必修4三角函数的图像与性质
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.能熟练运用“五点法”作图.
学习重点：运用“五点法”作图
学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象
学习过程：
一、情境设置
遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？
二、探究研究
问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.
问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？
问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？
问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？
问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲
例1：用“五点法”画下列函数的简图
(1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0
思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？
四、巩固练习
1、在[0,2π]上,满足
1
sin
2
x≥的x取值范围是( ).
A. 0,
6
π
??
??
??
B.5,
66
ππ
??
??
??
C.2,
63
ππ
??
??
??
D.5,
6
π
π
??
??
??
2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象.
3、结合图象，判断方程x
sinx=的实数解的个数.
五、课堂小结
在区间]
2,0
[π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到.
六、当堂检测
1、观察正弦函数的图象，以下4个命题：
（1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是
A、（1）、（2）
B、（1）、（3）
C、（1）、（4）
D、（2）、（3）（）
2、对于下列判断：
（1）正弦函数曲线与函数)2
3cos(
x y +=π
的图象是同一曲线； （2）向左、右平移π2个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数； （3）直线2
3π
-=x 是正弦函数图象的一条对称轴； （4）点)0,2
(π
-
是余弦函数的一个对称中心.
其中不正确的是 A 、（1） B 、（2） C 、（3） D 、（4） （ ） 3、（1）x y sin =的图象与x y sin -=的图象关于 对称； （2）x y cos =的图象与x y cos -=的图象关于 对称.
4、（1）把余弦曲线向 平移 个单位就可以得到正弦曲线；
（2）把正弦曲线向 平移 个单位就可以得到余弦曲线.
5、画出1cos 3+=x y 的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.
七、课后作业
教材P46 A 组 第1题
)
6-x 21cos(2y π=)4
x 2x sin(y +-=2
π==)6
17f (1)3
f (ππ则
§1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性
学习目标：1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期.
学习重点：周期函数的定义，最小正周期的求法. 学习难点：周期函数的概念及应用. 学习过程： 一、情境设置
自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、探究研究
问题1：观察下列图表
问题1：.如何给周期函数下定义？
周期函数的定义
问题2：判断下列问题： （1）对于函数y=sinx x ∈R
有4sin )24sin(π
ππ=+成立，能说
2
π
是正弦函数y=sinx 的周期？
（2）2)(x x f =是周期函数吗？为什么？
（3）若T 为)(x f 的周期，则对于非零整数)(,Z k kT k ∈也是 )(x f 的周期吗？
问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
问题4：最小正周期的含义；求x x f x x f cos )(,sin )(==的最小正周期？
三、例题精讲
例1: 求下列函数的最小正周期：
（1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin(2)(π
-=x
x g
变式训练: 1. ⑴求
)2cos()(x x f -=
⑵)6
2sin(2)(π--
=x x g 的周期
问题5：观察以上周期的值与解析式中x 的系数有何关系？
结论：函数ω?ω）（（）
（+=x sin x f A >0)的周期为 四、巩固练习
1、求下列函数的周期：
（1）函数sinx 3y =的周期是___________________________. （2）函数sinx 3y +=的周期是_________________________. （3）函数y cos2x =的周期是___________________________.
（4）.函数 的周期是______________________. （5）.函数 的周期是________________________. 2.函数y Asin(x )y Acos(x )ω?ω?=+=+或的周期与解析式中的____无关，其周期为_____.
3. 函数)04
x sin x f >+
=ωπ
ω）（（）（的周期是
3
2π
则ω=____________ 4.若函数f(x)是以 为周期的函数，且
5.画出函数x sin f (x)=的图像并判断是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？
五、小结反思
对周期函数概念的理解注意以下几个方面：
(1))()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 值，T x +仍在定义域内且使等
式成立. (2)周期T 是常数，且使函数值重复出现的自变量x 的增加值.
(3)周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.
六、当堂测评：
1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为 （ ） A 、
a π B 、||a π C 、a π2 D 、|
|2a π
2、函数1)3
4
cos(2)(-+=ππk x f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（ ） A 、13 B 、12 C 、11 D 、10 3、求下列函数的最小正周期：
（1）=-=T x
y ),2
3sin(ππ .
