《第2章特殊三角形》自我评价测试含试卷分析详解浙教版数学八年级上

第2章自我评价

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D)

A. 线段

B. 角

C. 等腰三角形

D. 等边三角形

2．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(B)

A．3，4，6 B．15，20，25

C．5，12，15 D．10，16，25

3．一个等腰三角形的两边长分别为5，6，则它的周长为(D)

A．16 B．17

C．18 D．16或17

4．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为(C)

A．40°B．100°

C．40°或100°D．无法确定

5．如图，将直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(C)

A. 25

4 B.

22

3

C. 7

4 D.

5

3

(第5题)(第6题)

6．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝88°，则∠B等于(C)

A．46°B．44°

C．23°D．22°

7．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝(C)

(第7题)

A．a＋b B．b＋c

C．a＋c D．a＋b＋c

【解】∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE，故可证得△ABC≌△CDE，∴AB＝CD.

同理可证得△PQM≌△MFN，

∴PQ＝MF.

∵CD2＋DE2＝AB2＋DE2＝a，

MF2＋FN2＝PQ2＋FN2＝c，

又∵S1＝AB2，S2＝DE2，S3＝PQ2，S4＝FN2，

∴S1＋S2＋S3＋S4＝AB2＋DE2＋PQ2＋FN2＝a＋c.

8．如图，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为15 cm，正方形A的边长为11 cm，B的边长为8 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的边长为(C)

A.14 cm B．4 cm

C.15 cm D．3 c m

【解】设正方形D的边长为x.据勾股定理，得

S A＋S B＋S C＋S D＝S大正方形，

∴112＋82＋52＋x2＝152，

解得x＝±15(负的舍去)，

∴正方形D的边长为15.

(第8题)(第9题)

9．用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是(D)

A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3

C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13

【解】在Rt△ACB中，x2＋y2＝AB2＝49.

∵CD2＝9，∴CD＝3(－3舍去)，

∴x－y＝3，

∴(x－y)2＝9，

∴x2＋y2－2xy＝9，

∴2xy＋9＝x2＋y2＝49，∴2xy＝40，∴x2＋y2＋2xy＝89，(x＋y)2＝89，∴x＋y＝89≠13，

故选D.

10．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)

(第10题)

A．①②③B．①②④

C．②③④D．①③④

【解】①中，作∠ABC的平分线与AC交于点D，则△ABD和△BCD为等腰三角形；

②不能分成两个小的等腰三角形；

③作∠BAC的平分线AD，则△ABD和△ACD为等腰三角形；

④过点A作∠BAD＝36°交BC于点D，则△ABD和△ACD为等腰三角形．

二、填空题(每小题3分，共30分)

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝__53°__．

12. 已知直角三角形的斜边长是6，则以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是

__9π__．

13. 若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．

14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了__4__步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．

(第14题)(第15题)

15．如图，已知D为等边三角形ABC内的一点，DB＝DA，BF＝AB，∠1＝∠2，则∠BFD＝30°．

【解】连结CD，可证明△BCD≌△BFD≌△ACD，故可得∠BFD＝∠BCD＝∠ACD＝1

2×60°＝

30°.

16. 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是__真__命题．

(第17题)

17．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2等于45．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB 于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形有

△MBD，△MDE，△EAD．

(第18题)(第19题)

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于__2π__．

【解】S1＝1

2

π·????

AC

2

2

＝

π

8AC

2，S

2

＝

1

2

π·????

BC

2

2

＝

π

8BC

2，

∴S1＋S2＝π

8(AC

2＋BC2)＝

π

8AB

2＝2π.

(第20题)

20．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE……依此类推，直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__15.5__．

【解】∵AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，

∴CA＝12＋12＝2＝DC.

同理，DA＝（2）2＋（2）2＝2＝DE，

EA＝22＋22＝2 2＝EF，

FA＝（2 2）2＋（2 2）2＝4＝FG.

