。

(二)选做题(第14、15题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中,圆C

的参数议程是cos 1sin x y θ

θ

?=??=+??(θ

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为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心C 的极坐标是 。

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15.(几何证明选讲选做题)如图,四边形ABCD 内接于O , AB 为O 的直径,直线MN 切O 于点D ,60MDA ∠= ,

则BCD ∠= 。

三.解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分) 设函数2()sin sin()cos 2

f x x x π

=++,在△ABC 中,角A 、B、C的对边分别为a,b,c

(1)求()f x 的最大值;

(2)若()1f A =,712

A B π

+=

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,b =求A 和a 。 17.(本小题满分12分)

某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教师的专业发展,每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培.现知垒市教师中,选择心理学培训的教师有60%,选择计算机培训的教师有75%,每位教师对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(1)任选1名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率;

(2)任选3名教师,记ξ为3人中选择不参加培训的人数,求ξ的分布列和期望. 18.(本小题满分14分)

如图,几何体SABC 的底面是由以AC 为直径的半圆O 与△ABC 组成的平面图形,SO ⊥平面ABC,AB BC ⊥,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线SB 与平面SAC 所威角的正弦值; (2)求几何体SABC 的正视图中111S A B ?的面积;

(3)试探究在圆弧AC 上是否存在一点P ,使得AP SB ⊥,若存在,说明点P 的位置并 证明;若不存在,说明理由.

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19.(本小题满分14分)

某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生一些次 品,根据经验知道,次品数P (万件)与日产量x (万件)之间满足关系:

2

,(14),6

325,(4)12x x P x x x ?≤≤??=??+-≥??

已知每生产l 万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产l 万件次品将亏损1万元.(利润=盈利一亏损)

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T(万元)表示为日产量x (万件)的函数; (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x 定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少? 20.(本小题满分14分) 已知函数(),R x

f x e kx x =-∈(e 是自然对数的底数,e=2.71828……) (1)若k=e ,求函数()f x 的极值; (2)若k R ∈,求函数()f x 的单调区间;

(3)若k R ∈,讨论函数()f x 在(],4-∞上的零点个数. 21.(本小题满分14分)

设数列{}n a {}n b 的各项都是正数,n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对任意n N *∈。都有 22n n n a S a =-,1b e =,21n n b b +=.ln n n n c a b =? (e 是自然对数的底数,e=2.71828……) (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n c 的前n 项和n T ;

(3)试探究是否存在整数λ,使得对于任意n N *∈,不等式

4(1)5(1)

21(1)(1)

n n T n S n n n λ--<<

--+恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。

2012-2013学年度第一学期高三调研测试

理科数学参考答案

一、选择题(每小题5分,满分40分.)

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二、填空题(每小题5分,满分30分.)

9.{|01}x x << 10.2 11.7 12. 2

49 13. 160- 14.)6,2(π

15.?150

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.) 16.(本小题满分12分) 解:(1)因为2()sin sin()cos 2

f x x x x π

=++

2sin cos cos x x x =+ …………1分

1

=[sin 21cos 2]2

x x ++ …………3分

1

)242

x π=

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++. …………4分 所以,当1)4

2sin(=+π

x ,即ππ

π

k x 22

4

2+=

+

,)(8

Z k k x ∈+

π时,()

f x 取得最 大

值, …………5分

1

2

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. …………6分 (

2

1)(=A f 得,

1

2

1)42s i n (22=++πA ,即

2

2

)42s

i n (=+πA . …………7分

在ABC ?中,因为),0(π∈A ,所以)4

9,4(42πππ

∈+

A . 又

02

2

)4

2sin(>=

+

π

A ,

4

34

2ππ

=

+

A ,

4

π

=

A . …………9分 又

712

A B π+=

,所以

3

B π

=

. …………10分 在△ABC 中,由

sin sin a b

A B

=

及b =

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sin 2sin 2

b A

a B

=

==. (12)

17.(本小题满分12分)

解:任选1名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件A ,“该教师选择计算机培训”为事件B ,

由题设知,事件

A 与

B 相互独立,且()0P A =,

()0.75P B =. …………1分(1)任选1名,该教师只选择参加一项培训

的概率是

1()()0.60.250.40.750.45

P P AB P AB =+=?+?=.

…………4分

(2)任选1名教师,该人选择不参加培训的概率是

0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==?=. …………

5分

因为每个人的选择是相互独立的,

所以3

人中选择不参加培训的人数ξ

服从二项分布

(30.1)B ,, …………6分

33()0.10.9k k k

P k C ξ-==??,

0123k =,,,, …………8分

即ξ的分布列是

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…………10分

ξ

的期望是

10.2E ξ=?+

?+?=

. …………12分 (或ξ的期望是30.10.3E ξ=?=.)