（2）=+=T x y ),6
2cos(π
π .
4、已知函数)3
sin(2π
ω+=x y 的最小正周期为3
π，则=ω .
5、求函数的周期：
（1）x y cos 2
1= 周期为： .
（2）4
3sin x y = 周期为： .
（3）x y 4cos 2= 周期为： . （4）x y 2sin 4
3= 周期为： .
6、试画出函数y=sin x 的图像，函数y=sin x 是周期函数吗？如果是，则周期是多少？
7、已知函数)0(,1)6
3sin(
3≠+--=k x k y π
，求最小正整数k ，使函数周期不大于2；
七、课后作业
教材P46 A 组 第3、10题
§1.4.3 正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.
2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题.
学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性.
学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值.
学习过程：
一、情境设置
在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？
二、探究研究
问题1.观察y=sinx, y=cosx (x∈R)的图象，你能得到一些什么性质？
问题2.分别列出y=sinx, y=cosx (x∈R)的图象与性质
例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x的集合
(1)
3
cos
x
y= (2)x
y2
sin
2-
=
练习1：（1）若)
3
cos(
x
y-
=呢？（2）若|
2
sin
|
2x
y-
=呢？
例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
（1）)
18
sin
π
-
（与)
10
sin
π
-
（ (2) )
5
23
cos
π
-
（与)
5
17
cos
π
-
（
练习2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
（1）0
250
sin与0
260
sin (2) )
5
23
cos
π
-
（与)
5
17
cos
π
-
（（3）0
cos515与0
cos530（4）)
7
54
sin
π
-
（与)
8
63
sin
π
-
（
例3:判断下列函数奇偶性
（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx
练习3：判断下列函数的奇偶性：
⑴x
x
x
f cos
|
sin
|
)
(?
=：；
⑵x
x
x
f+
=3
tan
)
(：
π5
4sin π45cos -π532
sin
π125cos ⑶
x x x f cos )(+=： .
例4 .求)3
21sin(π
+=x y ，[]ππ2,2x -∈的单调增区间
练习4：（1）求)32cos(π+=x y ，[]π2,0x ∈的单调增区间
（2）求)32sin(π
+-=x y 的单调增区间
四、巩固练习
1、.函数y=sinx,当12
y ≥时自变量x 的集合是_________________.
2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________
， ， ， 3、.函数x 2sin 2y =的奇偶数性为（ ）.
A.奇函数
B.偶函数 C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
4、下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）. A. sinx y = B. y=x 2sin C.
cosx y = D.x 2cos y =
5、函数[]π2,0x cosx,3
2
y ∈-
=，其增区间为 .减区间为 .
五、小结反思：
⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.
⑵结合图象解题是数学中常用的方法. 六、当堂测评：
1、设z k ∈，则三角函数x y 2sin =的定义域是（ ）
A 、πππ+≤≤k x k 22
B 、2
π
ππ+
≤≤k x k C 、2
22π
ππ+
≤≤k x k D 、πππ+≤≤k x k
2、在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是（ ）
A 、2sin
x y = B 、x y 21cos = C 、4
sin x
y -= D 、x y 2sin = 3、已知函数x y cos 1-=，则其单调增区间是 ； 单调减区间是 。
4、 求下列函数的单调增区间：
（1）)24
sin(2x y -=π
（2）x y 2cos =
七、课后作业
教材P46 A 组 第2、4、5题
）
（2
,0π
§1.4.3 正切函数的图象与性质
学习目标：1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题.
2.能借助正切函数的图象探求其性质.
学习重点：运用三角函数的图象与性质解题 学习难点：正切函数的单调性 学习过程：
一、 情境设置
问题1. 在单位圆中如何定义正切线的？
问题2. 回忆x y sin =图象的由来，你能通过正切线作x y tan = ??
?
??-∈2,2ππx 的图象吗？
二、探究研究 新知1：正切曲线
问题3.
