导数解决交点问题答案

[2011·福建卷] 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝

2.71828…是自然对数的底数)．

(1)求实数b 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m

与曲线y ＝f (x )???

?x ∈????1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．

课标文数22.B11，B12[2011·福建卷] 【解答】 (1)由f (e)＝2得b ＝2.

(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .

从而f ′(x )＝a ln x .

因为a ≠0，故：

①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0

②当a <0时，由f ′(x )>0得01.

综上，当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .

由(2)可得，当x 在区间????1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 又2－2e

<2，所以函数f (x )(x ∈???1e ，e )的值域为[1,2]． 据此可得，若?????

m ＝1，M ＝2相对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )????x ∈????1e ，e 都有公共点；

并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )???

?x ∈????1e ，e 都没有公共点．

综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，

M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )???

?x ∈????1e ，e 都有公共点． [2011·福建卷] 已知函数f (x )＝e x ＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：

①△ABC 一定是钝角三角形；

②△ABC 可能是直角三角形；

③△ABC 可能是等腰三角形；

④△ABC 不可能是等腰三角形．

其中，正确的判断是( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1

∵ f ′(x )＝e x ＋1>0，

∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴ f (x 1)

， ∵ BA →＝(x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2))，BC →＝(x 3－x 2，f (x 3)－f (x 2))， ∴ BA →·BC →＝(x 1－x 2)(x 3－x 2)＋(f (x 1)－f (x 2))(f (x 3)－f (x 2))<0， ∴ ∠ABC 为钝角，判断①正确，②错；

(2)若△ABC 为等腰三角形，则只需AB ＝BC ，即

(x 1－x 2)2＋(f (x 1)－f (x 2))2＝(x 3－x 2)2＋(f (x 3)－f (x 2))2，

∵ x 1，x 2，x 3成等差数列，即2x 2＝x 1＋x 3，

且f (x 1)

只需 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，即2f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 3)，

即 f ????x 1＋x 32＝f (x 1)＋f (x 3)2，这与f ????x 1＋x 32<

f (x 1)＋f (x 3)2相矛盾， ∴△ABC 不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标为x 1，x 2，x 3(x 1

图1－3

∵ f ′(x )＝e x ＋1>0，

∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f (x )的图象(大致)．

∴ f (x 1)

， 如图1－2，设直线AB 、BC 的倾斜角分别为α和β，由0

得α<β<π2

，故∠ABC ＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误； 由x 1，x 2，x 3成等差数列，得x 2－x 1＝x 3－x 2，

若△ABC 为等腰三角形，只需AB ＝BC ，则

f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，

由0

(完整)高中数学导数题型总结,推荐文档

导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中导数的概念与计算练习题带答案

导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-

导数中的恒成立和存在性问题

导数中的恒成立和存在性问题

技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；

导数的运算练习题.doc

导数的运算练习 一、常用的导数公式 （1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ； （3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ； （5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________； （8）_____________； 二、导数的运算法则 1、（1） ； （2） ； （3）______________________________________； （4） =___________________________________；(C 为常数) 2、复合函数的导数 设 ． 三、练习 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、32y x 的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．12- D 33x

4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()f x =()1f '等于（ ） A ．0 B ．13- C ．3 D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y -+=或210x y --= C ．210x y --= D ．20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4 π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 8、设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ） A ．()sin f x ' B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 9、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π?????? B ．30,,24πππ????????????U C ．3,4ππ?????? D ．3,24ππ?? ???

第21讲 导数中参数问题的求解策略高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】 导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点. 【方法讲评】 方法一 分离参数法 解题步骤 先分离参数，再解答. 【例1】已知函数()ln ()f x a x a R x = -∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间； （2）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围. 如图，作出函数()x ?的大致图象，则要使方程1 ln x x a =的唯一的实根， 【点评】1 ln a x x = 有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数a ，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得1 ln x x a =，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数， 交点分析起来比较方便. 【反馈检测1】已知函数()()2x f x x e =-和()3 2g x kx x =--． （1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 【反馈检测2】已知()2ln f x x x =，32 ()2g x x ax x =+-+． （1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3 -，求函数()g x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程； （3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围． 方法二 分类讨论法 解题步骤 就参数分类讨论解答. 【例2】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数 的单调性；

基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)

基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,

/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.