18. (本小题满分14分)

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解:(1)过点B 作BH AC ⊥于点H ,连接SH . …………1分 因为SO ABC ⊥平面,BH ABC ?平面,

所以BH SO ⊥. …………2分

又因为BH AC ⊥,SO AC O = ,

所以BH SAC ⊥平面, 即

BSH

∠就是直线SB 与平面

S A 所

角. …………3分 在ABC ?中,因为AB BC ⊥,4AC

=,2BC =, 所

60ACB ∠=?,

2sin 60BH =?=…………4分

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在Rt BSH ?中,因为4SB =,

所以sin BH BSH SB ∠==

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, 即

线

SB 与

S A 所成角的正弦值

4

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. …………5分 (2)由(1)知,几何体SABC 的正视图中,111B A S ?的边HC AC AH B A -==11,

1

60cos 2==o HC ,所以

311=B A . …………6分

又111B A S ?的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长,而

4===AC SC SA ,所以

=

SO ,

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…………7分

1

1

1

32

2

S A S ?=

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?…………8分 (3)存在. …………9分

证明如下:

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如图,连接BO 并延长交弧AC 于点M ,

在底面内,过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P . ………10分

所以SO ABC ⊥平面.

而AP ABC ?平面,所以AP SO ⊥. …………11分 又因为AP BM ⊥,SO BM O = , 所

A P ⊥平面,从而

A P

⊥. …………12分 又因为2AO OC BC ===,所以有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=?,所以

60AOM POM ∠=∠=?,

120AOP ∠=?, …………13分

点P 位于弧

AC

的三等分的位置,且

120AOP ∠=?. …………14分

19.(本小题满分14分) 解

:(

1

14x ≤<时,合格的元件数为

2

6

x x -, …………1分

222

(6

6

x x T x =-

; ………

3

4

x ≥时,合格的元件数为

325325

()1212

x x x x -+

-=-+, …………4分

3

2

2

(1

2

T x

x x

=-(), …………6分

综上,该工厂每天生产这种元件所获得的利润

2

2,142925+,44x x x T x x x ?-≤

?--≥??

…………7分

(2)当14x ≤<时,

2

22

x T x =-

,对称轴

2=x ,此时利润T

的最大值

max (2)2T T ==. …………9分

当4x ≥时,

2222

99(3)(3)

'1=0x x x T x x x -+-=-+=<, (10)

9

2

5

+

4

T x x =--在

),4[+∞上是减函

数, …………11分

T 的最大值

max (4)0T T ==, …………12分

2

x =时,

T

取最大值

2, …………13分

即当日产量定为2(万件)时,工厂可获得最大利润2万元. …………14分

20.(本小题满分14分) 解

1

k e

=得

()x f x e ex

=-,所以

()x f x e e '=-. …………1分

令0)('

=x f ,得0=-e e x ,解得1=x .

由()0f x '>得1x >,由()0f x '<得1x <,

当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表:

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…………2分

所以当

x =1

时,()f x 有极小值为0,无极大

值. …………3分 (2)由()x f x e kx x =-∈R ,,得()x

f x e k '=-.

①当0k ≤时,则()0x

f x e k '=->对R x ∈恒成立,

此时()f x 的单调递增,递增区间为

)∞+∞(-,

. …………4分

②当0k >时,

由()0,x

f x e k '=->得到ln x k >,

由()0,x

f x e k '=-<得到ln x k <,

所以,0k >时,()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞;递减区间是

(,ln )k -∞. …………6分

综上,当0k ≤时,()f x 的单调递增区间为)∞+∞(-,

; 当0k >时,()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞;递减区间是

(,ln )k -∞. ………7分

(3)解法一:

①当0k =时,()x

f x e =0>,对R x ∈恒成立,所以函数()f x 在]4,(-∞上无零点.………8分

②当0k <时,由(2)知,()0x

f x e k '=->对R x ∈恒成立,函数()f x 在]4,(-∞上单调递增,

(0)=10f >,

1

1

()10,k f e k

=-< …………9分 所以函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零

点. …………10分

(若说明取绝对值很大的负数时,()f x 小于零给1分)

③当0k >时,令()x

f x e k '=-0=,得k x ln =,且()f x 在(,ln )k -∞上单调递减,在(ln ,)k +∞ 上单调递增,()f x 在k x ln =时取得极小值,即()f x 在]4,(-∞上最多存在两个零点.

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x

(ⅰ)若函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点,则ln 4(ln )(1ln )0(4)0k f k k k f

=-

4

(,4

e k e ∈;…11分

(ⅱ)若函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点,则(4)0f <或ln 4

(ln )0

k f k ≤??

