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培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解(含标准答案)

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1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1. 把下列各式因式分解

（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213

（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()

()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式

变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222

)

243)((]2)(2))[(()

(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=

2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算1368

987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

分析：算式中每一项都含有9871368

，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式)521456268123(1368

987+++?= =?=98713681368987

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组23532x y x y +=-=-???

，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 323233222222n n n n n n n n ++++-+-=+--

=+-+=?-?3312211035222n n n n ()()

Θ对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。

∴-+-++323222n n n n 一定是10的倍数

5、中考点拨：

例1。因式分解322x x x ()()---

解：322x x x ()()---

=-+-=-+322231x x x x x ()()()()

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2．分解因式：412132

q p p ()()-+- 解：412132

q p p ()()-+- =-+-=--+=--+4121212112122132

22q p p p q p p q pq ()()()[()]()()

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1. 计算：200020012001200120002000?-?

精析与解答：

设2000=a ，则20011=+a

∴?-?200020012001200120002000

=+++-++=+?-+?=+?-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()

()()()()

1000011110000110001110001

110001100010

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b 、c ，但比较麻烦。

注意到x bx c 2++是362542

()x x ++及3428542x x x +++的因式。因而也是-+++()3428542x x x 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解：Θx bx c 2++是362542

()x x ++及3428542x x x +++的公因式 ∴也是多项式3625342854242

()()x x x x x ++-+++的二次因式而362534285142542422

()()()x x x x x x x ++-+++=-+ Θb 、c 为整数

得：x bx c x x 22

25++=-+ ∴=-=b c 25，

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式1428702

x x -+，从而简便求得x bx c 2

++。

例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

解：1052+++x x x ()

=+++=++52225()()()()

x x x x x Θx x ++25，都是大于1的自然数

∴++()()x x 25是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】

1. 分解因式：

（1）-+-41222332m n m n mn

（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）

（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222

22 2. 计算：()

()-+-221110的结果是（） A. 2100 B. -210 C. -2 D. -1

3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。

试题答案

1. 分析与解答：

（1）-+-41222332m n m n mn

=--+226122

mn mn m n () （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--

=+---ax ax bx cx d n 132()

（3）原式=-+---a a b a a b ab a b ()()()322222

=--+-=--=-a a b a b a b a a b a b a a b ()[()]

()()()222

22333

注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。

2. B

3. Θx x y y y x ()()---=12

∴-+=()()x y x y 12

Θx y 、是正整数

∴12分解成1122634???，，

又Θx y -与x y +奇偶性相同，且x y x y -<+

∴-=+=???∴==???x y x y x y 2642

说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。

4. 证明：Θ812797913

=--=--=?=??=?333393135335

345

282726

262624224()

∴--812797913能被45整除

5. 解：逐次分解：原式=++++++()()()()111121995x x x x x x …

=++++=++++++==+()()()()()()()()1111111121995

341995

1996x x x x x x x x x x x …………

∴当x =0时，原式=1

浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)

浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A﹒2x2+8x－1＝2x(x+4)－1 B﹒(x+5)(x－2)＝x2+3x－10 C﹒x2－8x+16＝(x－4)2D﹒6ab＝2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（） A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+a D﹒(a－2)2－2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（） A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是（） A﹒－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)B﹒x2+9＝(x+3)2 C﹒1－4x2＝(1+4x)(1－4x)D﹒a3－4a2＝a2(a－4) 5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（） C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+1 4 y2 6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）A﹒M＞N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x－3)，则a+b的值是（）A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1 8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（） A﹒－1B﹒1 C﹒－2D﹒2 9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，

精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。解：

八年级数学上册因式分解40题培优练习卷(含答案)

2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式：6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式：1-16y4. 3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式：x3-4x2-45x. 7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2 10、分解因式：x4－y4 11、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式：(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式：x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式：36a2-(a2+9)2. 17、分解因式：2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2； 19、分解因式：x2-2xy+y2-9. 20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式：(a 2+1)2-4a2 22、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25. 26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)； 27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1