观察x y tan =的图象，你能得到x y tan =的一些怎样性质？ 新知2：正切函数的性质
（1）定义域 (2)值域 (3)最小正周期
(4)单调性
三、例题精讲 例1：求tan()23
y x π
π
=+的定义域、周期和单调区间
变式训练：（1）求tan3y x =的定义域、周期和单调区间
(2)、函数tan()(0)6
y ax a π
=+≠的周期为（ ）.
A ．
2a π B ．2a π C ．a
π D ．a π 例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围
①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x >
四、巩固练习
1、tan (,)2
y x x k k Z π
π=≠+
∈在定义域上的单调性为（ ）.
A ．在整个定义域上为增函数
B ．在每一个开区间(,
)()22
k k k Z π
π
ππ-
++∈上为增函数
C ．在整个定义域上为减函数
D ．在每一个开区间(2,2)()2
2
k k k Z ππππ-++∈上为增函数
2、下列各式正确的是（ ）.
A.1317tan()tan()45ππ-<-
B.1317tan()tan()45ππ->-
C.1317tan()tan()45ππ-=-
D.大小关系不确定
3、直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.
A ．π
B ．
2πω C ．π
ω
D ．与a 值有关 4、与函数tan(2)4
y x π
=+
的图象不相交的一条直线是（ ）.
A ．2x π
= B ．2y π= C ．8x π= D ．8
y π= 五、小结反思：
（1）作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即)1,4
(),1,4(),0,0(π
π
-- 和 直线2
π
-
=x 及2
π
=
x ，然后根据周期性左右两边扩展.
（2）正切函数的定义域是},2
|{z k k x x ∈+
≠π
π，所以它的递增区间为
z k k k ∈+
-
),2
,2
(π
ππ
π
六、课后作业：
1、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）
A 、
31 B 、32 C 、π6 D 、π
3 2、函数)4
tan(
x y -=π
的定义域是（ ）
A 、{R x x ∈|且4π
-
≠x } B 、{R x x ∈|且43π
≠
x }
C 、{R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}
D 、{R x x ∈|且z k k x ∈+
≠,4
3π
π} 3、下列函数不等式中正确的是（ ）.
A ．43tan
tan 77ππ> B ．23
tan tan 55ππ< C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312
tan()tan()45
ππ-<-
4、在下列函数中，同时满足：①在0,
2π?
?
??
?
上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ）. A ．tan y x = B ．cos y x = C ．tan
2
x
y = D ．tan y x =- 5、函数
310cos ,136sin ,224tan 的大小关系是（用不等号连接）： . 6、函数x y tan =
的定义域是 .
7、求函数tan()26
x y π
=-的单调区间。
8、确定函数)23
tan(
x y -=π
的单调区间.
§1.5.1 函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质（1） 学习目标: 1.了解)sin(?ω+=x A y 的实际意义，会用五点法画出函数)sin(?ω+=x A y 的简图.
2.会对函数x y sin =进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.
学习重点：五点法画)sin(?ω+=x A y 的简图和对函数x y sin =的三种变换. 学习难点：函数x y sin =的三种变换.
学习过程： 一、情境设置
1.物体作简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为)sin(?ω+=x A s )0,0(>>ωA ，其中振幅是 , 周期是 ,频率是 ,相位为 ,初相是
2. 函数sin()y A x ω?=+的图象与x y sin =有何关系?
二、探究研究
1. 在同一坐标系中,画出x y sin =,)4
sin(π
+
=x y ,)4
sin(π-=x y 的简图.
问题1. )4
sin(π
±
=x y 与
x y sin =的图象有什么关系?
结论1：一般地,函数)sin(?+=x y 的图象可以看做将函数x y sin =的图象上所有的点向 平
移 个单位长度而得到的.
问题2.x y x y sin 3
1
,sin 3==与
x y sin =的图象有什么关系?
结论2： 一般地,函数)1,0(sin ≠>=A A x A y 的图象可以看做将函数x y sin = 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 而得到的.
问题3. x y x y 2
1sin ,2sin ==与x y sin =的图象有什么关系?
结论3： 一般地,函数)1,0(sin ≠>=ωωωx y 的图象可以看做将函数x y sin = 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 而得到的.