=?,解得

4

(,)

4

e k ∈+∞或

e

k =;

…………12分

(ⅲ)若函数()f x 在]4,(-∞上没有零点,则ln 4

(4)0k f >??

>?

或(ln )(1ln )0f k k k =->,解

(0)

k e ∈, .

…………13分

综上所述, 当4

(,]4

e k e ∈时,()

f x 在]4,(-∞上有2个零点;

当4

(,+)(,0)4

e k ∈∞-∞ 或e k =时,()

f x 在]4,(-∞上有1个零点;

[0)k e ∈,时,()f x 在]4,(-∞上无零

点. …………14分 解法二:

()x

f x e kx x =-∈R ,.

当0k =时,()x

f x e =0>对R x ∈恒成立,所以函数()f x 在]4,(-∞上无零点.………8分

当0k ≠时,kx e x f x

-=)(在]4,(-∞上的零点就

是方程x

e kx =在]4,(-∞上的解,即函数x

e y =

与kx y =在]4,(-∞上的交点的横坐标. …………9分 ①当0k <时,如图1,函数x

e y =与kx y =只在0-∞(,)上 有一个交点,即函数

()f x 在]4,(-∞上有一个零

点. …………10分 ②当0k >时,

若x

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y e y kx ==与相切时,如图2,设切点坐标为

),(00x e x ,则00/|,x x x x y e e === 即切线的斜率是

0,x k e =所以000x e e x x ?=,解得410<=x ,

即当k e =时,x

y e y kx ==与只有一个交点,

函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点1=x ;…………11分

由此,还可以知道,当0k e <<时,函数()f x 在]4,(-∞上无零点. …………12分

当kx y =过点),4(4

e 时,如图3,4

4e k =,

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所以44

e e k <≤时,x

y e y kx ==与在]4,(-∞上

有两个交点,即函数()f x 在]4,(-∞上有两个零点;

4

4

e k >时,x y e y kx ==与在]4,(-∞上只有一个

()f x 在]4,(-∞上只有一个零

点. …………13分

综上所述,当4

(,]4

e k e ∈时,函数()

f x 在]4,(-∞上有2个零点;

当4

(,+)(,0)4

e k ∈∞-∞ 或e k =时,函数()

f x 在]4,(-∞上有1个零

点;

当[0)k e ∈,时,函数()f x 在]4,(-∞上无零

点. …………14分

21.(本小题满分14分)

解:(1)因为0>n a ,n n n a S a -=22

,①

1

=n 时,

1

12

12a S a -=,解得

11=a ; …………1分

当2≥n 时,有112

12----=n n n a S a ,②

由①-②得,1112

12)()(2----+=---=-n n n n n n n n a a a a S S a a (2≥n ). 而0>n a ,所以11=--n n a a (2≥n ),即数列}{n a 是等差数列,且

n a n =. …………2分

又因为

21n n b b =+,且0>n b ,取自然对数得n n b b ln 2ln 1=+,由此可知数列}ln {n b 是以1ln ln 1==e b 为首项,以2为公比的等比数列,所以

11122ln ln --=?=n n n b b , ………4分

1

2-=n e b n . …………5分

2

1

12ln -?==n n n n n b a c , …………6分

所以1221)2()2()1()2(3)2(211--?+?-++?+?+?=n n n n n T ,③

n n n n n T )2()2()1()2(3)2(2)2(121321?+?-++?+?+?=?- ,④

-④

n n n n T 2222112?-++++=-- , …………7分

12)1(+-=n n n T . …………8分

(3)由n a n =,n n n a S a -=22

得2

2n

n S n +=,

)

1()1()1(412)

15+--<

<--n n n T S n n n λ(可得 )

1(21)152

2+<<-+-+n n n n n n λ(,

即使得对于任意*N n ∈且2≥n ,不等式

)

1()1()1(412)

15+--<

<--n n n T S n n n λ(恒成立等价于使得对于

任意*N n ∈且2≥n ,不等式

)

1(21)152

2+<<-+-+n n n n n n λ(恒成

立. …………10分

2

51)55

1,2122111211

n n n n n n n n n -==≤=-++-+++--

(当时取最大值是.

…………11分

(或用导数求25(1)

()1

x f x x x -=

+-在[1)∞,+上的最大值.)

令2

2()(1)n g n n n +=+,由???+≤-≤)

1()()1()(n g n g n g n g 可得

2123

22(1)(1)22(1)(1)(2)

n n n n n n n n n n n n ++++?≤?+-???≤?+++? ,化简得:2111

122n n n n ?≤??+-??≤?+?, 解得23n ≤≤,所以当23n =或时,()g n 取最小值,最小值为

8

(2)(3)3

g g ==

,…………13分 所

2

λ=时,原不等式恒成

立. …………14分