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高中数学第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习

第三节

空间点、直线、平面间的位置关系

[知识能否忆起]

一、平面的基本性质名称

图示

文字表示符号表示公理1

如果一条直线上的两

点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，

B ∈α?l ?α

公理2

过不在一条直线上的

三点，有且只有一个平

面

公理3

如果两个不重合的平

面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P ∈α，且P ∈β?α∩β

＝l ，且P ∈l

二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类

共面直线???

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2．平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)

(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．

(2)范围：???

?0，π

三、直线与平面的位置关系

位置关系图示符号表示公共点个数

直线l在平面α内l?α无数个

直线l与平面α相交l∩α＝A 一个

直线l与平面α平行l∥α0个

四、平面与平面的位置关系

位置关系图示符号表示公共点个数

两个平面平行α∥β0个

两个平面相交α∩β＝l 无数个(这些公共点均在交线l上)

1.三个公理的作用

(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．

2．异面直线的有关问题

(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平

面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．

(2)所成的角的求法：平移法．

平面的基本性质及应用

典题导入

[例1](2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F 为A1A的中点，

求证：CE，D1F，DA三线共点．

[自主解答]

∵EF綊1

2CD1，

∴直线D1F和CE必相交．

设D1F∩CE＝P，

∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，

∴P∈平面AA1D1D.

又P∈EC且CE?平面ABCD，

∴P∈平面ABCD，

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.

∴P∈AD.

∴CE、D1F、DA三线共点．

本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．

证明：∵E，F分别是AB和AA1的中点，

∴EF綊1

2A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.

∴四边形A1D1CB为平行四边形．

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.

∴EF与CD1确定一个平面．

∴E，C1，F，D四点共面．

由题悟法

1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．

以题试法

1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()

A．对边相等的四边形一定是平面图形

B．四边相等的四边形一定是平面图形

C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形

D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形

(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①相对棱AB与CD所在直线异面；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；

④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．

(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①

正确；

由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，

其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C(2)①④

异面直线的判定

典题导入

[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

[自主解答]图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，

因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H?面GMN，

因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．

[答案]②④

由题悟法

1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

以题试法

2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：

①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．

②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．

③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；

④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．

则四个结论中正确的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．

异面直线所成角

典题导入

[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．

[自主解答] 连接DF ，则AE ∥DF ，

∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝

52a ，D 1F ＝5

a ， ∴cos ∠D 1FD ＝

????52a 2＋????52a 2－a 2

2·52a ·5

a ＝3

[答案] 3

由题悟法

求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

以题试法

3．(2012·唐山模拟)四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( )

A.255

B.55

C.45

D.35

解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角∠P AB ，在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知：

cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×2×5＝5

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )

A．异面B．相交

C．不可能平行D．不可能相交

解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．

2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为()

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选C①④错误，②③正确．

3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直

线．

4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，

F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为

________．

解析：连接B1D1，D1C，

则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，

∴∠D1B1C＝60°.

答案：60°

5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．

解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案：5

第四节直线、平面平行的判定及性质

[知识能否忆起]

一、直线与平面平行

1．判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平

面内的一条直线平行，则

直线与此平面平行?

a?α

b?α

b∥a

?a∥α

2．性质定理

文字语言图形语言符号语言

性质定理一条直线与一个平面平

行，则过这条直线的任

一平面与此平面的交线

与该直线平行

a∥α

a?β

α∩β＝b

?a∥b

二、平面与平面平行

1．判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交

直线与另一个平面平

行，则这两个平面平行?

a?α

b?α

a∩b＝P

a∥β

b∥β

?α∥

β2．两平面平行的性质定理

文字语言图形语言符号语言性质定理

如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那

么它们的交线平行?

α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

?a∥b

1.平行问题的转化关系：

线∥线判定

判定

性质

线∥面――→

判定

性质

面∥面性质

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．

线面平行、面面平行的基本问题

典题导入

[例1](2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，

点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长

度等于________．

[自主解答]因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF

＝1

2AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2.所以EF＝ 2.

[答案] 2

本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.

解：如图，

∵GN∥平面AA1C1C，

EG∥平面AA1C1C，

又GN∩EG＝G，

∴平面EGN∥平面AA1C1C.

∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.

由题悟法

解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：

(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．

以题试法

1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在平面α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

解析：选C由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．

(2)(2012·潍坊模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ?α，n ?α，l 1?β，l 2?β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )

A ．m ∥β且l 1∥α

B ．m ∥β且n ∥β

C ．m ∥β且n ∥l 2

D ．m ∥l 1且n ∥l 2

解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.

