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浙江省杭州第二中学18届高三下学期仿真考数学试题

2018年杭州二中高三仿真考数学试卷

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式

第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知全集U R =，集合{37}A x x =≤<,2{7100}B x x x =-+<，则Cu （A ∩B ）=（）

A ．35-∞?+∞（，）（，） B. 3[5-∞?+∞（，），）

C ．3][5-∞?+∞（，，） D. 3]5-∞?+∞（，（，）

2．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，31

a ，1a 成等差数列，则

++a a a a 的值为（） A ．

5+1

2 B. 512- C ．15

- D. 5+12或15

-[来源学科网]

3．函数f (x )＝sin(wx ＋?)(w ＞0，?＜π2)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π

6个单位后

得到的函数图象关于直线x ＝π

2对称，则函数f (x )的解析式为（）

A ．f (x )＝sin(2x ＋π3)

B ．f (x )＝sin(2x －π

C ．f (x )＝sin(2x ＋π6)

D ．f (x )＝sin(2x －π

)

柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高；

锥体的体积公式：V =31

Sh ，其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高；

台体的体积公式：1122()1

V h S S S S =++，其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高；

球的表面积公式：S = 4πR 2 ，球的体积公式：V =

πR 3，其中R 表示球的半径；如果事件A , B 互斥, 那么P (A +B )=P (A )+P (B ) ；如果事件A , B 相互独立, 那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) ；

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概

率P n (k )=k n C p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) ．

4．已知不等式组y x y x x a ≤??

≥-??≤?

表示的平面区域S 的面积为9，若点S y x P ∈),(，则y x z +=2的最大

值为（）

A ．3 B.6 C ． 9 D. 12 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A ．

3231633

B.16833π+ C ．32363

π+ D.836π+

6．在ABC ?中，“tan tan 1B C >”是“ABC ?为钝角三角形”的（）

A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件

7．已知01a b <<<，则（）

A ．1(1)(1)b

a a ->- B. 2

(1)(1)b b

a a ->- C ． (1)(1)a

b a b +>+ D. (1)(1)a b a b ->-

8．如图，已知直线l ： 10y k x k =+>（）（）与抛物线24C y x =：相交于A ，B 两点，且A 、B 两点

在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（） A.

B. 23

C. 223

D. 22

9.已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时

从甲乙

两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为

(1,2)i p i =.

（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（）

A. 1212,()()p p E E ξξ><

B. 1212,()()p p E E ξξ<>

C. 1212,()()p p E E ξξ>>

D. 1212,()()p p E E ξξ<< 10．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；

（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；

（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知,a b R ∈，复数z a i =-且

11z

=++（i 为虚数单位），则ab = ，z = ． 12．双曲线22

154

x y -=的焦距是，渐近线方程是． 13．设 ( 2 +x ) 10 ＝ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…+ a 10 x 10，则2a = ，(a 0 + a 2 + a 4 +…+ a 10) 2－(a 1 +

a 3 + a 5 +…+ a 9) 2 的值为．

14．在ABC ?中，90C ∠=，2CM MB =uuu r uuu r ．若1

sin 5

BAM ∠=，则 tan BAC ∠= ．

15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则AP BP ?的取值范围是；若向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 .

16. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能．．连续．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．

C A

17．已知函数2()3|2(4)1|f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a = ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-，（Ⅰ）求C ∠的大小；

（Ⅱ）若1||22CA CB -=，求ABC ?面积的最大值．

19．（本题满分15分）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠AB D=30°，AB ＝2CD ＝2AD ＝2，DE ⊥平面ABCD ，EF //BD ，且BD ＝2EF ．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BDEF ；

（Ⅱ）若二面角C -BF -D 的大小为60°，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）设函数1

1f x x

=-（

），ln g x x =（），（Ⅰ）求曲线21y f x =-（）在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数y f x g x =?（）（）在区间1

[,]e e

上的取值范围．

21．（本题满分15分）如图，焦点在x 轴上的椭圆1

C A D

y B

与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C 的离心率均为32

．（Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；

（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当M A B ?的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.

22. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足：216n n x x +=-，*n N ∈，且对任意的*n N ∈都有

211

n x -<

, （Ⅰ）证明：对任意*n N ∈，都有121

n x --≤≤

；（Ⅱ）证明：对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；（Ⅲ）证明：12x =-.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11．6- ； 10 ． 12．6； 255y x =±

． 13． 720 1． 14．6

． 15．[0,1] ； 12 . 16. 60． 17．1

2．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

解：（1）2cos 23b C a c =-，

2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin()sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，

12sin cos sin cos 23B C B C C π

∴=∴=∴=，， ……………………………7分

（Ⅱ）取BC 中点D ，则1

||2||2

CA CB DA -==，在ADC ?中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-?，

（注：也可将1||2||2CA CB DA -==两边平方）即224()22

a ab

b =+-，

222422

a b ab ab

≥-=

，所以8≤ab ，当且仅当4,2==a b 时取等号．此时13

sin 24

ABC S ab C ab ?==，其最大值为23. ……………………………7分

19．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）在△ABD 中，∠ABD ＝30°，由AO 2＝AB 2+BD 2－2AB·BD cos30°，

解得BD ＝3，所以AB 2+BD 2=AB 2，根据勾股定理得∠ADB ＝90°∴AD ⊥BD . 又因为DE ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，∴AD ⊥DE .

