拓展探究课本习题感受函数之美

拓展探究课本习题 感受函数之美

缪文珠

（无锡市第六高级中学 江苏无锡 214000）

苏霍姆林斯基曾说：“没有审美教育就没有任何教育”，把美育融入学校教育全过程之中，既是素质教育的迫切需要，也是培养全面发展的人才的必然要求。《普通高中数学课程标准(实验)》的课程目标明确提出，为满足未来个人发展与社会进步的需要，应使学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义。两者在数学的美育功能方面不谋而合一致。 数学之美不同于音乐、艺术、文学等，它具备高度的抽象之美，表达形式概括简约之美，系统的、严谨的结构统一和谐之美以及生活生产中最常见的对称之美等。

在日常的数学教学中，多数教师过于重视基本知识和技能的传授与训练，而忽略了发掘数学本身所特有的美；不善于用数学的美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣；不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，更谈不上引导学生创造数学美，以致使一些学生感到数学枯燥、乏味，失去了学习的热情。笔者努力把数学的美育渗透于教学活动之中，以教材基本内容为素材，注重培养学生从数学美的角度去观察分析研究教材，让学生自主探索挖掘教材习题中蕴含的美感因素，让学生亲自体验数学之美的发现历程，学生就会在潜移默化中受到美的熏陶．逐渐形成数学美感，进而主动地、积极地去发现数学中的美。本文以一道习题作为探究素材为例，供同行交流分享。

苏教版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修1P 71习题3.1思考运用第15题：已知

()x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0x 的图象即可。

师：很好，从图象的角度，充分利用函数的对称性，感受函数对称之美。还有没其它想法呢？

生2：也可以从代数角度推理，当0>x 时，()x x f -+=-21，由于()x f 是奇函数，即()()x x f x f ---=--=21，再画出函数图象即可。

师：很严密的代数推理过程，思路清晰，解题规范，值得同学们学习。还有没有其它解决方法呢？

生3：我的想法和生1差不多，他是从图象宏观角度思考，我是从微观角度来观察的，即观察图象上任一点的变化规律。当0>x 时，在函数()x f 任取一点()b a P ,，因为函数()x f 是

奇函数，所以点()b a P ,的对称点()b a Q --,必在()x x f 21+=上，即a b -+=-21，所以当0>x 时，()x x f ---=21，再画函数图象即可。

师：你的观察角度很独特，通过剖析图象上任意点的变化，分析，归纳，推理函数的整体变化规律，以点带面，以局部推测整体而且方法通俗易懂，让我们从微观角度欣赏函数的点对称之美，真的很不错！

生3（兴奋不已，好像有新的发现着急要说）：我发现，我的方法也可以解决类似上题的题目，如：已知()x f y =图象关于2=x 对称，当2x 时，求函数解析式。

师：不妨大胆试试看，你行的。

生3（有些犹豫）：当2>x 时，在函数()x f 任取一点()b a P ,，因为函数()x f 图象关于2=x 对称，所以点()b a P ,的对称点()b a Q --,4必在()x x f 21+=上，即a b -+=-421，所以当2>x 时，()()x a f x f ---=-=4214。

师：你的方法屡试不爽，不仅使我们感受和欣赏数学对称之美，还深化了我们对函数之美的理解。分析得相当深刻，能将这个题目作更大胆的推广吗?

生3（胸有成竹）：可以的，题目改为：已知()x f y =图象关于a x =对称，当a x <时，()x x f 21+=，当a x >时，求函数解析式。

之后同学们共同应用生3的方法进行探究，每个信心十足，亲自动手操作，很快解决这个一般性的题目，充分感受了数学对称之美。使学生理解函数的对称既是一种美，也是一种规律。

