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第一章复数与复变函数

复变函数与积分变换

参考用书

《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003. 6

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社

《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996. 5

第一章复数与复变函数

一. 目的要求

1 熟练掌握复数的各种表示法及其运算

2 深刻理解复变函数的概念；理解区域、复平面、扩充复平面、简单曲线及概念。

3 了解复变函数的极限与连续。

二. 主要内容

1 复数的五种表示法[（a,b）、a+ib、向量、三角形式、指数形式]及其运算。

2 复数的模、辐角、共轭复数及简单运算。

3 # 复数在几何中的应用。

4 棣莫拂公式和复数的n次方根。

5 平面点集，区域（单连通，复连通），曲线（连续曲线、简单曲线），复平面。

6 无穷远点，Δ复球面，扩充复平面。

7 复变函数概念，*几何意义，极限与连续。

重点：复数的表示法及其运算，复变函数的概念。

难点：单连通域，复连通域，*复变函数的几何意义。

内容提要: 复变函数就是自变量为复数的函数, 本章先学习复数的概念、性质与运算,然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续. 本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处, 可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广.

1. 1 复数

1. 2 复数的三角表示

1. 3 平面点集的一般概念

1. 4 无穷大与复球面

1. 5 复变函数

本章小结

思考题

第一节复数一、复数的基本概念

定义1: 设x 与y 都是实数, 称x iy +为复数, 记为: z x iy =+

称x 为z 的实部(Real ), 记Re z x = 称y 为z 的实部(Imaginary), 记Im z y =

例如

: ,z i =

则Re Im 1z z ==

特别地, 当0y =时, 则z x =为实数; 当0x =且0y ≠时, 则z iy =, 称为纯虚数; 定义2: 设两复数111z x iy =+与222z x iy =+, 则121212z z x x y y =?==，即

1212Re Re ,Im Im z z z z ==

二、复数的代数运算 1. 复数的和、差、积、商

设两复数111z x iy =+与222z x iy =+, 则: 和与差: 121212()(z z x x i y y ±=+±+) 积: 1212121221()()z z x x y y i x y x y ?=-++ 商:

112122112

2222222222

()(),0z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++

. 2. 共扼复数及性质

定义3: 设复数z x iy =+, 则称复数x iy -为z 的共轭复数, 记做z .

重要性质:

()

1212121222222(1),,(2)(3)(Re )(Im )(4)2Re ,2Im z z z z z z z z z z z z z z

zz z z z z z z z z i z

???±=+==

? ????

=??=+=??+=-=?? 例1. 计算复数

3223i i

解: 法一(商的公式)

11212211222222222

2222232(2)32(2)33()()2323z x x y y x y x y i i i z x y x y +-?+-??--?=+=+=-++++ 法二(共轭性质)

______

11212___2222222

(32)(23)(66)(49)||(23)(23)23

z z z z z i i i i z z i i z z ??---+--=====-+-+?

, 在后面计算中要灵活运用共轭.

例2. 设

2)()0x y i x y ++++=（, 求实数,x y . 解: 由题意得2

x y x y ++=??

+=? 解得: 11x y =-??

=-?或2

4x y =??=-?

例3. 设复数131i

z i i

=--

-, 求Re(),Im()z z 与zz .

解: 因为133(1)31

1()(1)(1)22

i i i i z i i i i i i i +=--

=-=----+

所以2231315Re ,Im ,()()22222

z z zz =

=-=+-= 例4. 设111222,z x iy z x iy =+=+为两个任意复数, 证明: 1212122Re z z z z z z +=.

证明: 证法一:

121211231122()()()()z z z z x iy x iy x iy x iy +=+-+-+

1212211212122112()()()()x x y y i x y x y x x y y i x y x y =++-++-- 2121212()2R e x x y y z z

=+= 证法二:

12121212z z z z z z z z +=+

12122R e ()2R e (

)

z z z z ==

第二节复数的表示法一、复平面

定义: 由实轴(x 轴), 虚轴(y 轴)按直角坐标系构成的平面, 称为复平面(或z 平面),

在复平面内任意一点(,)M x y 与复数z x iy =+是一一对应的. 复数的模:

z r =

复数的幅角: Argz θ=

主幅角: (,]argz ππ∈-, 2(0,1,2,)Argz argz k k π

=+=±±??????