直线与平面平行的判定与性质

典题导入

[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝1

3Sh ，

其中S 为底面面积，h 为高)

[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点，

所以点M 为AB ′的中点．又因为点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.

又MN ?平面A ′ACC ′， AC ′?平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′. 法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .

而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.

所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ?平面MPN ，

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝1

2B′C′＝1，

故V A′－MNC＝V N－A′MC＝1

2V N－A′BC＝1

2V A′－NBC＝

法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝1

2V A′－NBC＝

6. 由题悟法

利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

以题试法

2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1

中，E，F分别是BD，BB1的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1CD；

(2)求证：EF⊥AD1.

解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，

在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，

∴EF∥B1D.

又∵B1D?平面A1B1CD.

EF?平面A1B1CD，

∴EF∥平面A1B1CD.

(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，

∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.

又A1D∩A1B1＝A1，

∴AD1⊥平面A1B1D.

∴AD1⊥B1D.

又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.

平面与平面平行的判定与性质

典题导入

[例3] 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．

(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . [自主解答] (1)在正方形AA 1B 1B 中， ∵AE ＝B 1G ＝1， ∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E .

∴四边形A 1GBE 是平行四边形． ∴A 1G ∥BE . 又C 1F 綊B 1G ，

∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.

∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F . ∴D 1F 綊EB .

故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝3

又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝2

又

FC BC ＝2

，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .

∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG .

∴HG∥FB.

∵GH?面FBED1，FB?面FBED1，∴GH∥面BED1F.

由(1)知A1G∥BE，A1G?面FBED1，BE?面FBED1，

∴A1G∥面BED1F.

且HG∩A1G＝G，

∴平面A1GH∥平面BED1F.

由题悟法

常用的判断面面平行的方法

(1)利用面面平行的判定定理；

(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；

(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．

以题试法

3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯

形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.

(1)求证：平面AMB∥平面DNC；

(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.

证明：(1)因为MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，

所以MB∥平面DNC.

又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.

又MA?平面DNC，DN?平面DNC.

所以MA∥平面DNC.

又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，

所以平面AMB∥平面DNC.

(2)因为四边形AMND是矩形，

所以AM⊥MN.

因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.

因为BC?平面MBCN，

所以AM⊥BC.

因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，

所以BC⊥平面AMC.

因为AC?平面AMC，

所以BC⊥AC.

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．

2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，b?α，则a∥α；

②若a∥b，a∥α，则b∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是()

A．0B．1

C．2 D．3

解析：选A对于命题①，若a∥b，b?α，则应有a∥α或a?α，所以①不正确；

对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b?α，因此②也不正确；

对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．

3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交且不垂直D．l∥α或l?α

解析：选D由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l?α时也成立．

4．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是________．

解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．

答案：平行或异面

5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE 的位置关系为________．

解析：如图．

连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，

BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案：平行

第五节直线、平面垂直的判定与性质

[知识能否忆起]

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一条直线与一个平面

内的两条相交直线都

垂直，则该直线与此平

面垂直

a，b?α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

?l⊥α

推论

如果在两条平行直线

中，有一条垂直于平

面，那么另一条直线也

垂直这个平面

a∥b

a⊥α

?b⊥α

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言符号语言

性质定理垂直于同一个平面的两

条直线平行??

a⊥α

b⊥α

?a∥b

二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一个平面

的垂线，则这两个平面

垂直

l?β

l⊥α

?α⊥β

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一个

平面内垂直于交线的直

线垂直于另一个平面??

α⊥β

l?β

α∩β＝a

l⊥a

?l⊥α

线面、面面垂直的转化关系，即：

2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：

(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

垂直关系的基本问题

[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．

[答案]①③④

由题悟法

解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．

以题试法

1．(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a ∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选D对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.

直线与平面垂直的判定与性质

[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1

AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．

(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；

(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .

[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ?平面P AD ，所以PH ⊥AB .

因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .

因为PH ?平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ?平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .

(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ，且EG ＝12PH ＝1

因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .

因为AB ⊥平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以AB ⊥AD .

所以底面ABCD 为直角梯形．

所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝2

12.

(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊1

AB .

又因为DF 綊1

2AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .

因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A .

因为AB⊥平面P AD，所以MD⊥AB.

因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB，所以EF⊥平面P AB.

由题悟法

证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)利用判定定理．

(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α?b⊥α)．

(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)．

(4)利用面面垂直的性质．

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

以题试法

2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，

M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

证明：(1)连接AC，AN，BN，

∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AC，

在Rt△P AC中，N为PC中点，∴AN＝1

2PC.

∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，

P A∩AB＝A，

∴BC⊥平面P AB.∴BC⊥PB.

从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，

∴BN＝1

2PC.

∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，

又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，P A⊥AD，∴AP＝AD.

∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.

又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.

而∠P AM＝∠CBM＝90°，

初中化学空气氧气知识点总结

空气中的成分实验：空气中氧气成分的测定装置图注意点 a、可燃物要求：足量红磷 b、装置要求：气密性良好 c、操作要求：等到集气瓶冷却到室温后再打开弹簧夹 d、现象：有大量白烟产生，广口瓶内液面上升约1/5 体积 e、结论：空气是混合物； O2约占1/5，可支持燃烧； N2约占4/5，不支持燃烧，也不能燃烧，难溶于水探究：①液面上升小于1/5原因：装置漏气，红磷量不足，未冷却完全 ②选择的药品应具备的条件：a、能在空气中燃烧；b、在空气中燃烧时只与氧气反应，不消耗空气中其他气体；c、燃烧后只产生固体或产生的气体可以被水或者气体溶液吸收能否用铁、铝代替红磷？不能原因：铁、铝不能在空气中燃烧能否用碳、硫代替红磷？不能原因：产物是气体，不能产生压强差。概念分析：混合物：是由两种或两种以上的物质混合而成(或由不同种物质组成）例如，空气，溶液（盐酸、澄清的石灰水、碘酒、矿泉水），矿物（煤、石油、天然气、铁矿石、石灰石），合金（生铁、钢）纯净物：由一种物质组成的。例如：水、水银、蓝矾(CuSO4·5H2O)都是纯净物注意：纯净物、混合物与组成元素的种类无关。一种元素组成的物质可能是纯净物也可能是混合物，多种元素组成的物质可能是纯净或混合物。氧气和臭氧混合而成的物质是混合物，红磷和白磷混合也是混合物。冰与水混合是纯净物。名称中有“某化某”“某酸某”的都是纯净物，是化合物。空气污（1）空气污染源：工业、交通、生活污染源（2）对空气造成污染的主要是有害气体（CO、SO2、氮的氧化物）和烟尘等。目前计入空气污染指数的项目为可吸入颗粒物、氮氧化物(NO、NO2)和二氧化硫SO2等。

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。奇偶性定义一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

地理：关于《环境保护》的一些知识点总结

关于《环境保护》的一些知识点总结第一章：环境与环境问题环境的概念及分类 ▲环境问题的表现：资源短缺，环境污染，生态破坏，全球环境变化 ▲环境问题产生的原因（1）自然原因自然原因引起的环境问题，主要指火山爆发，地震，山崩，泥石流，台风，海啸，寒潮，水旱等自然界固有的自然灾害（2）人为原因 1.资源的有限性与人类需求的无限性的矛盾（根本性的原因）。2．短期经济利益与长远环境效益的矛盾。3．局部利益与整体利益的矛盾。4．个人行为和大众利益的矛盾。解决当代环境问题的关键是在尽可能短的时期内，控制世界人口的增长，使世界人口稳定在适度的规模。当代环境问题的特点 1．两种不同的环境观可持续发展的概念和内涵：（1）概念：可持续发展就是既满足当代人的需求，又不对后代人满足其自身需求能力构成危害的发展。它是一个涉及经济、社会、文化技术和自然环境的综合概念。（2）基本思想：①鼓励经济增长；②要保证资源的可持续利用和良好的生态环境；③谋求社会的全面进步。（3）中国的可持续发展——《中国21世纪议程》。危害的不可预见性：举例2．过程的不可逆性：举例3．规模的全球性。第二章：环境污染与防治地理环境的自净能力的概念：指环境对外来物质具有一定的消纳、同化能力。 ▲环境污染的原因:在一定的时间、空间范围内，环境的自净能力是有限的，污染物排放超过其环境其自净能力，就会产生环境污染。自净机理：物理净化，化学净化，生物净化。重金属污染的污染物：各种重金属。污染过程及危害：通过水体或食物链造成人或动物中毒。 ▲水体富营养化:水体富营养化发生在淡水水体，称为“水华”；发生在海洋，称为“赤潮”。

化学必修二第二章知识点总结

第二章化学反应与能量第一节化学能与热能一．化学键与能量变化关系关系：在任何的化学反应中总伴有能量的变化。原因：当物质发生化学反应时，从微观来看，断开反应物中的化学键要吸收能量，而形成生成物中的化学键要放出能量。化学键的断裂和形成是化学反应中能量变化的主要原因。一个确定的化学反应在发生过程中是吸收能量还是放出能量，决定于反应物的总能量与生成物的总能量的相对大小。 H2O(g) CO(g)