利用导数研究存在性与任意性专题

利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题 [典例］设ｆ(x)=e x－a(x＋１). (１)若?x∈Ｒ,ｆ(x)≥0恒成立,求正实数a得取值范围; (2)设g(ｘ)=f(x)+a eｘ ,且A(x1,y1),Ｂ(x2,y2)(x１≠x２)就是曲线ｙ＝g(x)上任意两点, 若对任意得ａ≤－1,直线AＢ得斜率恒大于常数m,求m得取值范围、［解］(1)因为f(x)＝e x－a(ｘ＋1), 所以f′(x)=e x—ａ、 由题意,知a＞0, 故由f′(x)=e x－ａ=0, 解得x＝lｎa。 故当ｘ∈(－∞,ln a)时, f′(x)＜０,函数f(ｘ)单调递减; 当ｘ∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0,函数ｆ(x)单调递增、 所以函数f(x)得最小值为f(lnａ)=e ln a—a(ln a＋1)=-a ln a。 由题意,若?x∈R,f(x)≥0恒成立, 即f(x)=e x—a(x+1)≥0恒成立, 故有—ａlｎa≥0, 又a＞０,所以ln a≤0,解得0＜ａ≤1、 所以正实数a得取值范围为(0,１]. (2)设x１,x2就是任意得两个实数,且x1＜x２。 则直线AB得斜率为k=g x2－g x1 x2-ｘ1 , 由已知k>m, 即g x2—g x１ x2－x1 ＞m. 因为ｘ2—x１＞0, 所以ｇ(ｘ2)－g(x１)>m(x２—x１),

即g(ｘ2)—mx2〉g(ｘ1)-mx1. 因为x10), 则ｈ′(x)＝x+3x-1 x2、

导数计算练习习题

欢迎阅读 导数计算练习题 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、 y A ．3x 4A ．15、若 A ．06、y A ．2C ．27A ．(8A ．()sin f x 'B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 9、（理科）函数()2 2423y x x =-+的导数是（） A ．()2823x x -+B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+-

10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A ．0,2π??????B ．30,,24πππ????????????C ．3,4ππ??????D ．3,24ππ?? ??? 122 131415(5)y =(6)y =(7)y =16（1）（2）（3）（4）（5）2 1x +（6）232x y x x =- - 17、求下列各函数的导数 （1）sin cos y x x x =+ （2）1cos x y x =-

（3）tan tan y x x x =- （4）5sin 1cos x y x =+ 18、（理科）求下列各函数的导数 （1）25(1)y x =+ （2）2(23y x =+ （3）(4)y (5)y =(6)y =(7)y =(8)y =(9)y =(10)y (11)y

导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数压轴题型第6讲 恒成立与存在性问题(mathtype WORD精编版)

一、 恒成立与存在性 函不等式恒成立问题的转化技巧 (1)()a f x ≥(或()a f x ≤)恒成立?()max a f x ≥(或()min a f x ≤)； (2)()a f x ≥(或()a f x ≤)有解?()min a f x ≥(或()max a f x ≤)； (3) ()()f x g x ≥恒成立?()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-()，也可证其加强命题 ()()min max f x g x ≥ (4)()()f x g x ≥有解?()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-)． (5) ()()f m g n ≥恒成立?()()min max f x g x ≥ (6)()a f x =有解，则a 的范围是()f x 的值域 1. 恒成立常见处理方法 (1) 参变分离 若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->，则p 的取值范围是((((() A ． (]0,1((((B ．()1,+∞((((C ．()0,1(((D ．[)1, +∞ 【答案】D 【解析】 法一：最值理论 ()ln 10h x x px =-+≤恒成立 令()()1'00px h x x x -=>=，则1 0x p =>， 故()h x 在110, ,,p p ???? ↑+∞↓ ? ?? ??? ， 故只需1ln 0h p p ?? =-≤ ??? ，故1p ≥ 法二：分离参数