2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2

因式分解培优复习进程

因式分解培优

分解因式一、分解因式的定义：（关键：看等号右边是否为几个整式的积的形式）二、分解因式一般步骤：一提、二套、三分、四查三、分解因式常用方法： Ⅰ、提公因式法：（关键：确定公因式） ma +mb +mc = 。 Ⅱ、运用公式法：（关键：确定a 、b ） ①平方差公式：22a b -= ②完全平方公式： 22 2a ab b ±+= 。（一）将下列多项式因式分解（填空） 1、 _______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、 =________________ 5、= ___________________ 6、= （二）分解因式（写出详细过程） 1、)()()(23m n n m n m +--+ 2、 3、 4、2222224)(b a b a c --- （三）已知x 、y 都是正整数，且，求x 、y 。（四）化简：，且当时，求原式的值。

Ⅲ、十字相乘法：（一）二次项系数为1的二次三项式：))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++ 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 1、分解因式：（1）652++x x （2）276m m -+ (3)1522--y y (4)245a a +- 2、分解因式(1)2 223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a -- （4）221288b ab a -- （5）10)(3)(2 -+-+y x y x （二）二次项系数不为1的二次三项式：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 1、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y 2、分解因式（1）17836--x x （2）8622+-ax x a （3）2 2151112y xy x --

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．

新浙教版数学七年级(下册)第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共7小题） 7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为． 8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：． 9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是． 10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是． 11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2= ． 12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2★（﹣2）=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab ④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）． 13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．

初中数学因式分解培优训练

第一讲:因式分解(一）多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）．下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2；（6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２．（２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导．解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推

培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

3、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：

因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. (1) (2) 分析：分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。解： 4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数即可。解：一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中常用的因式变换。解： 5、中考点拨：例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：

八年级数学下培优卷因式分解

八年级数学下培优卷：因式分解知识点一、因式分解的意义 1．下列由左边到右边的变形，是分解因式的有（） ①a 2﹣9=（3）（a ﹣3） ②（2）（m ﹣2）2﹣4 ③a 2﹣b 2=（）（a ﹣b ）+1 ④2π2π2π（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（） A ． a 2x ﹣（﹣1） B ． a 2﹣32（a ﹣3）+2 C ． 2x （x ﹣1）=2x 2﹣22x D ． x 21=（1）2 知识点二、提公因式法：1．观察下列各式：①2和； ②5m （a ﹣b ）和﹣； ③3（）和﹣a ﹣b ；④x 2﹣y 2和x 22；其中有公因式的是（） A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 2．把多项式9a 2b 2﹣182分解因式时，应提出的公因式是（） A ． 9a 2b B ． 92 C ． a 2b 2 D ． 182 3．分解因式﹣22+6x 3y 2﹣10时，合理地提取的公因式应为（） A ． ﹣22 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 2x 2y 4．把多项式p 2（a ﹣1）（1﹣a ）分解因式的结果是（） A ．（a ﹣1）（p 2） B ．（a ﹣1）（p 2﹣p ） C ． p （a ﹣1）（p ﹣1） D ． p （a ﹣1）（1） 5．下列多项式的分解因式，正确的是（） A ． 8﹣12a 2x 2=4（2﹣3） B ． ﹣6x 3+6x 2﹣12﹣6x （x 2﹣2） C ． 4x 2﹣622x （2x ﹣3y ） D ． ﹣3a 29﹣6﹣3y （a 2+3a ﹣2） 6、22)()(y x x y -=-；（2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 7．多项式10a （x ﹣y ）2﹣5b （y ﹣x ）的公因式是． 8、不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++ 9、分解因式：(1)、322x x x ()()--- （2）412132q p p ()()-+- （3）-+-41222332m n m n mn （4）2 1222+ +x x

因式分解培优专题(一)

初三数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。解： 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解： 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。解： 4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。解：