: 一复数的辐角Argz 是多值的二、复数的表示法 1. 复数的向量表示法

OM z x iy ==+ , 因此tan()y

z r Argz x

===, 显然有不等式:

,,,x z y z z x y z x y ≤≤≤+≥-; 2

2zz z z ==

21z z -表示1z 与2z 的距离12121212,z z z z z z z z +≤+-≥-, 共轭复数之间的几何关

系z x iy =+与z x iy =-, 关于x 轴对称且有: z z =, arg arg z z =-

2. 复数的三角表示法

利用直角坐标与极坐标的关系: cos ,sin x r y r θθ==

复数的三角表示式: (cos sin )(cos sin )z x iy r i z i θθθθ=+=+=+

(c o s s i n )[c o s ()s i n ()]

z r i r i θ

θθθ=-=-+- 3. 复数的指数表示法

利用欧拉公式: cos sin i e

i θ

θθ=+

复数的指数表示式: ,i i i z z e

re z z e θ

θθ-===

cos ,sin cos sin arctan

(cos sin )i x r y r e i i y r x

z x iy z r i z re θ

θθθθ

θθθ===+=→?????→=+=+=?←?????

: 复数的三角表示式不是唯一的, 因为辐角有无穷多种选择, 如果有两个三角表示式相等:

111222(cos sin )(cos sin ),r i r i θθθθ+=+则可以推出: 12,r r =122,k θθπ=+其中k 为整数

例1. 将2z i =化为三角表示式和指数表示式.

解: 4,z r ==因为幅角θ在第三象限, 则

31tan (,),tan tan(2)2(,),2252266y x θθππθθπθππππθπππππ

=∈?=-=-∈--?==+-=-=-

于是5

54[cos()sin()]66

z i ππ=-+- :

arg tan ,0,0,0,arg 20arctan ,0,0

,0,0y x y x x y z z y

x y x x y πππ?

>≥??

?±=≠=?

≠?±

?<=?

当当0>当<当练习将32z i =-+化为三角表示式和指数表示式.

解: 模|32|r i =-+= 主辐角22

arctan

arctan 33

θππ=+=--

(t a n)

arctan)sin(arctan)]

arc i

z iπ

ππ-

=-+-=

例2. 将直线方程32

x y

+=化为复数表示式.

解: 由于2

z z x

+=, 2

z z iy

-=, 可得:

()

x z z

=+,

()

y z z

代入32

x y

+=得:

()()2

z z z z

++-=, 化简得: ()3()4

i z z z z i

++-=

: (3)(3)4

i z i z i

++-+=为复数形式的直线方程, 复数形式的直线方程为()0

f z=

定义: 复数形式的参数方程,

若平面上曲线的参数方程为:

()

x x t

t D

y y t

∈

, 则定义()(),

z x t iy t t D

=+∈为复数形式的参数方程

例3.通过两点

111

z x iy

=+与

222

z x iy

=+的直线用复数的参数方程来表示

解:通过两点

(,)

x y与

(,)

x y的直线方程为11

2121

y y x x

参数方程为121

121

()

x x t x x

y y t y y

=+-

-∞<<+∞

=+-

由参数式得复数形式参数方程为

121

(),()

z z t z z t

=+--∞<<+∞

所以连接

111

z x iy

=+与

222

z x iy

=+的直线段的参数方程为:

121

(),()

z z t z z t

=+--∞<<+∞

: 过

z与

z两点的直线段的参数方程为:

121

()

z z z z t

=+-

例4. 求下列方程所表示的曲线

(1)2,

z i+=(2)22,

z i z

-=+(3)Im() 4.

i z

+=解: (1)2

z i+=表示与点i-距离为2的点的轨迹, 即圆心为i-, 半径为2的圆化为直角坐标方程: 2

=, 化简得: 22

(1)4

x y

++=.

(2)22z i z -=+到2i 与2-距离相等点的轨迹, 即表示曲线是连接2i 和2-的线段的垂直平分线化为直角坐标方程为: y x =-

(3)Im()4i z +=. 设z x iy =+, 那么(1)i z x y i +=+-代入得: 14y -=, 即:

3y =-

三、复数的三角表示及指数表示作乘除法

设有两复数1

11111(cos sin )||i z z z e

θθθ=+=222222(cos sin )||i z z z e θθθ=+=那么

121212121212[(cos cos sin sin )(cos sin sin cos )]z z z z i θθθθθθθθ?=?-++

12()12121212[(cos()(sin())]i z z i z z e θθθθθθ+=?+++=?