师：通过上述问题由特殊到一般的解决过程，你有什么发现吗？

生4：我发现：若函数()y f x =的图象关于x a =对称，那么函数()f x 在R 上满足

()()2f x f a x =-。可以应用生3方法证明。

师：很好，这个结论反之成立吗？（部分同学们陷入沉思，部分同学三三两两展开讨论，几分钟后）

生5：其实这个应用生3的方法证明也不难，任取点()()1,P x f x 和()()22,2P a x f a x --在函数()f x 上，又因为()()2f x f a x =-，所以点1P 、2P 关于直线x a =对称。由x 的任意性可知函数()y f x =的图象关于直线x a =对称。而且我还发现任取点()()1,P a x f a x ++和()()2,P a x f a x --在函数()f x 上，若函数()y f x =的图象关于x a =对称，则

()()f a x f a x +=-，反之证明也成立。

师：你的证明过程非常严谨，思考习惯很好，并充分发挥自己的想象力，联想类比已有的知识进行再创造，获得意想不到的收获。即

结论1：若函数()f x 的图象关于x a =对称当且仅当函数()f x 在R 上满足

()()f a x f a x +=-或()()2f x f a x =-。

经过同学们的大胆猜想，合作交流，积极思考，动手实践推理论证，，我们成功的得到一个漂亮而使用的结论。看来生3从微观角度研究函数图象上点的变化规律的方法很适合研究函数的轴对称美，那么是否也适合研究函数的中心对称美呢？即研究函数关于某点对称。一石激起千层浪，点燃了学生探索研究的火焰，学生自主三三两两展开热烈的讨论，将学习热情推向一个小高潮。几分钟后

生6（信心十足）：我们小组研究获得了新进展：若函数()f x 的图象关于点(),0a 对称当且仅当函数()f x 在R 上满足()()0f a x f a x ++-=或()()20f x f a x +-=。特别地当0a =时，函数图象关于原点对称，即函数()f x 是R 上的奇函数。证明如下：任取函数()f x 图象上的点()()1,P x f x ，其关于点(),0a 对称的点()()22,P a x f x --也在函数()y f x =上，即()()20f x f a x +-=。同理可证()()0f a x f a x ++-=，反之

任取点()()1,P x f x 和()()22,2P a x f a x --在函数()f x 上，又因为()()20f x f a x +-=，则可以表示点()()22,P a x f x --，即所以点1P

、2P 关于点(),0a 对称。由x 的任意性可知函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称。

师：很好!能不能将你们小组的研究成果推广到一般情形呢？也像结论1一样更具有一般性呢？

生6：类比结论1，这很容易推广，证明方法同上。即

结论2：若函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称当且仅当函数()f x 在R 上满足

()()2f a x f a x b ++-=或()()22f x f a x b +-=。

师：很好，这样我们不仅欣赏了函数的轴对称之美（特别地偶函数图象关于y 轴对称），也大胆探索并欣赏了函数的中心对称之美（特别地奇函数图象关于原点对称），真是美不胜收。古人云“鱼和熊掌不得兼得”。若函数同时兼备这两种美，又会怎样呢？即函数()y f x =关于x a =对称，又关于点()c b ,对称。

原本热闹的课堂峰回路转，教室一片寂静，同学们陷入沉思，各个信心十足，尝试证明，初步具备不达目的不罢休，不识破庐山真面目不止的科学探索精神。几分钟后，巡视后发现很多同学运用生3的方法，但过于复杂未果。想就此终止，留为课外探究题，突然“半路上

出个程咬金”。

生7（平时很好少发言，此时兴奋不已）：我运用结论1、2证明出来了。证明如下： 因为函数()y f x =同时关于x a =对称和点()c b ,对称，由结论1、2得， ()()2f x f a x =-，()()2222f a x f b a x c -+-+=()()222(1)f x f b a x c ∴+-+=。令22b a x m -+=，

()()c m b a f m f 222=+-+，即()()()2222 c x b a f x f =+-+由（1）

（2）式可得，()()2222f b a x f a b x -+=-+，令22a b x n -+=，()()44f b a n f n ∴-+=，即()f x 是()4T b a =-的周期函数。