问题4.函数)sin(
?ω+=x A y )0,0(>>ωA 的图像可由函数x y sin =的图像经过怎样的变化得来？ 例1：3sin(2) .3
y x π
=+
作函数的简图
结论4：函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA 的图像，可由函数x y sin =的图像用下面的步骤变化得到： 第一步 第二步 第三步 第四步 三、教学精讲 例2: 叙述
x y sin =到)4
sin(2π+=x y 的变化过程.
例3: 叙述x y sin =到x y 2sin 2
1=的变化过程.
练习1: ①)3
sin(π
+
=x y 向_______平移_______个单位得到
x y sin =
②)3
sin(π
-=x y 向_______平移_______个单位得到)3
sin(π
+=x y
③)(x f y =向右平移
2
π个单位得到)4
sin(π
+=x y ,求
)(x f
3
π
14sin()23
y x π=-)32sin(4π-=x y )321sin(4π+=x y 12
x π
=
12
7x π=
)3sin(x 21y π+=)3
sin(2x 2y π+=)6sin(2x 2y π+=)62x sin(2y π+=3
π
6π)3
2sin(4π+=x y 例4：求函数)6
2sin(π
-=x y 的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象
四、巩固练习
1、把函数x x f sin 3
1
)(=的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得)(x g 的
图象，则=)(x g A 、x sin 9
1 B 、3sin 31x
C 、x 3sin 31
D 、x sin （ ）
2.下列命题正确的是( ). A. cosx y =的图象向左平移sinx y 2
=得π
的图象
B. sinx y =的图象向右平移
cosx y 2
=得π
的图象
C. 当?<0时，sinx y =向左平移?个单位可得)sin(x y ?+=的图象
D. x 2sin y )3x 2sin(y =+=的图象由π
的图象向左平移6
π个单位得到
3.函数)3
x 2sin(3y π
+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换而得到（ ）.
A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21
，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移
3π个单位，横坐标缩小到原来的2
1
，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的3
1 D.向左平移
6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的3
1
五、小结反思：
)sin(?+=x y
函数x y sin =的图象 振幅变换x A y sin =
周期变换x y ωsin =
六、自我测评：
1、将函数2
sin 2x
y =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，
那么新函数的解析式为 （ ）
A 、2sin
4x y = B 、2sin x y = C 、4
sin 2x
y = D 、x y 2sin = 2.把y=sinx 的图象上各点向右平移 单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大
到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（ ）.
A. B. C. D. 3.已知函数）＋?ωx sin(y A =，在一个周期内，当 时，取得最大值2，当 时取得最小值-2，那么（ ）.
A. B. C. D. 4.将函数x)sin(y -=的图象向右平移 个单位，所得到的函数图象的解析式是
____________________；将函数x)2cos(y -=的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象的解析是____________________.
5、将函数x y 34sin 43=
的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的2
1
倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是 ，周期是 .
6、函数)3
3sin(51π
-=x y 的定义域是 ，值域是 ，
周期 ，振幅 ，频率 ，初相 .
7、用“五点法”列表作出下列函数一个周期的图象：
（1）)42cos(π-=x y ； （2）)3
32cos(2π
+=x y
)
sin(?ω+=x A y
§1.5.2 函数
)sin(?ω+=x A y 的图象与性质（2）
学习目标: 1.熟练掌握由x y sin =到K x A y ++=)sin(?ω的图象的变换过程.
2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.
学习重点： 图象的变换过程.
学习难点： 作出振幅变换，相位变换，周期变换相结合的图形，并求出解析式. 学习过程： 一、情境设置
函数1)3
2sin(2++=π
x y 的图象可以由
x y sin =经过变换得到吗？
二、探究研究
在同一直角坐标系中用五点法作x y 2sin =与)3
2sin(π
+=x y 的一个周期图象.
问题1.它们两个图象的关系是什么?
问题2：函数)0,0)(sin(≠>+=?ω?ωx y 的图象和x y ωsin =的图象有怎样的关系。
三、教学精讲 例1：（1）将函数
x y cos =的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平
移
3
π
个单位得到)(x f y =的图象，则___________
)(=x f . （2）把函数)3
3cos(π
+
=x y 的图象向_____平移_______个单位可得到
)3sin(x y -=的图象
例2:已知函数)20,0,0)(sin(π?ω?ω<<>>+=A x A y 图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低
点为（8，-3），求该函数的解析式.