注：反应条件与吸放热无关。（3）放热反应与吸热反应的比较（1）概念：把化学能直接转化为电能的装置叫做原电池。

④闭合回路“成回路” （4）电极名称及发生的反应：“离子不上岸，电子不下水” 外电路：负极——导线——正极内电路：盐桥中阴离子移向负极的电解质溶液，盐桥中阳离子移向正极的电解质溶液。负极：较活泼的金属作负极，负极发生氧化反应，电极反应式：较活泼金属－ne－＝金属阳离子负极现象：负极溶解，负极质量减少。正极：较不活泼的金属或非金属作正极，正极发生还原反应，电极反应式：溶液中阳离子＋ne－＝单质正极的现象：一般有气体放出或正极质量增加。（5）原电池正负极的判断方法： ①依据原电池两极的材料：较活泼的金属作负极（K、Ca、Na太活泼，不能作电极）；较不活泼金属或可导电非金属（石墨）、氧化物（MnO2）等作正极。 ②根据电流方向或电子流向：（外电路）的电流由正极流向负极；电子则由负极经外电路流向原电池的正极。 ⑤据内电路离子的迁移方向：阳离子流向原电池正极，阴离子流向原电池负极。 “正正负负” ⑥据原电池中的反应类型：“负氧化，正还原” 负极：失电子，电子流出，发生氧化反应，现象通常是电极本身消耗，质量减小。正极：得电子，电子流入，发生还原反应，现象是常伴随金属的析出或H2的放出。（6）原电池电极反应的书写方法：（i）原电池反应所依托的化学反应原理是氧化还原反应，负极反应是氧化反应，正极反应是还原反应。因此书写电极反应的方法归纳如下：

高中数学知识点总结超全

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高一地理必修一第二章知识点总结梳理

第二章地球上的大气；第一节冷热不均引起大气运动；一、大气的组成及氮、氧、二氧化碳、水汽、臭氧和固；氧--生命活动必需的物质；二氧化碳--光合作用原料；保温作用臭氧--地球生；水汽和固体杂质--成云致雨；杂质：凝结核二、大气；1．对流层的特点：①随高度增加气温降低②大气对流；三、大气的受热过程；1、根本能量源：太阳辐射（各类辐射的波长范围及太；吸收(选择性）臭氧第二章地球上的大气第一节冷热不均引起大气运动一、大气的组成及氮、氧、二氧化碳、水汽、臭氧和固体杂质等主要成分的作用低层大气组成：稳定比例的干洁空气（氧氮为主）、含量不稳定的水汽、固体杂质氮--生物体基本成分氧--生命活动必需的物质二氧化碳--光合作用原料；保温作用臭氧--地球生命保护伞，吸收紫外线水汽和固体杂质--成云致雨；杂质：凝结核二、大气的垂直分层及各层对人类活动的影响1．对流层的特点：①随高度增加气温降低②大气对流运动显著③天气复杂多变2.平流层的特点：①随高度增加温度升高②大气平稳有利于高空飞行③包含臭氧层三、大气的受热过程 1、根本能量源：太阳辐射（各类辐射的波长范围及太阳辐射的性质--短波辐射） 2、大气的受热过程（大气的热力作用）--太阳晒热大地，大地烤热大气 3、大气对太阳辐射的削弱作用：三种形式及各自现象（用实例说明）吸收(选择性臭氧-紫外线、CO2-红外线)、散射(有一点选择性小颗粒优先散射短波光-兰紫光)、反射(无选择性云层) 影响削弱大小的主要原因：太阳高度角（各纬度削弱不同）4、大气对地面的保温作用：了解地面辐射（红外线长波辐射）；大气辐射（红外线长波辐射）保温作用的过程：大气强烈吸收地面长波辐射；大气逆辐射将热量还给地面（图示及实例说明--如霜冻出现时间；日温差大小的比较）保温作用的意义：减少气温的日较差；保证地球适宜温度；维持全球热量平衡5、太阳辐射（光照）的影响因素：纬度、天气、地势、大气透明度、太阳高度四、热力环流 1、大气运动的根本原因：冷热不均（各纬度之间；海陆之间） 2、大气运动形式：最简单形式：热力环流（图示及说明）；举例：城郊风；海陆风；季风主要原因3、热力环流分解：冷热不均引起大气垂直运动4、水平气压差：水平气流由高压流向低压5、形成风的根本原因：冷热不均形成风的直接原因：水平压差（或水平气压梯度力） 6、影响风的三个力：水平气压梯度力；地转偏向力；地表磨擦力风向的决定：1力风（理论风）--垂直于等压线，高压指向低压.2力风（高空风）--平行于等压线，北右偏，南左偏.3力风（实际地表风）--斜穿等压线，北右偏，南左偏 7、风向：1、风向－—风来的方向；2、根据等压线的分布确定风向