即: 模1212z z z z ?=?辐角1212Argz z Argz Argz ?=+

定理1: 两个复数乘积的模等于它们模的乘积, 幅角等于它们的幅角之和.

说明: (1)多值函数相等的理解: 由于幅角是多值的, 1212Arg

z z Argz Argz ?=+（）理解为: 对于左端的任一个值, 右端有一值与它对应, 反之也一样; 例如: 若12k k k Z ∈，，, 则12k k k =+成立.

若12k k k Z ∈，，, 则12k k k =+2不成立.

(2)当用向量表示复数时, 表示乘积12z z ?的向量是从表示1z 的向量旋转一个角度

2Argz , 并伸长(缩短)到2z 倍得到.

例如: 若2

z i e

==, 22i z z e θ

=, 则()2

12i z z iz z e

θ+?==, 12z z ?只由2z 通过逆时针旋

转

π, 没伸缩. 再如, z -相当于z 通过逆时针旋转0

180而得. (3)若1

,n i i n n z re z r e θ

== , 可得12()

1212n i n n z z z r r r e θθθ+++??=

定理2: 两复数的商的模等于它们模的商, 幅角等于被除数与除数的幅角之差.

证明: 111i z z e θ

=, 2

22i z z e

θ=, 1(0)z ≠

2211()

222111

||||i i i z z e z e z z e z θθθθ-== 即: 模

2211z z z z =, 辐角2211

Arg Argz Argz z =- 例5. 用三角表示式和指数表示式计算下列复数

(1)(1)()i (2)

212i

+- 解:

(1) 312(cos sin )233i i e πππ=+=

, 56552[cos()sin()]266

i i i e πππ

-=-+-=

所以2

(1)()4[cos()sin()]442

i i i e

i π

-=-

+-==-

(2) 1

arg tan 2

112arg tan sin arg tan )22

i i i +=+=

arg tan(2)12tan(2)sin arg tan(2))i i i --=-+-=

所以

211

[cos(arg tan arg tan 2)sin(arg tan arg tan 2)]1222

i i i +=+++- 1

(arg tan arg tan 2)2

四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1. 乘方公式

设复数i z re θ

=, 则乘方(cos sin )n

n in n z r e

r n i n θ

θθ==+, 当1z =时, 有

(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+这公式称棣摩弗公式

2. 开方公式

设复数(cos sin )i z re r i θ

θθ==+, 则

112

[cos sin]

n n n

k k

w r i r e

n n

θπ

θπθπ+

==+=, 1,2,,1

k n

当0,1,2,3,1

k n

时, 得n个相异的根, 当,1,

k n n

=+ 时, 这些根又重复出现(2)在几何上, 的n个值是以原点为中心

r为半径的圆的内接正n边形的n个顶点

例7. 计算下列各题:

(1)(1)

+(2)

解: (1)33

(1)[2(cos sin)]8(cos sin)8

i i

ππ

+=+=+=-

(2)1sin)

i i

ππ

+=+

sin)]

ππ

sin)

k k

ππ

=+, 0,1,2,3

即:

sin)

1616

w i

ππ

sin)

1616

w i

ππ

1717

sin)

1616

w i

ππ

2525

(c o s s i n)

1616

w i

ππ

这四个根是内接于中心在原点, 的圆的正方形的顶点, 且

103040

w iw w iw w iw

==-=

例8. 310

z-=

解:方程310

z-=, 即31

z=, 其解为

102

[cos0sin0]cos sin,0,1,2

k k

z i i e k

ππ+

==+=+==0

z e

221

cos()sin()

332

z e i

πππ

==+=-+,

441

cos sin

332

z e i

πππ

==+=--

作业习题一

P28 1.1 (3) (4) 1.3 1.4 1.6 (2) (4) 1.9 (1) (2)

第三节平面点集的一般概念

研究复变函数问题, 和实函数一样, 每个复变量都有自己的变化范围, 复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域. 一、开集与闭集

1. 邻域: 平面上以0z 为中心,

0δ>为半径的圆的内部点的集合0z z δ-<, 称为0z 的

0δ>的邻域, 00z z δ<-<所确定的点集称为0z 的去心邻域.