∴S△ABC＝1

2AB·BC＝

1

2×1×1＝

1

2，

S△ACD＝1

2AC·CD＝

1

2×2×2＝1，

S△ADE＝1

2AD·DE＝

1

2×2×2＝2，

S△AEF＝1

2AE·EF＝

1

2×2 2×2 2＝4，

S△AFG＝1

2AF·FG＝

1

2×4×4＝8.

∴S△A BC＋S△ACD＋S△ADE＋S△AEF＋S△AFG＝1

2＋1＋2＋4＋8＝15

1

2.

三、解答题(共40分)

(第21题)

21．(6分)在一块平地上，张大爷家房屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答．

【解】不会．理由如下：

如解图，在

(第21题解)

Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 m，AC＝6 m．由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝100－36＝8(m)．

∵8<9，∴大树不会砸到张大爷的房子．

(第22题)

22．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.

(1)求∠DAC的度数；

(2)求证：DC＝AB.

【解】(1)∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B＝30°.

∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，

∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.

∵∠DAB＝45°，

∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.

(2)∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，

∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.

∵∠DAC＝75°，

∴∠DAC＝∠ADC，

∴DC＝AC.

∵AB＝AC，

∴DC＝AB.

23．(8分)在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，AC＋BC＝8.求△ABC的面积．

(第23题解)

【解】如解图，在△ABC中，CD是AB边上的中线．

∵CD＝3，AB＝6，

∴AD＝DB＝3，

∴CD＝AD＝DB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

∴∠1＋∠3＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2＝36.

又∵AC＋BC＝8，

∴AC2＋2AC·BC＋BC2＝64，

∴2AC·BC＝64－(AC2＋BC2)＝64－36＝28.

又∵S△ABC＝1

2AC·BC，∴S△ABC＝

1

2×

28

2＝7.

(第24题)

24．(8分)一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C，D两地间的距离也为500 m，天黑前牧童从点A将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．

(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；

(2)问：他至少要走多少路？

【解】(1)如解图①，作点A关于河岸的对称点A′，

连结BA′交河岸于点P，则PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′最短，

故牧童应将马赶到河边的点P处．

(第24题解)

(2)如解图②，过点A′作A′B⊥BD交BD的延长线于点B′.

易知A′C∥B′D，A′B′∥CD，

∴四边形A′B′DC是平行四边形，

∴B′A′＝CD＝500 m，B′D＝A′C＝AC＝500 m.

在Rt△BB′A′中，

BB′＝BD＋DB′＝1200 m，A′B′＝500 m，

∴BA′＝12002＋5002＝1300(m)．

答：他至少要走1300 m路．

25．(12分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程记录如下：

设∠BAC＝θ(0°＜θ＜90°)．现把不同长度的小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．

活动一：

如图①，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．

(第25题①)

数学思考：

(1)小棒能无限摆下去吗？答：__能__(填“能”或“不能”)；

(2)设AA1＝A1A2＝A2A3＝1.

①θ＝__22.5__度；

②若记小棒A2n－1A2n的长度为a n(n为正整数，如A1A2＝a1，A3A4＝a2)，求此时a2，a3的值，并直接写出a n的值(用含n的式子表示)；

活动二：

如图②，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1.

(第25题②)

数学思考：

(3)若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝__2θ__，θ2＝__3θ___，θ3＝__4θ___(用含θ的式子表示)；

(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

【解】 (2)②∵AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝1, A 1A 2⊥A 2A 3， ∴A 1A 3＝2，AA 3＝1＋ 2. 又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4. 同理，A 3A 4∥A 5A 6，

∴∠A ＝∠AA 2A 1＝∠AA 4A 3＝∠AA 6A 5， ∴AA 3＝A 3A 4，AA 5＝A 5A 6， ∴a 2＝A 3A 4＝AA 3＝1＋2， a 3＝AA 3＋A 3A 5＝a 2＋A 3A 5. ∵A 3A 5＝2a 2，

∴a 3＝A 5A 6＝AA 5＝a 2＋2a 2＝(2＋1)2. 同理，a n ＝(2＋1)n －

1.

(4)由题意，得?

????4θ<90°，5θ≥90°，

∴18°≤θ＜22.5°.