数学选修2-1第二章知识点总结

（好好记公式，你们是最棒的，加油，老师与你们一起努力！）椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2a x c =± 2 a y c =± 13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M = =．

双曲线方程平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

环境保护知识点汇总

第一章环境问题一、环境概述 1环境：是指人类赖以生存与发展的社会和物质条件的综合体。按其属性可以分为: 环境和社会环境。（1）自然环境：大气环境、水环境、土壤环境、生物环境（2）社会环境：生产环境、交通环境、城市环境 2. 环境因素：是指构成人类环境整体的各个独立的、性质不同并且与环境整体发生相互作用的基本成分。包括自然环境因素（水、空气、生物、土壤、岩石、阳光等）和社会环境因素（人口、工业、农业、交通、科学技术、民风民俗、宗教信仰等） 3. 环境质量：是指环境因素受污染影响的程度。它是岁环境状况的一种描述。这种状况的形成，有自然原因，也有人为原因，而从某种意义上说，后者是更重要的原因。环境因素的不同，环境质量可分为大气环境质量、水环境质量、土壤环境质量等。二、环境问题概述 1 .环境问题：是指由于人类活动或自然原因使环境条件发生了变化, 物的生存和发展造成影响和破坏的问题。 2 .环境问题按产生原因分为原生环境问题和次生环境问题。由人类活动引起的环境问题称为次生环境问题，分为两大类: 三、当前人类面临的主要环境问题自然对环境污染程度的评价叫作环境质量评价; 评价环境质量的指数，称为环境质量指数。根据并对人类及其他生环境污染和生态破坏、

壤盐碱化 3.突发性的严重污染例：苏联切尔诺贝利核电站发生的核泄露事故、我国重庆川东油田特大井喷事故等。 1. 内圆：占有一定空间的人类社会；内外圆之间的空间：人类社会周围的环境 2. 箭头代表的含义 ① 代表人类通过生产活动，从环境中获取物质和能量; ② 代表人类将新陈代谢和消费活动的产物，以废弃物的形式排放到环境中; ③ 代表环境对人类的反馈作用这种反馈作用，一种是良性的，另一种是恶性的，会影响人类生产生活和健康，甚至危及人类的生存 ④ 代表人类通过生产活动和生活活动对环境产生影响正面（人类遵循自然规律，合理利资源本身及其代替品的再生速度，或者向环境排放废弃物的数量超过了环境的自净能力, 环境质量下降）全球变暖原因 ①大量化石燃料的燃烧②乱砍滥伐 1 危害（后果）导致南北极地区部分冰川融化，加上海水受热膨胀，导致海平面上升，影响世界各地的降水和干湿状况，自然灾害增加，导致世界各国经济结构的变化解决措施 ①开发和利用新能源②利用科技，提高能源利用率 ③植树造林④减少化石燃料的燃烧⑤加强国际合作臭氧层破坏原因人类向大气排放了大量能够显著消耗臭氧层的物质：氟氯烃等危害（后果）臭氧层的破坏，使其吸收紫外线的能力大大减弱，给人类健康和生态环境带来严重的危害解决办法 ①减少并逐步禁止氟氯烃等消耗臭氧层物质的排放②积极研制新型制冷系统 ③积极参与国际合作 1 .全球性的环境污染主要包括: 臭氧层破坏全球气候变暖酸雨危害 2.大面积的生态破坏：主要包括植被破坏、生物多样性减少、水土流失、土地荒漠化和土四、人类与环境的关系用资源或者废弃物排放不超过环境的自净能力），负面（人类向环境索取资源的速度超过了

物理必修一第二章知识点总结

第二章探究匀变速运动的规律专题一:自由落体运动 1．定义：物体从静止开始下落，并只受重力作用的运动。 2．规律：初速为0的匀加速运动，位移公式：22 1gt h =，速度公式：v=gt 3．两个重要比值：相等时间内的位移比1：3：5……，相等位移上的时间比(:1).....23(:)12-- 专题二:匀变速直线运动的规律 1.（以下公式全是适用于匀变速运动）常用的匀变速运动的公式:○ 1v t =v 0+at ○2x=v 0t+at 2 /2 ○ 3v t 2-v 02=2ax ○42/02 t t v v v v =+=-x=(v 0+v t )t/2 ○52aT x =?（一定是连续相等的时间内）（1）．上述各量中除t 外其余均矢量，在运用时一般选择取v 0的方向为正方向，若该量与v 0的方向相同则取为正值，反之为负。对已知量代入公式时要带上正负号，对未知量一般假设为正，若结果是正值，则表示与v 0方向相同，反之则表示与V 0方向相反。另外，在规定v 0方向为正的前提下，若a 为正值，表示物体作加速运动，若a 为负值，则表示物体作减速运动；若v 为正值，表示物体沿正方向运动，若v 为负值，表示物体沿反向运动；若s 为正值，表示物体位于出发点的前方，若S 为负值，表示物体位于出发点之后。（2）．注意：以上各式仅适用于匀变速直线运动，包括有往返的情况，对匀变速曲线运动和变加速运动均不成立。专题三．汽车做匀变速运动，追赶及相遇问题（1）追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件. 如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离；若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值. 再如初速度为零的匀加速运动的物体追赶同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上. （2）相遇同向运动的两物体追及即相遇，分析同（1）. 相向运动（两物体对着运动）的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇.