2. 内点: 设G 是平面点集, 0z 为G 中任一点, 如果存在0z 的一个邻域, 该邻域内的所有

点都属于G , 则称0z 为G 的内点.

3. 开集: 如果G 中的每一点都是内点, 称G 为开集.

4. 余集: 平面上不属于G 的点的全体称为G 的余集, 记做C

G , 开集的余集称为为闭集. 5. 边界: 如果点0z 的任意邻域内既有G 的点又有C

G 的点, 则称0z 是G 的边界点, G 的

边界点全体称为G 的边界.

6. 孤立点: 0z G ∈, 若在0z 的某一邻域内0z 外不含G 的点, 则称0z 是G 的一个孤立点.

7. 有界集与无界集: 如果存在一个以点0z =为中心的圆盘包含G , 称G 为有界集, 否

则称G 为无界集.

边界

例如: {:||}G z z R =<是开集; ||z R =是G 的边界. {||}G z z R =≥：是闭集, 因为它的余

集{||}C

G z z R =<：

是开集; 二、区域

1. 连通: 设G 中任何两点都可以用完全属于G 的折线连接起来, 则称G 是连通的.

2. 区域: 连通的开集称为区域, 记为D

3. 闭区域: 区域D 与它的边界一起构成闭区域, 记为D

4. 有界、无界区域: (如上定义)

5. 圆环域: 满足不等式112r z z r <-<的所有点构成的区域. 例如: 有界域: 0z z R -<, 112r z z r <-<

无界域: 0z z R ->, Im 0z > 角形域: 0arg z ?<< 带形域: Im a z b <<

例1. 试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形, 并指出哪些是区域:

(1)0z z +> (2)|2|1z i +-≥ (3)0arg 3

z π

解: (1)20z z x +=>, 即是0x >表示右半平面, 这是一个区域.

(2) |2)||(2)|1z i z i +-=--+≥这表示以2i -+为中心, 以1为半径的圆周连同其外部区域, 这是一个闭区域

(3) 0arg 3

z π

<<表示介于两射线0arg 3

z π

及arg 3

z π

之间的一个角形区域.

三、平面曲线 1. 平面曲线的复数式

若(),()x t y t 是两个连续实函数, 则()

,()()x x t a t b y y t =?≤≤?

表示一个平面曲线的参数方

程, 称为连续曲线. 令()()()z t x t iy t =+, 平面曲线的复数形式参数方程例2. 方程()cos sin (02)z z t t i t

t π==+≤≤表示怎么样的曲线？

解: cos sin x t

y t =??

, 02t π≤≤圆周参数方程

02t π≤≤, 1z =

例3. 方程(1)01z i t t =+≤≤，表示怎样的曲线？

解: (01)x t

t y t =?≤≤?=?

直线的参数方程或y x = (1)01z i t t =+≤≤，表示过点1201z z i ==+，的直线段.

2. 光滑曲线

设函数(),()x t y t 满足: (1)(),()x t y t ''在区间[,]a b 内连续. (2)当[,]t a b ∈时, 2

[()][()]0x t y t ''+≠则称曲线()()z x t iy t =+为光滑曲线.

由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线. 例4. 2

(11)z t it t =+-≤≤表示怎样的曲线?

解: 它相当于2

,x t y t ==, 可得: y x =±

容易验证: 当0t =时, 有(0)(0)0x y ''==, 曲线在0t =处不光滑因此该曲线是分段光滑曲线.

3. 简单闭曲线

分别称(),()z a z b 为曲线()z z t =的起点与终点, 若曲线()()z z t a t b =≤≤，满足下列条件: (1)()()z a z b =(2)当12t t ≠时, 有12()()z t z t ≠; 则称这条曲线为简单闭曲线.

简单闭曲线非简单闭曲线

4. 单连通区域与多连通区域

设D 为一平面区域, 若在D 中任作一条简单闭曲线, 而曲线内部总属于D, 则称D 为单连通区域, 否则是多连通区域.

单连通区域的特征: 属于D 的任何一条简单闭曲线, 在D 内可经过连续变形而缩成一点.

