2020高考理科数学冲刺—中档大题满分练三
1．(本小题满分12分)(2019山东济南3月模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为
a ,
b ,
c ,2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ,B ＝2π
3
,c ＝ 3.
(1)求角C ；
(2)若点E 满足AE →＝2EC →
,求BE 的长．
1．解：(1)(方法一)由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A , 又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C)＝sin (π－B)＝sin B ,∴2sin B sin C ＝sin B.
由于sin B ＝32≠0,则sin C ＝1
2.又∵0＜C ＜π3,∴C ＝π6
.
(方法二)由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2
－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 2
2bc
,
化简得2b sin C ＝b.因为b ＞0,∴sin C ＝1
2
.
又∵0＜C ＜π3,∴C ＝π
6
.
(方法三)由题设2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ,
结合射影定理b ＝a cos C ＋c cos A ,化简可得2b sin C ＝b.
∵b ＞0,∴sin C ＝1
2.又∵0＜C ＜π3,∴C ＝π6
.
(2)(方法一)由正弦定理易知b sin B ＝c
sin C ＝23,解得b ＝3.
又∵AE →＝2EC →
,∴AE ＝23AC ＝23
b, 即AE ＝2.
在△ABC 中,∵∠ABC ＝2
3π,C ＝π6,∴A ＝π6,
∴在△ABE 中,A ＝π
6,AB ＝3,AE ＝2, 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB·AE cos π
6
＝
3＋4－2×3×2×
3
2
＝1, ∴BE ＝1.
(方法二)在△ABC 中,∵∠ABC ＝2
3π,C ＝π6,∴A ＝π6
,a ＝c ＝ 3.
由余弦定理得b ＝（3）2＋（3）2－2×3×3×cos 2
3
π＝3.
因为AE →＝2EC →
,∴EC ＝13AC ＝1.在△BCE 中,C ＝π6
,BC ＝3,CE ＝1.
由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC·EC cos π
6
＝
3＋1－2×3×1×
3
2
＝1, ∴BE ＝1.
(方法三)在△ABC 中,∵B ＝2
3π,C ＝π6,∴A ＝π6
,a ＝c ＝ 3.
∵AE →＝2EC →,∴BE →＝13BA →＋23
BC →,
则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →2|＋4BA →·BC →＋4|BC →
|2)＝19(3－4×3×3×12
＋4×3)＝1,
∴BE ＝1.
2．(本小题满分12分)(2019北京人大附中信息卷)如图,在三棱锥P －ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AC ⊥BC ,H 为PC 的中点,M 为AH 的中点,PA ＝AC ＝2,BC ＝1.
(1)求证：AH ⊥平面PBC .
(2)求PM 与平面AHB 所成角的正弦值．
(3)在线段PB 上是否存在点N ,使得MN ∥平面ABC ？若存在,请说明点N 的位置；若不存在,请说明理由．
2．(1)证明：∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC.又∵AC ⊥BC ,PA ∩AC ＝A , ∴BC ⊥平面PAC.∵AH ?平面PAC ,∴BC ⊥AH. ∵H 为PC 的中点,PA ＝AC ,∴AH ⊥PC. ∵PC ∩BC ＝C.∴AH ⊥平面PBC.
(2)解：在平面ABC 中,作AD ∥BC ,∵BC ⊥平面PAC.∴AD ⊥平面PAC ,由PA ⊥底面ABC ,得PA ,AC ,AD 两两垂直,∴以A 为原点,AD ,AC ,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立
空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),H(0,1,1),M(0,12,1
2
),
∴AH →＝(0,1,1),AB →＝(1,2,0),PM →
＝(0,12,－32
)．
设平面ABH 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),
则?????n ·AB →＝x ＋2y ＝0，n ·
AH →＝y ＋z ＝0，取n ＝(2,－1,1)．
设PM 与平面AHB 所成角为θ,则sin θ＝|cos 〈n ·PM →
〉|＝||n ·PM →||n ||PM →||＝
26×104
＝
215
15
. ∴PM 与平面AHB 所成角的正弦值为215
15
.