练习1：若函数)20,0,0)(sin(π?ω?ω<<>>+=A x A y 的最小值为-2，周期为
3
2π，且它的图象过点（0，2
-
），
求此函数的表达式。
四、巩固练习
1.函数)3
x 2sin(3y π
+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的
是（ ）.
A.向右平移3
π个单位 B.向左平移3
π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6
π
个单位
2.已知函数)x Asin(y ?ω+=（A >0，ω>0，0<π?<）的两个邻近的最值点为（26
，π）和（23
2-，π
）
，则这个函数的解析式为____________________. 3. 下列命题正确的是( ). A. cosx y =的图象向左平移sinx y 2
=得π
的图象
B. sinx y =的图象向右平移
cosx y 2
=得π
的图象
C. 当?<0时，sinx y =向左平移?个单位可得)sin(x y ?+=的图象
D. x 2sin y )3
x 2sin(y =+=的图象由π
的图象向左平移6
π个单位得到
4.已知函数)Asin(
y ?ω+=(A >O, ω>0,?<π)的最小正周期是3
2π
，最小值是-2，且图象经过点（
09
5，π
），求这个函数的解析式.
2
五、小结反思 ：
x y sin =
到k x A y ++=)sin(
?ω的变换流程图. k x A x A y x y x y x y ++→+=→+=→+=→=)sin()sin()sin()sin(sin ?ω?ω?ω?
六、自我测评：
1、把函数x y sin =的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移3
π
个单位，则所得图象对应的函数是 （ ）
A 、1)9
3
sin(3-+=πx y B 、3)9
3
sin(3-+=πx y C 、1)3
3sin(3-+=πx y D 、3)9
3sin(3-+=π
x y
2、要得到x y 21sin =的图象，只需将函数)3
2
1sin(π
-=x y 的图象 （ ）
A 、向左平移
3π B 、向右平移3π C 、向左平移32π D 、向右平移3
2π
3.函数)3
x 2sin(3y π
+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换而得到（ ）.
A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21
，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移
3π个单位，横坐标缩小到原来的2
1
，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移
6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的3
1 D.向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的3
1
4、函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωA t A S 表示一个振动量，其中振幅是21
，频率是
π23，初相是6
π，则这个函数为 。
5.函数)2
5x 2sin(y π
+
=的图象的对称轴方程为____________________. 6.函数Q)5x 2sin(3f(x)+=的图象关于y 轴对称，则Q 的最小值为________________.
6、已知函数)0,0)(sin(
>>+=ω?ωA x A y 的图象最高点为??
?
??3,3
π
，由此最高点到相邻最低点的，图象与x 轴的交点为??
?
??0,2
π
。求此函数的一个表达式.
7、设函数).2
||,0()sin(π
??ω<>++=A b x A y 在同一周期内，当3
5π=
x 时，y 有最大值为37
；当
311π=
x ，y 有最小值3
2
-。求此函数解析式.
8、函数sin()(0,0,||)2
y A x A π
ω?ω?=+>><
的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐
标差是3π,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.
§1.6.1 三角函数的应用（1） 总第14课时
执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日
学习目标：1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的
重要数学模型。
2、熟悉数学建模的方法与步骤.
学习重点：函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。 学习难点：建立三角函数的模型。 学习过程：
一、情境设置
三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。
二、探究研究
问题1一半径为3cm 的水轮如图所示，水轮圆心o 距离水面2m ，设角)02
(<<-?π
?是以
ox 为始
边，op 0为终边的角，求?。
解析：设3).2,(00=-r x p
∴3
2
sin -==γ?y
∵02
<<-
?π
∴73.0-≈?
问题2. 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中P 0）开始计算时间，将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数。
问题3. 点P 第一次到达最高点大约要多长时间？
三、教学精讲 例1：在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。
⑴求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系。
⑵求该物体在t=5s 时的位置。
例2. 某城市一年中12个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。已知6月份的月平均气温最高，为29.45℃，12月份的月平均气温最低，为18.3℃。求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。
四、巩固练习
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.