单连通区域多连通区域

第四节无穷大与复球面一、无穷远点

为了讨论问题方便, 我们不但要讨论有限复数, 还要讨论一个特殊的复数-----无穷大, 记做∞, 它是由下式定义的: 1

∞=

它与有限数0,a ≠∞的四则运算下: 加: a a +∞=∞+=∞

减: ,a a -∞=∞∞-=∞ 乘: a a ?∞=∞?=∞

除:

0,a a ∞

==∞∞ (1) 0,,0,,0∞

?∞∞?∞∞±∞∞

仍然无意义;

(2) 对于复数∞来说, 其模规定为∞+, 而实部, 虚部和辐角均没有意义因此对于复数

z , 都有||z <+∞, 则称z 为有限复数;

(3) 在复平面上我们可以设想复平面上有一个理想点与∞对应, 这个点称为无穷远点,

复平面加上无穷远点称为扩充复平面, 扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点.

(4) 无穷远点的邻域: 包含无穷远点自身在内且满足||(0)z M M >>的所有点的集合. (5) 无穷远点的去心邻域: 不包含无穷远点自身在内且满足||(0)z M M >>的所有点的集合.

二、复球面

复球面定义: 球面上的每一点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面;

N ?←???→除北极外

复数复平面上的点球面上的点 N ∞??无穷远点点

第五节复变函数一、复变函数的概念

1. 定义: 设G 是一个复数的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合中

的每一个复数z G ∈, 就是一个或几个复数w u iv =+与之对应, 那么称复变数w 是复变数z 的函数, 即复变函数, 记做()w f z =

说明: (1) 若z 的一个值对应着w 的一个值, 称()f z 为单值函数, 若对应着两个或两个以上

个值, 称()f z 为多值函数;

(2) 这里G 称为()f z 的定义集合(定义域), 而对应于G 中所有z 的一切w 值组成的集合*

G , 称为函数值的集合. 2. 复变函数与二元函数的关系

()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+, ()(,),(,)w f z u u x y v v x y =?==相当于

为两个两元实函

数因此可以利用两个二元实变函数来讨论复变函数()w f z =. 例1. 求复变函数2

w z =对应的两个二元函数.

解: 设z x iy =+, 2

()()2w z x iy x y i xy ==+=-+故对应的二元函数为2

,2u x y v xy =-=. 例2. 将下列两个二元实变函数表示为复变函数, 即用,z z 表示:

(1)222222

(,)(,)(0)x y

u x y v x y x y x y x y =

=+≠++， (2)3w x iy =+

解: (1)221

x iy z w u iv x y z

zz +=+=

==+

(2)11

33()()222w x iy z z i

z z z z i

=+=++-=+ 3. 映射的概念

在“高等数学”中, 常把函数用几何图形来表示. 这样, 可以直观地帮助我们理解和研究函数的性质. 对于复变函数, 由于它反映了两对变量和之间的对应关系, 因而无法用同一个平面的几何图形表示出来, 必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系.

实函数()y f x =, 是x y →, 可用直角坐标系来表示;

复变函数()w f z =, 是(,)(,)x y u v →点点, 用两个复平面来表示. 例3. 研究函数w z =构成的映射.

解: 00w z

z a ib w a bi ==+→=-, 若把z 平面和w 平面重叠在一起, 则w z =是关于实

轴的一个对称映射.

例4. 函数1w z

将z 平面上曲线22

4x y +=映成w 平面上怎样的曲线? 解: w 平面上怎样的曲线

,w z

u v =

←??→满足怎样的关系?

1x iy w z x y

=+2222,x y

u v x y x y -?==++ 由2

4x y +=得: ,44x y

u v -=

消去,x y 得: 221

u v +=

例5. 研究函数2

w z =构成的映射.

(1) 将z 平面上角形域0arg z α<<映射到w 成怎样域? (2) 将z 平面上给出圆周1z =映射到w 平面成怎样曲线? (3) 将z 平面中11

1,,1,22

x x y y ==

==映射到w 平面怎样曲线? (4) 2

w z =将w 平面上的直线12,u C v C ==映射成z 平面的怎样的曲线? 解: (1) 由乘法的模与幅角定理可知: 其象是2倍角域, 即2

0arg 2z α<< (2) 曲线2

11z z ωω==?

