(完整版)数学模型作业2013
作业：
1、设数科院有1000名学生，其中235人住在A 楼，333人住在B 楼，432人住在C 楼.现要组成一个10人的学生委员会，试用Q 值方法给出较为合理的名额分配方案.
解：（1）参数假设：
记各楼人数为：235=A p ，333=B p ，432=C p ， 总人数1000=p ，席位数 10=n . (2) 先按百分数方案有： 35.2=?=
A A p p n n ， 33.3=?=
B B p p
n n ， 32.4=?=C C p p n
n 取整后得一次分配2=A n ，3=B n ，4=C n . (3) 对第10个席位按Q 值方法计算得:
167.920432235)1(2
2
=?=+=A A A A n n p Q
75.924043333)1(2
2=?=+=B B B B n n p Q
2.93315
4432)1(2
2=?=+=C C C C n n p Q
由于C Q 最大，所以第10个席位应分配给C 楼.
（4）结论：A 楼、 B 楼、C 楼的分配席位分别为2,3,5. 总共10个席位.
2、建立三层玻璃窗减少热量损失之功效的数学模型并给出定量分析
（设玻璃厚度为d ，两层玻璃间空气厚度为l ，玻璃热传导系数为1k ，空气的热
传导系数为2k ，且1621
≈k k ，建筑规范要求
4≈=d
l
h ） 解：模型假设
(1)假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的． (2)室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态． (3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．
(4)由内到外的温度依次记为1T ，a T ，b T ，c T ，d T ，2T . 模型建立
在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ?，则单位时间由温度高的一仍向温度低的一侧通过单位面积的热量Q 与T ?成正，与d 成反比，即
d
T
K
Q ?=．(K 为热传导系数) (1) 由(1)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为 d
T T K l T T K d T T K l T T K d T T K Q d d c c b b a a 2
121211
-=-=-=-=-= (2) 对于厚度为d 3的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为
d
T T K Q 32
11
-=' (3) 模型求解
从(2)式中消去a T 、b T ，c T ，d T 可得
)32()(211+-=
s d T T K Q ， 21K K h s =，d
l
h = (4)
(3)与(4)相比二者之比为
3
23
+='s Q Q (5) 显然Q Q '<.
模型验证与分析
32~162
1
=K K
由(4)、(5)式可得3323+='h Q Q ，d
l h = (6) 摸型应用
这个模型具有一定应用价值．制作双层玻璃窗虽然工艺复杂，会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求4≈=
d
l
h ．按照这个模型，023.0131
3≈='Q Q 即三层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97.7％左右.
3、设有一个容积为1500升圆柱形的桶，桶内盛有900升的水。如果将它水平地放置在地(如图)，问水面有多高？请你用自已的方法给出问题的近似解答。
解：参数假设：
L : 圆桶的高度； R : 底面半径； H ：水面高度；
x ：为图中所示扇形的圆心角.
模型建立：
因90021500<故桶内未装水的部分的容积为: 600)sin 2
1
21(22=-L x R x R 其中 15002
=L R π 代入上式得: 05
4sin =--πx x
另 )2
cos 1(x
R H +=
模型求解：
用Newton 切线法可求出方程的近似根为8248.2*
≈x , 代入)2
cos 1(x R H +=得 R H 1577.1=
x
R
H
4、某吊车的车身高为1.5m ，吊臂长15m ，现要把一个宽6m ，高2m 的正方形箱子，水平地吊到高6m 的房顶(如图所示)，问能否
吊得上去？
解：参数假设：
设车身高为h ，吊臂长为l ，与水平线的夹角为?，箱子的宽为a 2，高为b ，其下边离地面的距离为y .
模型建立：
当y 达到最大时的?应使得箱子与吊臂正好接触于点F ，此时有
y b a l h ++=+??tan sin
所以 b h a l y -+-=???tan sin )( 即为所解决问题的数学模型。
模型求解：
由???2sec cos )(a l y -='，令0)(='?y ,得l
a
=
?3cos ，所以，有唯一的驻点3
10arccos ??
? ??=i a ?，由问题的实际含义知，0?肯定是)(?y 的最大值点. 化简得b h a l y y -+-==00)(max tan sin 0??? =b h a l -+---1sec cos 1002??
=b h a l a l a l -+-??
?
??-??? ??-113
232
=b h a l a l -+???
? ??-?-3434
3
23
2
2m
=b h a l
-+-2
3
3
23
2
)
(
摸型应用
当房顶的高度max y H ≤时，箱子可以吊到上面去；当max y H ≥时，箱子不能吊到上面去；
取5.1=h ，15=l ，3=a ，2=b 代入上式得：
=max y 5.725.14
25.1)
315
(2
3
2
3
323
2≈-+≈-+- (m )
由于6max =≥H y (m )，所以箱子可以吊到上房顶上面去。
5、上海东方明珠电视塔是目前亚洲最高的电视塔，它有460米高，若把它的信导传播到1100千米外的北京，行吗?(地球半径约为6371千米)若用一座电视塔直接传输到北京，须建高度为多少米的电视塔?