(3)解：假设在线段PB 上存在点N ,使得MN ∥平面ABC . 设PN →＝λPB →,PB →＝(1,2,－2),∴PN →
＝(λ,2λ,－2λ),
∴MN →＝PN →－PM →
＝(λ,2λ－12,－2λ＋32
)．
∵MN ∥平面ABC ,平面ABC 的法向量为AP →
＝(0,0,2),
∴MN →·AP →
＝3－4λ＝0,解得λ＝34
.
∴点N 是靠近B 点的四等分点．
3.(本小题满分12分)(2019山东枣庄二调)某项研究性课题由一个团队完成,团队由一个主持人和若干个助手组成,助手分固定和临时两种,每个固定助手的工资为 3 000元/月,当固定助手人手不够时,需要招聘临时助手,每个临时助手的工资为4 000元/月,现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数,得到下面的柱状图．
记n 为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3 000元/月的标准支付工资)．x 为一个团队需要的助手数,y 为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元)．
(1)当n ＝4时,求y 关于x 的函数关系式；
(2)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手,分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额,以此作为决策依据,判断给每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算；
(3)以这20个团队需要助手数的频率代替一个团队需要助手数的概率,若40个团队中需要5个以下(不包括5个)助手数的团队个数记为X ,求E (X )．
3．解：(1)当n ＝4时,x ≤4时,y ＝4×3 000＝12 000, 当4＜x ≤6时,y ＝12 000＋4 000(x －4)＝4 000x －4 000, ∴当n ＝4时,y 关于x 的函数关系式为 y ＝?
????12 000，3＜x ≤4，x ∈N *，4 000x －4 000，4＜x ≤6，x ∈N *(单位：元)． (2)由题意得每个团队需要的助手个数X 分别为3,4,5,6,
∴P (X ＝3)＝220＝0.1,P (X ＝4)＝420＝0.2,P (X ＝5)＝620＝0.3,P (X ＝6)＝8
20
＝0.4.
当每一个团队提供4个固定助手时,这20个团队每月支付给助手的工资总额
Y 1＝20[(0.1＋0.2)×12 000＋0.3×(4 000×5－4 000)＋0.4×(4 000×6－4 000)]＝328 000(元),
当每一个团队提供5个固定助手时,这20个团队每月支付给助手的工资总额 Y 2＝20[(0.1＋0.2＋0.3)×15 000＋0.4×(15 000＋4 000)]＝332 000(元), ∵Y 1＜Y 2,∴给每一个团队提供4个固定助手划算． (3)E (X )＝40[(P (X ＝3)＋P (X ＝4)]＝40×(0.1＋0.2)＝12.
4.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
(2019河北河水中学猜题)已知曲线C 的极坐标方程是ρ2
＝4ρcos θ＋6ρsin θ－12,
以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为?
????x ＝2－12
t ，
y ＝1＋3
2
t
(t 为参数)．
(1)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程,并判断它们的位置关系；
(2)将曲线C 向左平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,得到曲线D ,设曲线D 经过
伸缩变换?
????x ′＝x ，y ′＝2y ，得到曲线E ,设曲线E 上任一点M (x ,y ),求3x ＋1
2y 的取值范围．
4．解：(1)直线l 的一般方程为3x ＋y －23－1＝0, 曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. ∵|23＋3－23－1|（3）2
＋1
＝1,∴直线l 和曲线C 相切．
(2)曲线D 为x 2＋y 2
＝1,曲线D 经过伸缩变换?
????x ′＝x ，y ′＝2y ，
得到曲线E 的方程为x 2
＋y 2
4＝1,则点M 的参数方程为?????x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),
∴3x ＋1
2y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π3),
∴3x ＋1
2
y 的取值范围为[－2,2]．
5.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
(2019东北三省四市一模)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )≤4的解集；
(2)设函数f (x )的最小值为m ,当a ,b ,c 均为正实数,且a ＋b ＋c ＝m 时,求2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1的最大值．
5．解：(1)①当x ＜12时,f (x )＝－3x ＋2≤4,∴－23≤x ＜1
2
；
②当12≤x ＜1时,f (x )＝x ≤4,∴1
2
≤x ＜1,
③当x ≥1时,f (x )＝3x －2≤4,∴1≤x ≤2,
综上所述,f (x )≤4的解集为{x |－2
3
≤x ≤2}．
(2)(方法一)由(1)可知f (x )＝????