(3) 因为2

()2w x iy x y i xy =+=-+, 所以2

(,),

(,)2u x y x y v x y xy =-=,

z 平面上直线1x =代入上式, 得: 2

1,2u y v y =-=, 消去y 得: 2

v u =-

(4) 2

2212,

2,2u x y v xy x y C xy C =-=?-==是z 平面上的双曲线.

反函数(逆映射)

设函数()w f z =定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G *

, 那么G *中每一点w 将对应G 中的点, 按函数定义, 在G *

上确定一个函数()z w ?=, 称为()w f z =的反函数或逆映射, 记1

()w f z -=.

二、复变函数的极限和连续 1. 复变函数的极限

定义 1. 设函数()w f z =在0z 的去心邻域00z z ρ<-<内有定义, 如果有一个确定的复

数A 存在, 对于任意给定的0ε>, 总存在一个正数()(0)δεδρ<≤, 使得对

满足00z z δ<-<的一切z , 都有()f z A ε-<, 那么称A 为函数()f z 当z 趋向0z 时的极限, 记做0

lim ()z z f z A →=0()(f z A z z →→当时).

定理1. 设函数00000()(,)(,),,

,f z u x y iv x y A u iv z x iy =+=+=+则

0,0

00lim ()lim

(,),

lim

(,)z z x x y y x x y y f z A u x y u v x y v →→→→→=?

证明: 必要性

0lim ()0,0z z f z A z z εδ→=??><-=<时,

有00()()()f z A u u i v v ε-=-+-=

而000()()u u i v v u u -+-≥-, 000()()u u i v v v v -+-≥-0ε??>,

当0δ<

<时, 有0u u ε-<与0v v ε-<, 即:

0,lim

(,)x x y y u x y u →→=

0,lim

(,)x x y y v x y v →→=

充分性已知

0,0

00lim

(,),

lim

(,)x x y y x x y y u x y u v x y v →→→→==, 0ε??>, 当

0δ<<时, 有00,

u u v v ε

, 而

0000()()()f z A u u i v v u u v v -=-+-≤-+-

所以当00z z δ<-<时, 有()2

f z A ε

ε-<

=, 即: 0

lim ()z z f z A →=

这个定理是将求复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+的极限问题转化为求两个二元实函数(,),(,)u u x y v v x y ==的极限问题. 说明: 关于含∞的极限可以作如下定义:

lim ()lim ()t z f a f z a t

→→∞=?=(a 为有限复数) 0

lim

0lim ()()

z z z z f z f z →→=?=∞

lim

0lim ()1

()t z f z f t

→→∞=?=∞

定理2. 如果0

lim ()z z f z A →=,0

lim ()z z g z B →=,则

(1) 0

lim[()()]z z f z g z A B →±=±

(2) 0

lim ()()z z f z g z A B →?=?

(3) 0

()lim

,(0)()z z f z A

B g z B

→=≠ 例1. 证明函数Re ()z

f z z

,当0z z →时,极限不存在. 证明: 设z x iy =+,

则Re ()z

f z z

=让0z →沿着直线y kx =趋向0,则

lim ()lim (,)lim

z y kx y kx f z u x y →=→=→===

该极限跟随k 的不同而不同,故极限0

lim ()z z f z →不存在.

另证: 设(cos sin )z r i θθ=+,则cos ()cos r f z r

θ=

=,当z 沿不同射线arg z θ=趋向于0时,()f z 趋向不同的值.比如:当z 沿实轴arg 0z =趋向于零时,函数

()1f z →;当z 沿虚轴arg 2

z π

趋向零时,函数()0f z →.

2. 复变函数的连续性

如果0

0lim ()()z z f z f z →=,则称函数()f z 在点0z 处是连续的, 如果()f z 在区域D 内处处

连续,则称()f z 在D 上的连续函数.

定理 3. 函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在点000z x iy =+处连续的充分必要条件是二元函数

(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 处连续.

例2. 讨论函数2

()ln()()f z x y i x y =++-的连续性.

解: 二元函数2

22ln(),

u x y v x y =+=-,在除了(0,0)外处处连续,故函数()f z 在

复平面上除了(0,0)外处处连续.