我们周围的空气知识点总结和题型总结

我们周围的空气知识点总结和题型总结一、我们周围的空气选择题 1．某同学进行如图所示实验，下列说法错误的是( ) A．实验前应检查装置的气密性，保证装置不漏气 B．用放大镜聚焦日光使红磷的温度达到着火点 C．一段时间后火焰熄灭的原因一定是集气瓶内没有氧气 D．该实验可测定空气里氧气的含量【答案】C 【解析】 A、凡是有气体参加反应或生成的实验，实验前应检查装置的气密性，保证装置不漏气，正确； B、放大镜有汇聚光线，提高温度的作用，故用放大镜聚焦日光使红磷的温度达到着火点，正确； C、一段时间后火焰熄灭的原因可能是集气瓶内没有氧气，也可能是红磷量不足，错误； D、若红磷足量，红磷燃烧消耗氧气，导致集气瓶内压强降低，进入集气瓶中水的体积就是空气里氧气的含量，正确。故选C。 2．下列实验操作中，正确的是（） A．酸和碱反应B．检查装置气密性 C．加热液体D．闻气体的气味【答案】D 【解析】【详解】 A、量筒不能做反应容器，故A错误； B、检查装置气密性必须是密封体系，图示中导管与外界通着，故B错误； C、给试管内液体加热时，试管内液体量不能超过试管容积的三分之一，故C错误； D、闻气体气味的方法：用手扇着闻，故D正确。故选D。【点睛】

解答本题关键是熟悉实验基本操作，防止错误操作，造成实验失败。 3．如图是元素周期表的一部分信息，下列说法错误的是 A．氟原子的核外电子数为 9 B．硫原子的相对原子质量是32.06 C．氟、硫、氯三种元素都属于非金属元素 D．氟元素和氯元素位于元素周期表的同一周期【答案】D 【解析】【分析】原子中，核电荷数=核内质子数=核外电子数=原子序数，相对原子质量≈质子数+中子数，原子有几个电子层，就属于第几周期。【详解】 A、氟原子是9号原子，核电荷数=核内质子数=核外电子数=原子序数，则核外电子数为9，故A正确； B、原子的相对原子质量的单位为“1”，硫原子的相对原子质量是32.06，故B正确； C、氟、硫、氯三种元素都属于非金属元素，故C正确； D、氟元素和氯元素核外电子层数不同，位于元素周期表的不同周期，故D不正确。故选D。【点睛】核电荷数=核内质子数=核外电子数=原子序数，相对原子质量≈质子数+中子数。 4．下列有关物质反应现象的叙述中，正确的是（） A．木炭在氧气中燃烧生成二氧化碳 B．硫在氧气中燃烧发出微弱的淡蓝色火焰，产生一种无色无味的气体 C．铁丝在氧气中剧烈燃烧，火星四射、生成黑色固体 D．红磷燃烧时，产生大量白雾【答案】C 【解析】【详解】 A、木炭在氧气中燃烧生成二氧化碳，是实验结论而不是实验现象，故选项说法错误； B、硫在氧气中燃烧，发出明亮的蓝紫色火焰，产生一种具有刺激性气味的气体，故选项说法错误； C、铁丝在氧气中剧烈燃烧，火星四射，生成一种黑色固体，故选项说法正确； D、红磷燃烧，产生大量的白烟，而不是白雾，故选项说法错误。故选C。