()ln 1x p g x x +≥ =，令()2ln '0x g x x -==，则1x =，()()0,1,1,↑+∞↓ 故 ()11p g ≥= 法三：二级结论 ln 1x x ≤-恒成立，则当1p ≥时，ln 11x x px ≤-≤- 法四：特殊值探路 ()ln 10x px p ≤->对于0x ?>恒成立 当1x =时，1p ≥ 又11ln px x x -≥-≥成立 【考点】恒成立(最值理论，分类参数均可) 已知函数()(x e f x mx e x =-为自然对数的底数)，若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是((((() A ．(,2)-∞(((( B ．2 (,)4e -∞((((C ．(,)e -∞((((D ．2,4e ??+∞ ??? 【解答】解：若()0f x >在(0,)+∞上恒成立， 则2x e m x <在(0,)+∞恒成立， 令2()x e h x x =，(0)x >， 3 (2)()x e x h x x -'=， 令()0h x '>，解得：2x >， 令()0h x '<，解得：02x <<， 故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 故()min h x h =(2)2 4 e =， 故2 4e m <， 故选：B ． 【考点】分离参数

导数练习题(含答案)

导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 222()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线3 2153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为

导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

导数的计算练习题及答案.doc

【巩固练习】 一、选择题 1．设函数 f (x) (1 2x 3 )10 ，则 f '(1) （ ） A ．0 B ．―1 C ．― 60 D ． 60 2．（ 2014 江西校级一模）若 f (x) 2ln x x 2 ，则 f ' ( x) 0 的解集为（ ） A.(0,1) B. , 1 U 0,1 C. 1,0 U 1, D. 1, 3．（ 2014 春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A. 3x 2 ' 6x sin x B. ln x 2 x ' 1 x ln 2 cos x 2 x ' sin x ' x cos x sin x C. 2sin 2x 2cos2x D. x x 2 4．函数 y x 4 5 的导数是（ ） 3x 8 A ． 5 B ．0 C ． 5(4 x 3 3) D ． 5(4 x 3 3) 4x 3 3 ( x 4 3x 8) 2 (x 4 3x 8) 2 5 ．（ 2015 安 徽 四 模 ） 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ， 且 满 足 关 系 式 f ( x) x 2 3xf ' (2) ln x ，则 f '(2) 的值等于（ ） A. 2 C. 9 D. 9 4 4 x 1 ( x 6．设曲线 y 1) 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ） x 1 A ．2 B ． 1 C ．―1 D ．―2 2 2 7． y log 3 cos 2 x (cos x 0) 的导数是（ ） A ． 2log 3 e tan x B ． 2log 3 e cot x C ． 2log 3 e cos x D ． log 2 e cos 2 x 二、填空题 8．曲线 y=sin x 在点 ,1 处的切线方程为 ________。 2 9．设 y=(2x+a) 2，且 y ' |x 2 20 ，则 a=________。 ． x 3 1 ____________， 2x sin 2x 5 ____________。 10 sin x 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y=x 3― 10x+3 上，且在第二象限内，已知曲

用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．

5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．

导数高考常见题型

导数的应用常见题型 一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1-1x x x ≤≤ 2、常见函数图像 二、选择题中的函数图像问题 (一)新型定义问题 对与实数,a b ，定义运算“*”：a *b=22,,a ab a b b ab a b ì-??í?->?,设()(21)*(1)f x x x =--且关于x 的方程()()f x m m R =?恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围为 （二）利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ） A 、(2,)+? B 、(,2)-? C 、(1,)+? D 、(,1)-? ②设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e ，1） 三、导数与单调性

实质：导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路：①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或] ②求解0)('=x f ，分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 (一)分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(，讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( （Ⅰ）证明：)(x f 在(-∞，0)单调递减，在(0,+∞+)单调递增； （Ⅱ）若对于任意]1,0[,21∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围 （二）根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=，试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(，其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数，讨论)(x g 的单调性

导数历届高考试题精选含答案

导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞)

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

导数练习题含答案

导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2 －1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4 ＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2 ＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝ －x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切 线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的 切线倾斜角为 π 4 的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(1 4 ，116) D ．(1 2 ，1 4 ) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线 方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( ) A ．4 B.19 C ．－1 4 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x x ＋32 D.3x 2 ＋6x x ＋32 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)