3、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24
经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（
）
A ．123sin
,
[0,24]6t
y t π=+∈ B ．123sin(
),[0,24]6t
y t ππ=++∈
C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈
D ．123sin(),[0,24]122
t y t ππ
=++∈
五、小结反思
1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉k wx A y ++=)sin(?的性质。
x
O A
??概括
抽象，
2、
六、自我测评：
1、受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y （米）是时间,240(≤≤t t 单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是该港口在某季节每天水深的数据：
经长期观察，)(t f y =曲线可以近似地看做函数k t A y +=ωsin 的图象。
⑴根据以上数据，求出函数)(t f y =近似表达式。
⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（航底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
2、如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(
?ω的图象。
⑴求这段时间的最大温差；
⑵写出这段曲线的函数解析式。
∴
3、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4
元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
§1.6.2 三角函数的应用（2） 总第 15课时
执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日
学习目标：1、能准确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，来解决实
际问题.
2、体会生活即数学的意义.
学习重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题. 学习难点：实际问题中陌生的背景，复杂的数据处理. 学习过程：
一、情境设置
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航区，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数.
30
20
10
O
68101214)
(C y ?温度)
(时时间x 还原
二、探究研究
问题1. 观察下表的数据，作出散点图，观察图形，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？
问题2. 根据所得的函数模型，求出整点时的水深。
问题3一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口待多久？
问题4若船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m 的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
三、教学精讲 例1：某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min ，低潮时入口处水的深度为2.8m ，高潮时为8.4m ，一次高潮发生在10月3日2:00。
（1）若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这 个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
（2）求10月5日4:00水的深度；
（3）求10月3日吃水深度为5m 的轮船能进入港口的时间。
例2. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是t A I ωsin =，[)+∞∈,o t ，设πω100=，A=5。
⑴求电流I 变化的周期和频率； ⑵当50
1,2003,1001,2001,
0=t 时，求电流I 。 ⑶画出电流I(A)随时间t(s)变化的函数图象。
四、巩固练习
1、课本第65页练习
三角函数的图像与性质
第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z)
[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 三角函数公式 （一）同角三角函数的基本关系式 （1）平方形式：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）倒数形式：sinα/cosα＝tanα （二）诱导公式 （1）sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α (其中k ∈Z) （2）sin （2k π－α）＝－sin α cos （2k π－α）＝cos α tan （2k π－α）＝－tan α (其中k ∈Z) （3）sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tan α （4）sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tan α （5）sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α （6）sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α （7）sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α （8）sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α （9）sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α (三) 两角和与差的三角函数公式 （1）sin （α＋β）＝sin αcosβ＋cos αsinβ （2）sin （α－β）＝sin αcosβ－cos αsinβ （3）cos （α＋β）＝cos αcosβ－sin αsinβ （4）cos （α－β）＝cos αcosβ＋sin αsinβ （5）tan （α＋β）＝ tanα+tanβ1－tanαtanβ （6） tan （α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ （四）二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1）sin2α＝2sin αcos α （2）cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α （3）tan2α= 2tan α/（1－tan 2α） （五）三角函数的降幂公式 （六）半角的正弦、余弦和正切公式 (七)（辅助角的三角函数的公式） (八)正、余弦定理公式及其变形 ● a sinA =b sinB =c sinC =2R （R 为△ABC 的外接圆的半径） ● a 2=b 2+c 2-2bccosA ● b 2= a 2+ c 2-2accosB ● c 2= b 2+ a 2-2abcosC （ⅰ) sinA=a 2R ，sinB=b 2R ，sinC=c 2R （ⅱ）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （ⅲ）a:b:c=sinA: sinB: sinC （ⅳ）asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA （九）常用的三角形面积公式 （ⅰ) S=12 absinC=12 acsinB=12 bcsinA （ⅱ）S =12 (a+b+c)r (r 为△ABC 的内切圆的半径) （ⅲ）S=abc 4R （R 为△ABC 的外接圆的半径） （十）利用余弦定理判断三角形的形状 （ⅰ)在△ABC 中，若a 2﹤b 2+c 2，则0°﹤A ﹤90°；反之，若0°﹤A ﹤90°，则a 2﹤b 2+c 2。 （ⅱ）在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2，则A=90°；反之，若A=90°，则a 2=b 2+c 2。 （ⅲ）在△ABC 中，若a 2﹥b 2+c 2，则90°﹤A ﹤180°；反之，若90°﹤A ﹤180°，则a 2﹥b 2+c 2。 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 高中数学必修四三角函数重要公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 三角函数性质与图像 备注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．． . 函数sin()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,222 k k ππππ??-++?? ? ? ???→变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω π 2=T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2 π k ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1π2sin()2 3 y x =+的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是]65,3[π π 5．函数2 2cos()()363 y x x πππ=-≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)62sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象 上所有点向左平移3π 个单位，所得图象的解析式是y=sin(21x+6 π). 8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x + 32 5 （x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3 π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12ππ-,k π+125π], [k 125ππ+,k π+12 11π ]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,(0,6 2π π+k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()32 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ?????? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)23 y x π π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2π，2k π＋2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知?? ? ???∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域y=2sin （x+6π）?? ? ?? 2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π-x ) 数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]， cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos 1．函数 f (x )＝sin 2x ＋3?图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝ D ．x ＝ 2．函数 y ＝sin x ＋3?cos 6－x ?的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π B. ，π C ．1， D ．1,2π 3.函数 y ＝2sin x －4?cos 4－x ?是( C ) A ．[－1,1] B ．[－ ，－1] C ．[－ ，1] D ．[－1， ] A ．f(x)在( ， )上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 A ．k π (k ∈Z) B ．k π ＋π (k ∈Z)C ．k π ＋ (k ∈Z) D ．k π － (k ∈Z) [2k π + ,2k π + ](k ∈ z ) __________________. 高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质） ? π? ? ? 5π π π π 12 3 6 12 ? π? ?π ? ? ? ? ? 1 π 2 2 ? π? ?π ? ? ? ? ? A ．周期为 2π 的奇函数 B ．周期为 π 的奇函数 C ．周期为 π 的偶函数 D ．周期为 π 的非奇非偶函数 4．函数 y ＝sin2x ＋sinx －1 的值域为(C ) 5 5 5 4 4 4 5．对于函数 f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B ) π π 4 2 C ．f(x)的最小正周期为 2π D ．f(x)的最大值为 2 6．函数 f(x)＝ 3cos(3x －θ )－sin(3x －θ )是奇函数，则 θ 等于( D ) π π 6 3 3 7. 若 f (sin x )＝3－cos2x ，则 f (cos x )＝（ C ） A 、3－cos2x 8.函数 f ( x ) = x sin( x - 5 π 2 B 、3－sin2x C 、3＋cos2x D 、3＋sin2x ) 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 9. 在 (-π , π ) 内是增函数, 且是奇函数的是( A ) . x x x A. y = sin B. y = cos C. y = - sin D. y = sin 2 x 2 2 4 1 ． 函 数 y = 2s x i - 1 n 的 定 义 域 是 _______ π 5π 6 6 2.函数 y = a + b sin x (b > 0) 的最大值是 3 ，最小值是- 1 ，则a ＝_____ 1 ， 2 2 2 1 / 2 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 高中数学必修4重点公式与解题技巧公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切； 四余弦”。 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 其他三角函数关系： ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 必修4常用公式手册 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα 公式六：2π±α及32π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2 π+α)＝cosα sin(2π-α)＝cosα sin(32π＋α)＝－cosα sin(32π－α)＝－cosα cos(2π +α)＝－sinα cos(2π-α)＝sinα cos(32π＋α)＝sinα cos(32π－α)＝－sinα 1.同角三角函数的基本关系式 商的关系： sin tan cos ααα ＝ 平方关系：221sin cos αα＋＝ 2211tan cos αα =+ ⒉两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin αβαβαβ（＋）＝＋ s in sin cos cos sin αβαβαβ（－）＝－ ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式 21cos sin ()22αα-= 21cos cos ()22αα+= 21cos tan ()21cos ααα-=+三角函数图像与性质知识点总结
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