?－3x ＋2，x ＜1
2
，
x ，1
2≤x ＜1，3x －2，x ≥1，
∴f (x )min ＝12,即m ＝1
2
.
又a ,b ,c 均为正实数,且a ＋b ＋c ＝1
2
,
∴2a ＋2b ＋2c ＝1,设x ＝2a ＋1,y ＝2b ＋1,z ＝2c ＋1. ∵x 2＋y 2≥2xy ,∴2xy ≤x 2＋y 2＝2a ＋1＋2b ＋1＝2a ＋2b ＋2. 同理2yz ≤2b ＋2c ＋2,2zx ≤2c ＋2a ＋2,
∴2xy ＋2yz ＋2zx ≤2a ＋2b ＋2＋2b ＋2c ＋2＋2c ＋2a ＋2＝8,
∴(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋8＝12, ∴x ＋y ＋z ≤23,即2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1≤23,
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
6
时取得最大值2 3.
(方法二)由(1)可知f (x )＝????
?－3x ＋2，x ＜1
2
，
x ，1
2≤x ＜1，3x －2，x ≥1，
∴f (x )min ＝12,即m ＝1
2
.
又a ,b ,c 均为正实数,且a ＋b ＋c ＝1
2,
∴2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＝32(4
3
（2a ＋1）＋
4
3（2b ＋1）＋4
3
（2c ＋1）) ≤32(43
＋2a ＋12＋43＋2b ＋12＋43＋2c ＋1
2
)＝23, 当且仅当a ＝b ＝c ＝1
6
时,取得最大值2 3.
(方法三)由(1)可知f (x )＝????
?－3x ＋2，x ＜1
2
，
x ，1
2≤x ＜1，3x －2，x ≥1，
∴f (x )min ＝12,即m ＝1
2.
∴a ＋b ＋c ＝1
2
,∴2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＝4.
由柯西不等式可知
(2a ＋1)2＋(2b ＋1)2＋(2c ＋1)2×(12＋12＋12)≥(2a ＋1×1＋2b ＋1×1＋2c ＋1×1)2,
即(2a ＋1×1＋2b ＋1×1＋2c ＋1×1)2≤12, ∴2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1≤23,
当且仅当2a ＋1＝2b ＋1＝2c ＋1即a ＝b ＝c ＝1
6时,取得最大值2 3.
[70分] 解答题标准练(一)
1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.
则?
????
a 1＝1，a 1＋3d ＝10，
解得d ＝3,
所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.
(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·
a 6, 根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,
代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,
故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1
＝32n 2－12n ＋1
3
(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D
分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且?
?.AC B'D =
(1)求证：CD ∥平面ABB ′A ′；
(2)若2AC ＝AB ＝AA ′,求二面角C －AD －B 的余弦值.
(1)证明 如图,取?
AB 的中点M ,
∵OO ′⊥平面ABC , ∴OA ,OM ,OO ′两两垂直,
以O 为坐标原点,OA ,OM ,OO ′所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间 直角坐标系O －xyz ,连接OC , 设OA ＝1,AA ′＝t ,∠AOC ＝θ(0<θ<π),
则A (1,0,0),B (－1,0,0),C (cos θ,sin θ,0),D (－cos θ,sin θ,t ),
于是CD →＝(－2cos θ,0,t ),而平面ABB ′A ′的一个法向量为OM →
＝(0,1,0), 由于CD →·OM →＝0,CD ?平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.
(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,
则C ????12，32，0,D ????－12，32，2,CD →
＝(－1,0,2),
AC →＝????－12，32，0,BD →
＝????12，32，2,
设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),
则???
CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，
AC →
·n 1
＝－12x 1
＋32
y 1
＝0，
不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则???
BD →·n 2
＝12x 2
＋32
y 2
＋2z 2
＝0，BA
→·n 2
＝2x 2
＝0，
不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝5
19
, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为5
19
.