大气污染控制工程知识点总结

第一章．1、按照大气污染的范围来分，可以分为四类：（1）局部地区污染；（2）地区性污染（3）广域污染（4）全球性污染。 2、大气污染物：指由于人类活动或自然过程排入大气的并对人和环境产生有害影响的那些物质。可以分为两类：气溶胶状态污染物、气体状态污染物。 3、一次污染物：指直接从污染源排放到大气中的原始污染物质。 4、大气污染源可以分为：自然污染源、人为污染源。（人为污染源：生活污染源、工业污染源、交通运输污染源。） 5、中国的大气环境污染主要以煤烟型为主，主要污染物为TSP和SO ，北京、上海、广州属于煤烟与汽车尾气并重类型。 2 6、大气污染物入侵人体途径：（1）表面接触（2）食入含污染物的食物和水（3）吸入被污染的空气。 7、颗粒物的粒径大小危害人类健康主要表现在两方面：粒径越小，越不容易沉淀，漂浮时间长人体吸入后深入肺部；粒径越小，粉尘比表面积越大，物理化学活性越高，生理效应加剧。8、硫酸烟雾引起的生理反应要比单一二氧化硫气体强4—20倍。 9、能见度：指定方向上仅能用肉眼看见和辨认的最大距离。 10、大气污染综合防治措施：（1）全面规划、合理布局（2）严格环境管理（3）控制污染技术措施（4）控制污染经济政策（5）绿化造林（6）安装废气净化装置。11、大气污染综合防治的基本点是：防与治的综合。 12、环境管理概念的两种范畴：狭义：环境污染源和环境污染物的管理；广义：即从环境经济、环境资源、环境生态的平衡管理，通过经济发展的全面规划和自然资源的合理利用，达到保护生态和改善环境的目的。13、清洁生产包括：清洁的生产过程和清洁的产品。14、可持续发展能源战略：（1）综合能源规划与管理（2）提高能源利用效率（3）推广少污染的煤炭开采集术和清洁煤技术（4）积极开发利用新能源和可再生能源。 15、制定环境空气质量标准的目标是保障人体健康和保护生态环境。第二章.1、燃料：指在燃烧过程中能够放出热量，且在经济上可以取得效益的物质。分为固体燃料、液体燃料、气体燃料。2、煤的工业分析包括测定煤中水分、灰分、挥发分和固定碳。3、煤中含有四种形态的硫：黄铁矿硫、硫酸盐硫、有机硫、元素硫。4、石油主要由：链烷烃、环烷烃和芳香烃等碳氢化合物组成。 5、原油中硫大部分以有机硫形式存在。 6、非常规燃料根据来源可以分为：（1）城市固体废弃物（2）商业和工业固体废弃物（3）农产物及农村废物（4）水生植物和水生废物（5）污泥处理厂废物（6）可燃性工业和采矿废物（7）天然存在的含碳和含碳氢的资源（8）合成燃料。 7、非常规原料优点：代替某些领域的化石燃料供应，也是处理废物的有效方式。缺点：燃烧时比常规燃料产生更为严重的空气污染和水污染；需要专门的技术设备。 8、燃料完全燃烧条件：（1）充足的空气（2）达到着火温度（3）停留时间充足（4）燃料空气充分混合。9、有效燃烧四因素：空燃比、温度、时间、湍流度。 10、燃烧“三T”：时间、温度、湍流。11、过剩空气量：一般把超过理论空气量多供给的空气量称为过剩空气量。12、燃烧烟气主要由少量悬浮颗粒物、未燃烧和部分燃烧的燃料、氧化剂、惰性气体组成。13、燃烧设备热损失：（1）排烟热损失（2）不完全燃烧热损失（3）炉体散热损失。14、理论烟气体积：在理论空气量下，燃料完全燃烧所生成的燃气体积称为理论烟气体积。15、含硫燃料燃烧时的特征是火焰呈浅蓝色。16、烟尘：固体燃料燃烧产生的颗粒物称为烟尘，包括黑烟和飞灰两部分。 17、黑烟：主要是未燃尽的炭粒。18、飞灰：主要是燃料所含的不可燃矿物质微粒。19、大气污染物中量最大、分布最广的一种、亦是燃烧过程中产生的主要污染物是CO，CO主要来源于汽车的尾气。 20、汞的挥发性很强，对人体危害包括肾功能衰减，损害神经系统等。第三章.1、大气：指环绕地球的全部空气的总和。环境空气：指人类、植物、动物、和建筑物暴露于其中的室外空气。2、自然地理学将受地心引力而随地球旋转的大气层称为大气圈。3、根据气温在垂直于下垫面方向上的分布，将大气圈分为：对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层。4、气压：指 m湿空气中含有的水汽质量，称为湿空气的绝对湿度。5、含湿量：大气的压强。5、绝对湿度：在13