模型分析
这是一个既有常识性又带科学性的问题，首先要将电视塔及电视信号的传输，扩大想象到整个地球空间，展开空间想象，抽象出相应的数学模型．
将地球近似地看成是一个球体，⊙O 为地球截面圆，AB ＝h ，表
示电视塔的高度，过A 向地球截面⊙O 引切线，切⊙O 于C 、D.从则以CD 弧所对应的一个球面区域就是该电视塔的信号覆盖区域， 由于0R h << (0R 为地球半径)，故可近似地认为传输区域为一块“圆形区域”，且可以把弦BD 当作传输半径R.
模型假设
(1)电视信号在传送过程中不考虑衰减．
(2)将电视信号传翰区域近似地看成是一块“圆形区域” h ---电视塔的高度． Ro ——地球半径．
R 一电视信号覆盖区域半径．
θ--电视信号覆盖区域半径所对应的圆心角． 模型建立
据上述分析：h
R R AO DO +==
00cos θ 由余弦定理得：θcos 22
2
2
???-+=BO DO BO DO BD
O
B C
D A
θ
即 h
R R R R R R +??-+=00
2
0202022
模型求解
将 h
R R R R R R +?
?-+=00
2
02
02
02
2 化简
)1(200202h R R R R +-
??= =)(20020h
R R h h
R +-?? =)(
2000h R R h R +? =)1(200h
R h h R +-? 因为：0R h <<,h
R h
+0可忽略不计
所以h h R R BD 6.356920≈≈
=(m),将东方明珠电视塔数据h=460代入得
76559≈R m 6.76≈km
模型验证与分析
显然，仅用东方明珠一座电视塔是无法将信号传给到北京的．要将上海的电视信号不考虑衰减，仅用一座电视塔发射到1100千米外的北京，根据h R R 02≈
，
km km R R h 95962.946371
2110022
02≈≈?≈=．这大约是11座珠穆朗玛峰的高度，建造如此
高的电视塔显然是不现实的．解决这类长距离信号传输问题，往往不去盲目地一味增高电视塔的高度，而是通过多个中继站以“接力”的方式或用通讯卫星的手段。
6、假设市场上有甲、乙两种糖果，单价分别为40元/斤，20元/斤，今要筹办一桩喜事，要求花在糖果上的钱不超过2000元，总的糖果不少于50斤，而甲糖果又不得少于25斤.试确定最好的购买方案.
7、某公司专门生产储油用的容器，合同
要求该公司制造一种敞口(即无盖)的长方
体容器，容积恰好为V 3
m .如果用作容器四
壁的材料为a 元/2m ，用作容器底面的材料
为b 元/2
m ，问制造怎样尺寸的容器才能使得总费用最省？
解：设长方体容器的长、宽、高分别为x ,y ,z ,
制造该容器所需材料的总费用为
),,(z y x f W =，
则有 V xyz = ，
bxy yz xz a z y x f W ++==)22(),,( 从而有 bxy yz xz a z y x f W ++==)22(),,(
bxy ayz axz ++22＝
≥3223bxy ayz axz ??
322)(43xyz b a =32243bV a =
且等号成立当且仅当bxy ayz axz ==22 由此得 y x =
，a
bx
z 2=
代入已知条件V xyz =中得
32
21V ab b
y x ==，32221V ab a z = 所以
32
23232
32min
43)221,21,21(bV a V ab a
V ab b V ab b f W ==
8、在甲、乙两个大桶内各装有100升的盐水(两桶均未装满)，其浓度均为5l g /，现用一根细管将净水以 2 min /l 速度输入甲
桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2 min /l 速度输入乙桶(两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出)，然后再用细管以1 min /l 速度从乙桶将混合液输出。问时刻t 乙桶内盐水的浓度是多少？
[1]问题分析（略） [2]模型假设
设)(1t y 、)(2t y 分别表示在时刻t 甲、乙两桶内盐的数量；
[3]模型建立 先分析甲桶：
任取一段时间],[t t t
?+，则该时段甲桶内盐的改变量
为：
=-?+)()(11t y t t y 流入量-流出量t t y t ??-??≈2100
)
(201 两边同除以t ?，并令0→?t ，得初值问题
???
??=-=500
)0()(501111
y t y dt
dy (5)
这就是甲桶内盐的含量数学模型。
对(5)分离变量，并积分得 50
1500)(t
e
t y -=
它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐在稀释。
现分析乙桶：
同样取一段时间],[t t t
?+，则该时段乙桶内盐的改变
量为：
=-?+)()(22t y t t y
流入量-流出量t t t y t t y ??-+-??≈1)12(100)
(2100)(21
两边同除以t ?，并令0→?t ，得初值问题
???
??=+-=500
)0(100)()(5012212
y t t y t y dt
dy (6)
这就是乙桶内盐的含量数学模型。 [4]模型求解
将
50
1500)(t
e
t y -
=代入(6)并整理得
???
??==++-500)0(10100)
(2
50
22y e t t y dt dy t (7)
解得
]
)150(500125000[1001
)(50
2t e
t t
t y -
+-+=
所以 乙桶内盐水的浓度为:
])150(500125000[)
100(1
)(50
2
2t e t t t y -
+-+= (l g /)