说明: 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同,

因此高等数学中的有关定理依然成立, 因此又有有界闭区域上连续函数的性质. 定理4. (1) 连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数;

(2) 连续函数的复合函数是连续函数;

(3) 有界闭区域D 上的连续函数()f z 是有界的;

(4) 有界闭区域D 上的连续函数()f z ,在D 上其模|()|f z 可取得最大值和最小值.

定义: 有界闭区域D 上的连续函数()f z 在D 上是一致连续的:

0,0,,:||z z D z z εδδ''?>?>?∈-<, 都有|()()|f z f z ε'-<.

作业: 1.10 (1) (2) 1.11 (1) (3) (5) 1.12 (1) 1.13 (2)

复数与复变函数

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数

第1章复数与复变函数-难题解答

第一章复数与复变函数 §习题 2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1 1 ||||n n k k k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z = .由题2知， z a bi a b ≤+=+ 故22 22 2222 2 22||2 2 22 a a b b a b a b a b ab z +++++= = +≤+=， (Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2 2 2 21210.z z z z λ≠= 则2 2 2 2212122 121 112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=- 即有21212||z z z z λλ-=-成立. 5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则 11z a az -=-. 证明：由1z =得1zz = 故11z a z azz z az az -=-=-=-

即证之. 6．设|a |<1，|z|<1.证明： 11z a az -<-. 证明：提示：（ 11z a az -<-?2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+ 而2 2 2 2 2 2 1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->） 7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式： 2 2 2 2 1 1 1 1()(),n n n k j j j j j j k j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ 并由此推出Cauchy 不等式： 22 2 1 11 n n n j j j j j j j z z ω ω===???? = ??? ???? ??? ∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω?? = ??? ， 1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω?? ? ?? ? =≥ ? ??? ? ??? ， 2 det det ||j k j j j k k j j k k k z z z z z z ωωωωωω?? ??=- ? ? ? ????? ，则原式=2 10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2111 112 22212 11...det det .........n n j j j j j n n n n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====???? ? ??? ? ? = ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??∑∑∑∑ 2 2 2 1 1 1 ()()0n n n j j j j j j j z z ωω ====- ≥∑ ∑∑.（2）由（1）=（2）可得证.

复变函数论第一章复数与复变函数

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为 5+525(15)40--=．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章 §1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时. 1．复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位．两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答（一） 1 ．设z =z 及Arcz 。解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

第一章复数与复变函数

第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

复变函数第二章学习方法导学

第二章解析函数解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质．一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．

第一章-复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度第二学期任课教师郭城课程名称复变函数采用教材高教三版（钟玉泉编）周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班

引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac

第一章复数与复变函数

第一章复数与复变函数第一节复数 1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。复数111iy x z +=和2 22iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。复数的四则运算定义为： )2 1()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1 221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222 a i b a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。 2．复平面 C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。 3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定 (,) x y

义为：||z 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： Arg arctan 2y z i x π=+（k Z ∈）。复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1 z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212 z z z z +≥-；（3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212 z z z z -≥-；（5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程： 22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2 b i c β=+。 2z

复变函数论作业及答案

习题1 第一章复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3．解二项方程440z a += )0(>a 解由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+

54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5．设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数论第四版第一章练习

复变函数论第一章练习题 2014-03 一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。 1. 设(1)(2)(3)(3)(2) i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数2 3(cos5sin 5)(cos3sin 3) i i θθθθ+-和复数tan ()2z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式. 3. 设0,2x π <<试求复数1tan 1tan i x z i x -=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角. 5. 设3||),4z z i π=-= 求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值. 7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤ 8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥?≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a +=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+. 10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值. 11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值. 12. 一个向量顺时针旋转 3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程二、复数在几何上的应用 1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线

复数与复变函数

第一讲复数及复变函数 1.复数的基本概念 R ∈+=y x y i x z , , ．其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为： Im , Re z y z x ==．设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定 212121 , y y x x z z ==?=．当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示． a ．复数的运算设222111 , y i x z y i x z +=+=，则 b ．复数的模与幅角复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用．容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合．复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴．设y i x z +=，称为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为 π2 Arg k z +=θ，其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ．由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则 θθsin ,cos r y r x ==．若记θθθsin cos e i i +=，则 θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3)