又因为BD ?DE ＝D ，所以AD ⊥平面BDEF ，又AD ?平面ABCD ，

∴平面ADE ⊥平面BDEF ， ............................6分（Ⅱ）方法一：

如图，由已知可得90ADB ∠=，30ABD ∠=，则

30BDC ∠=，则三角形BCD 为锐角为30°的等腰三角形. 1,CD CB == 则1

CG =

. 过点C 做//CH DA ，交DB 、AB 于点G ，H ，则点G 为点F 在面ABCD 上的投影.连接FG ，

则

CG BD ⊥，DE ⊥平面ABCD ，则CG ⊥平面BDEF .

过G 做GI BF ⊥于点I ，则BF ⊥平面GCI ，即角GCI 为二面角C -BF -D 的平面角，则=GCI ∠60°.

则tan60CG CI =，12CG =，则123

GI =.

在直角梯形BDEF 中，G 为BD 中点，3BD =，GI BF ⊥，

123

GI =

，

设DE x = ，则GF x =，11

BGF S BG GF BF GI ?=??=??，则68DE =. 6tan 4FG FCG GC ∠==，则33sin 11FCG ∠=，即CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为33

．（Ⅱ）方法二：

可知DA 、DB 、DE 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz . 设DE ＝h ，则D(0，0，0)，B(0，3，0)，C(－12，－3

2，h ).

)0,23,21(--=BC ，),2

,0(h BF -=.

设平面BCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则00m BC m BF ??=???=??所以???????=+-=--02

0235.0hz y y x 取x =3，所以m ＝(3，-1，－32h )，取平面BDEF 的法向量为n ＝(1，0，0)，由cos cos60m n m n m n

?<>=

=?，，解得8

6=h ，则8

6=DE ，

又)86,0,21(=CF ,则822=CF ，设CF 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=11

3382286=+. 故直线CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为33

.............................9分 20．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）当1x =，(21)(1)0y f f =-==. 3/2

''(21)(21)

y f x x =-=

-，当1x =，''(1)1y f ==，所以切线方程为1y x =-.

A D

（Ⅱ）1ln (1)ln ln x

y x x x x

=-=-

, ln 111ln 2'2x x x y x x x x x x x

=-+=,因为1[,]x e e ∈，所以0x x >. 令ln ()12x h x x =

，1

'()02x h x x

+=>，则()h x 在1[,]e e 单调递减，

因为(1)=0h ，所以()()y f x g x =?在1

[,1]e

上增，在[1,]e 单调递增. min (1)(1)0y f g =?=,max 111max{()(),()(e)}max{1,1}y f g f e g e e e e

=??=--

, 因为1

11e e

->-，所以()()y f x g x =?在区间1[,]e e 上的值域为[0,1]e - (9)

分

21．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）依题意得对1C ：1b =，222

23324a b e e a -=?==，得1C ：2214x y +=；同理2C ：2

+1x y =. (6)

分

（Ⅱ）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，，则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：

2211141-4041

x y x k x y k x ?+=??++=??=+?

（），得22

114180k x k x ++=（），得1A 2

18=41k x k -+,21A 2

141=41k y k -++，所以2112211841

A(,)4141

k k k k -+-

++ 同理可得222222224(

,)44k k B k k --++.所以22

11222222

11228822=(,),(,)414144k k k k MA MB k k k k ----=++++, 从而可以求得()2212211221222

222122112822816()

11==2414441241(4)

k k k k k k k k S k k k k k k -----?-?++++++因为121k k =-，所以()

()

3112

8+=

41k k S k

+，不妨设()

()

42'

111112

221

+491

0(),()4141k k k k k f k f k k

，--+>=

'422111979()0491=0=8f k k k k ，，-=∴--+，所以当S 最大时，21979

k -，此时两直线MA ，MB 斜率的比值

2112997

k k k --. ............................9分 22．（本题满分15分）

证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则

a ）若3n x <-,则2163n n x x +=->,与任意的*n N ∈都有211

n x -<矛盾； b ）若2112

n x ->-,则有2112112

n x ---<<,则

221211211

)6,22n n x x +-+=-<-=- 2221211211

6()6,22

n n x x +++-=->--=

与任意的*n N ∈都有211

2n x -<矛盾；

故对任意*n N ∈，都有121

n x --≤≤成立； (5)

分

（Ⅱ）由216n n x x +=-得21+26+2=+22n n n n x x x x +=-?-（）（），则1+2+22n n n x x x +=?-，由（Ⅰ）知0n x ≤，22n x -≥，

即对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；. ........................5分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：21-112222222n n n n x x x x ++≥+≥+≥???≥+，由（Ⅰ）知，31n x -≤≤-， ∴121n x ++≤， ∴1221n x +≤，即11

n x +≤

，若12x ≠-，则120x +>,取211log 12n x ??

≥+??+???

?时，有1122n x +>，与1122n x +≤矛盾.

则

x =-. 得

证. ........................5分