(物理必修一)第二章知识点总结

点通传奇专用第二章知识点总结 2.2匀变速直线运动的速度与时间的关系一、匀变速直线运动 1．定义：沿着一条直线，且不变的运动． 2．匀变速直线运动的v t图象是一条．分类：(1)速度随着时间的匀变速直线运动，叫匀加速直线运动． (2)速度随着时间的匀变速直线运动，叫做匀减速直线运动．二、速度与时间的关系式 1．速度公式： 2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，由于加速度a在数值上等于速度的变化量，所以at就是t时间内；再加上运动开始时物体的，就可以得到t时刻物体的．一、对匀变速直线运动的认识 1．匀变速直线运动的特点 (1)加速度a恒定不变； (2)v t图象是一条倾斜的直线．

2．分类匀加速直线运动：速度随着时间均匀增大，加速度a与速度v同向．匀减速直线运动：速度随着时间均匀减小，加速度a与速度v同向．二、对速度公式的理解 1．公式v＝v0＋at中各量的物理意义 v0是开始计时时的瞬时速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内的速度变化量，即Δv＝at. 2．公式的适用条件：做匀变速直线运动的物体 3．注意公式的矢量性公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值． 4．特殊情况 (1)当v0＝0时，v＝at，即v∝t(由静止开始的匀加速直线运动)． (2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)．针对训练质点在直线上做匀变速直线运动，如图222所示，若在A点时的速度是5 m/s，经过3 s 到达B点时的速度是14 m/s，若再经4 s到达C点，则在C点时的速度多大？答案26 m/s 对速度公式的理解 1．一辆以12 m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5 s末的速度为() A．8 m/s B．14 m/s C．0 D．32 m/s 答案 C 2．火车机车原来的速度是36 km/h，在一段下坡路上加速度为0.2 m/s2.机车行驶到下坡末端，速度增加到54 km/h.求机车通过这段下坡路所用的时间．答案25 s 12．卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方立即开始刹车，使卡车匀减速前进．当车减速到2 m/s时，交通灯恰好转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程一半的时间卡车就加速到原来的速度．从刹车开始到恢复原速的过程用了12 s．求： (1)卡车在减速与加速过程中的加速度； (2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度． 12、(1)－1 m/s2 2 m/s2(2)8 m/s 6 m/s 2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系一、匀速直线运动的位移做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝v t，在速度图象中，位移在数值上等于v t图象与对应的时间轴所围的矩形面积．二、匀变速直线运动的位移 1．由v t图象求位移： (1)物体运动的速度时间图象如图232甲所示，把物体的运动分成几个小段，如图乙，每段位移≈每段起始时刻速度×每段时间＝对应矩形面积．所以整个过程的位移≈各个小矩形．

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

空气知识点总结复习过程

第二单元知识点总结第一节空气一、拉瓦锡测定空气成分的实验二百多年前，法国化学家拉瓦锡通过实验，得出了空气由氧气和氮气组成，其中氧气约占空气总体积的1/5的结论。实验中涉及的化学方程式有：2Hg+O2△2HgO和2HgO△2Hg+O2↑。二、测定空气中氧气含量的实验（重要） 1、【实验原理】4P+5O2点燃2P2O5（因为红磷燃烧后，消耗了氧气，使内部气压减小，小于外部大气压，使水被压入集气瓶内。） 2、【实验装置】弹簧夹关闭。集气瓶内加入少量水，并做上记号。 3、【实验步骤】 ①连接装置，并检查装置的气密性。 ②点燃燃烧匙内的红磷，立即伸入集气瓶中，并塞紧塞子。 ③待红磷熄灭并冷却后，打开弹簧夹。 4、【实验现象】①红磷燃烧，产生大量白烟；②放热；③冷却后打开弹簧夹，水沿着导管进入集气瓶中，进入集气瓶内水的体积约占集气瓶空气总体积的1/5。 5、【实验结论】①空气中氧气的体积约占空气总体积的1/5。②氮气不溶于水(物理性质)；不能燃烧也不支持燃烧（化学性质） 6、【注意事项】液面上升小于1/5原因 ①红磷过量。如果红磷的量不足，集气瓶内的氧气没有被完全消耗，测量结果会偏小。 ②装置气密性要好。如果装置的气密性不好，集气瓶外的空气进入集气瓶，测量结果会偏小。 ③冷却后再打开弹簧夹，否则瓶内气体体积膨胀测量结果偏小。 ④导管中要注满水。否则当红磷燃烧并冷却后，进入的水会有一部分残留在试管中，导致测量结果偏小。水面上升大于1/5的原因： ①没夹紧弹簧夹，红磷燃烧时瓶内部分空气受热从导管溢出。测量结果会偏大 ②点燃后未立即伸入集气瓶并塞紧瓶塞，瓶内部分空气受热溢出。测量结果会偏大 ⑤在集气瓶底加水的目的：吸收有毒的五氧化二磷。

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