3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .
(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,
又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.
根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2, ∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2
4＝1.
(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2
＝2,
∴m 2＝4(1＋t 2).
由?????
x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，
消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
∴y 1＋y 2＝－8tm
4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.
∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝
1＋t 2·1254t 2＋9＝
1254
1＋t 2＋5
1＋t 2
≤
125
45
＝3, 当且仅当41＋t 2＝
5
1＋t 2
,
即t 2＝1
4时等号成立.
此时|m |＝5,|AB |max ＝3,
又∵S △AOB ＝1
2
×2×|AB |＝|AB |≤3,
∴当|m |＝5,|t |＝1
2
时,△AOB 的面积最大,最大值为3.
4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).
(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；
(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；
(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？
附：K 2＝
n (ad －bc )2
(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )
.
解 (1)m ＝4,n ＝2,
该读书协会中人均每周的课外阅读时长为
45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×2
20＝93(分钟),
由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.
(2)X ～B ???
?5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.
且P (X ＝0)＝C 05????125＝132,P (X ＝1)＝C 15
????125＝532, P (X ＝2)＝C 25
????125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35
????125＝1032＝516
,
P (X ＝4)＝C 45????125＝532,P (X ＝5)＝C 55????125＝132
, 所以X 的分布列如下：
E (X )＝5×1
2＝2.5.
(3)2×2列联表如下：
k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别
有关”.
5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈????0，π2时,试比较1
2ln(tan θ)与tan ????θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1), f ′(x )＝ln x ＋1
x
,
设g (x )＝ln x ＋1
x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,
当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,
∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增,
无单调递减区间.
(2)f ′(x )＝ln x ＋1
x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,
由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,
即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；
②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1
x ＋1－a (x ≥1),
则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x 2≥0(x ≥1),
∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴?x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,
当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0, 即1
2ln x >x －1x ＋1, 当0
∴12ln 1x >1x －11x ＋1?ln x 2 , 又∵tan ????θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1, ∴当0<θ<π 4时,0 1 2 ln(tan θ) 2ln(tan θ)＝tan ????θ－π4； 当π4<θ<π 2时,tan θ>1, 1 2 ln(tan θ)>tan ????θ－π4. 综上,当θ∈????0，π4时,1 2ln(tan θ) 2ln(tan θ)＝tan ????θ－π4； 当θ∈????π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ??? ?θ－π 4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为????2，π 4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标； (2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y , 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1). (2)设过点P 的直线l 的参数方程是 ??? ?? x ＝1＋t cos θ， y ＝1＋t sin θ (t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y , 得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4, ∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2, ∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2. 7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3； (2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围. 解 (1)①由????? x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6； ②由????? 1 x －1＋2－x ≤x ＋3，得1 ③由????? x ≤1，3－2x ≤x ＋3， 得0≤x ≤1. 由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时, 即f (x )≥????2m ＋1－??? ?2 m －3对?m ∈R ,m ≠0恒成立, ????2m ＋1－????2m －3≤??? ?????2m ＋1－????2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥7 2； 当1 2 , 综上,x 的取值范围为????－∞，－12∪??? ?7 2，＋∞. 数学的核心素养引领复习 一、数学抽象、直观想象 素养1 数学抽象 例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－8 9,则m 的取值范围是( ) A.? ???－∞，94 B.????－∞，73 C.????－∞，52 D.? ???－∞，83 答案 B 解析 当－1 2(x ＋1)x ；当1 f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2 f (x )＝????? …， 1 2(x ＋1)x ，－1 2(x －1)(x －2)，1 (x －2)(x －3)，2 由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当 2 3,将这两个值标 注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤7 3 ,即实数m 的取值范围是 ? ???－∞，73,故选B. 1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中,正确信息的序号是________. 答案①②③ 解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误. 素养2直观想象 例2(2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则() A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 答案 B 解析取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则 MP＝ 3 2,CP＝ 3 2,所以BM 2＝MP2＋BP2＝????322＋???? 3 22 ＋22＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接 BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线. 2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()