复变函数试题(卷)和答案解析

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+-

第1章复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解 1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231+ 解： () ()() 13 234 9232323231231i i i i i i -=+-=-+-= + 实部：133231 = ??? ?? +i Re 虚部：132231- =??? ?? +i Im 共轭复数：1323231 i i +=? ?? ?? + 模： 13 113 232312 2 2= += +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3 13 22231231+?? ? ??-=+-=+?? ? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： () ()() 2 532 3321 133******** i i i i i i i i i i i i i i -= -+-= ++-- -=+-+- =-- 实部：23 131=??? ??-- i i i Re 虚部：25 131-=??? ??-- i i i Im 共轭复数：2 53131i i i i +=? ?? ??-- 模： 2 344 342 531312 2 2= = += -- i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2352232 52131131+??? ??-=+??? ? ? ??-=+?? ? ??--=??? ??--arg

3) ()() i i i 25243-+ 解： ()()()2 2672 2672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=? ? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292 522627252432 2= ? ? ? ??-+??? ??-= -+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 27262272 26 25243+??? ??=+??? ? ? ??--=?? ? ??-+ 4) i i i +-2184 解：i i i i i i 31414218-=+-=+- 实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()3421 8 -=+-i i i Im 共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：103 142 221 8 =+=+-i i i 辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+?? ? ? ?- =++-=+-arg 2．当x 、y 等于什么实数时，等式() i i y i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ? ? ?=-=+832 1y x ???==?111y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

复变函数论第三版课后习题标准答案

复变函数论第三版课后习题答案

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第一章习题解答（一） 1．设132 i z -=，求z 及Arcz 。解：由于3132 i i z e π--== 所以1z =，2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2．设121,312 i z z +==-，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于64121,322 i i i z e z i e ππ -+===-= 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。解：1 24 444 4 (),0,1,2,3k i i z a a e ae k ππ π+=-===。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321 ===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。证由于1321===z z z ，知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 333 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答 (一) 1. 设z ,求z 及Arcz 。解: 由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2. 设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解: 由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i i i z z e e e e ππππ π--=== 54()1461226 11222i i i i z e e e z e πππππ+-===。 3.解二项方程440,(0)z a a +=>。解 :12444(),0,1,2,3k i i z a e ae k πππ+====。 4.证明2221212 122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。证明:由于22212 12122Re()z z z z z z +=++ 2221212122Re()z z z z z z -=+- 所以2221212122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义就是:平行四边形对角线长平方与等于于两边长的与的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件: 0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3就是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321===z z z ,知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 3331z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以, 1212 1-=+z z z z , 又 )())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

《复变函数论》试题(D)

《复变函数论》试题（D ） Ⅰ. Cloze Tests （20102=? Points ） 1. If n n n n i i z ?? ? ??++??? ??-=1153，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a positive integer ，then )(10=-?C n dz z z . 3. The radius of the power series ∑∞=++13)12(n n z n n is . 4. The singular points of the function )3(cos )(2+= z z z z f are . 5. 0 ,)exp(s Re 2=?? ? ??n z z , where n is a positive integer. 6. =)sin (5z e dz d z . 7. Th e main argument and the modulus o f the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += . Ⅱ. True or False Questions (1553=? Points) 1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（） 2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k of f /1.（） 3. A bounded entire function must be a constant.（） 4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real and imaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（） 5. If a function f is continuous on the plane and =?C dz z f )(0 for every simple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )

复数与复变函数题库

一．复数与复变函数㈠选择 1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（） A.4 3π- B.4 π- C. 4π D.43π 3.复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（） A.e 2+2x B.e |2i+2z| C.e 2+2z D.e 2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D. π<<π2z arg 2 3 6.复数i 25 8-2516z =的辐角为（） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 7.方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（） A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 8.复数)5 isin -5 -3(cos z π π =的三角表示式为（） A ．)54isin 543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 10.下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（） A.z· z =Re(z·z ) B. z· z =Im(z·z ) C. z· z =arg(z·z ) D. z· z =|z| 11.不等式4z arg 4 π < <π -所表示的区域为（） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部 12.设复数z 满足ππ 6 5 )2arg(,3)2arg(=-= +z z ，那么=z ( )

第一章 复数与复变函数

复数与复变函数

第1章复数与复变函数-难题解答

复变函数论第一章复数与复变函数

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章复数与复变函数

复变函数第二章学习方法导学

第一章-复数与复变函数

第一章 复数与复变函数

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