(完整)因式分解提高培优

因式分解拓展提高(1) ① 2 x 7x 6 ; ②3x 2 2x 1 ； ③ x 2 5x 6 ； ④ 4x 2 5x 9; 2 ⑤15x 23x 8 ； ⑥ x 4 11x 2 12 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D .5个 -二、填空题 7 . 2 x 3x 10 & 2 m 5m 6 (m + a)(m + b). a = ,b = 9 . 2x 2 5x 3 (x — 3)( ). 10 2 .x 2y 2 (x — y)( ____ ). 11. a 2 -a ( _________ ) ( _________ 2. m 12 .当k= _____ 时，多项式3x 2 7x k 有一个因式为( ___________ 17 3 22 3 13 .若x — y = 6, xy ，则代数式x y 2x y xy 的值为 36 三、解答题 14 .把下列各式分解因式： (1) x 4 7x 2 6 ； (3) 4x 4 65x 2 y 2 16y 4 ； (5) 6a 4 5a 3 4a 2 ； 4 2 (2) x 5x 36 ; (4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ； (6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4. 15 .把下列各式分解因式： 2 2,2 (1) (x 3) 4x ； 2 2 2 2 一、选择题 1.如果X 2 px q (x a)(x b)，那么p 等于 A . ab 2 2.如杲 x (a b) x 5b C . — ab 2 x x 30，贝y b 为 D . - (a + b) B . — 6 C . — 5 D . 6 3.多项式x 2 3x a 可分解为(x — 5)(x — b)，则a , b 的值分别为 A . 10 和一2 B . — 10 和 2 C . 10 和 2 D . — 10 和一2 4.不能用十字相乘法分解的是 A . x 2 x 2 C . 4x 2 x 2 B . 3x 2 10x 2 3x D . 5x 2 6xy 8y 2 5. 分解结果等于(x + y — 4)(2x + 2y — 5)的多项式是 A . 2(x y)2 13(x y) 20 B . (2x 2y)2 13(x y) 20 C . 2(x y)2 13(x y) 20 D . 2(x y)2 9(x y) 20 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x — 1的多项式有 () () () () () () .). (2) x 2(x 2)2 9; (4) (x 2 x)2 2 17(x x) 60 ；

七年级数学因式分解培优试题

1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解：（1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+

因式分解提高培优

一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题 14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ；（2）3652 4--x x ；（3）422416654y y x x +-；（4）633687b b a a --；（5）234456a a a --；（6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．

因式分解方法培优试题

2015年因式分解方法培优试题专题一、（1）提公因式法. （2）运用公式法. 例（1）分解因式（2）专题二、分组分解法在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式例3、（1）分解因式：ay ax y x ++-2 2（2）2 222c b ab a -+- 例4、已知x －2y ＝3，求的值。专题三、配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．例5、分解因式：34442 2-+--y y x x

练习5（1）分解因式：3242 2+++-b a b a 的结果是．（2）若25)(22 2++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．专题四、十字相乘法对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项（a 、b 、c 都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。例6、分解因式：652 ++x x 练习6、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 例7、分解因式：672+-x x 练习7、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例8、分解因式：101132+-x x 练习8、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y

因式分解培优提高题用

1、因式分解：（1）34x x - （2）42 82a a - （3）22 33m n m n --- （4）2 2 24x xy y ++- （5）2 25x xy x +- （6）2 2 25x y xy xy +- （7）432 462x x x --+ （8）4 2 3 4 462x y x y xy --+ （9）()()2232a x y b x y --- （10）()()()223242a x y b y x c x y ----- （11）()()2 2 4292a b a b --+ （13）22111439 x xy y -+- （12）()()2961a b a b ++++ （13）22111439 x xy y -+-

（14）()()() 22 2316131p x y p x y p x +++++2 15(2)(3)4x x x +++-（）（16）y y x x 3922--- （17）yz z y x 22 22--- （18）652++x x （19）672 +-x x （20）101132+-x x （21）6752 -+x x 2、求证：不论x 、y 为何有理数，2 2 10845x y x y +-++的值均为正数。 3、若a 为整数，证明()2 211a +-能被8整除。 4、计算：3232 2002220022000 200220022003 -?-+-

5、已知22 26100a a b b ++-+=，求a 、b 的值。 6、如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片．利用1个a a ?的正方形，1个b b ?的正方形和2个a b ?的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________. 7、给出三个多项式： 21212x x +-，21412 x x ++，21 22x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8、在三个整式2 2 2 2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解． 9、当a 、b 的值为多少时，多项式2 2 3625a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。 10、若一个三角形的三边长a ，b ，c ，满足2 2 2 2220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的