此时台下传来一片掌声，同学们对此结果惊讶不已，不敢相信，纷纷检查过程，迷惑的表情才渐渐消失，柳暗花明，拨云驱雾中间庐山真面目。

师：听到同学们的由衷喝彩，可见你的探索过程和结果多么精彩。你充分利用结论1、2坚持不懈的完成探索，使得鱼和熊掌兼得，我们不仅欣赏了函数的对称之美，而且还利用其结论，让我们欣赏了函数周而复始循环无尽的周期之美，可谓美上加美。如果能通过欣赏上述任意两种美也能感受另外一种美该多么完美？即辨别如下

命题1：已知条件如下()a b ≠：()()1f x 图象关于直线x a =对称；()()2f x 图象关于点(),b c 对称；()()3f x 是()4T b a =-的周期函数。以其中任两个条件作为题设，余下一个条件为结论，得到的三个命题。

生8（几分钟后）：证明()()()123?方法同上；证明()()()231?如下：

()f x 是()4T b a =-的周期函数，()()44f b a x f x ∴-+=。()f x 又关于直线x a =对称，()()2f x f a x ∴=-，()()442f b a x f a x ∴-+=-，()f x ∴关于直线2x b a =-对称，命题不成立。

()()()231?

()f x 图象关于点(),b c 对称，()()44422f b a x f a b x c ∴-++--=。又()f x 是

()4T b a =-的周期函数，()()44f b a x f x ∴-+=，()()422f b a x f x c ∴--+=，()f x ∴图象关于点()2,a b c -对称，即该命题不成立。

生9：我的方法比生8更简单，我找到两个特例：命题()()()231?反例如下：

()()2,2,2,223sin ,2,2,22x x k k f x k Z x x k k πππππππππ???∈-+??????=∈????∈++??????

此函数是奇函数且2T π=，但函数图象不关于直线2x π=

对称。

又构造一个较为复杂的命题()()()132?反例： ()()22cos ,,,222230,,,22k k x x f x k Z k k x ππππ?????ππππ???????∈-+??????=∈????∈++??????

此函数偶函数且2T π?=，但函数图象不关于点,02π??? ???

对称。 师：生8推导逻辑严谨，步步为营，生9思想灵活通过构造反例判别命题真伪方法很有效。都非常好！

受到命题1的启发后，同学们进行如下大胆探索，推理验证，相互交流，经历一番寒彻骨终闻梅花扑鼻香，证明出以下命题：

命题2： 已知条件如下()a b ≠：()()1f x 图象关于x a =对称；()()2f x 图象关于x b =对称；()()3f x 是()2T b a =-的周期函数。以其中任两个条件作为题设，余下一个条件为结论，得到的三个命题均是真命题。

命题3： 已知条件如下()a b ≠：()()1f x 图象关于点(),a c 对称；()()2f x 图象关于点(),b c 对称；()()3f x 是()2T b a =-的周期函数。以其中任两个条件作为题设，余下一个条件为结论，得到的三个命题均是真命题。

师：即使是普通的课本习题之中也蕴含着函数的美丽因素，通过我们科学的探究，发现了函数的对称之美，在欣赏享受美得同时，我们也创造了往返循环的周期之美，体验数学之美的发现旅程。应用其实也是一种美，请同学们应用收获的优美结论解决下列问题：

1、已知定义在R 上的奇函数()x f ，且()()x f x f -=+1，求()()()()10321f f f f ++++ 的值。

2、设是定义在R 上的函数()x f ，且满足条件：(5)(5)f x f x +=-，(10)(10)f x f x +=-，求证：函数()y f x =既是奇函数又是周期函数。

2、已知定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=-4，且在[]2,0上是增函数，若函数方程()m x f =()0>m 在区间[]8,8-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，求4321x x x x +++的值。

除了以上几种函数美的挖掘与认识外，我还启发学生自己去寻找、发现函数中的其它美感因素，如

函数图象具有曲线之美、变换之美、指数函数的“爆炸”之美等。使他们初步地了解函数的

美，激发学生学习数学的热情。正如我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，增进学生对数学美的主观感受能力。”

在美育渗透的教学实践中，笔者尝试展现出数学的美，在学习函数的过程中，要善于把握时机，引导学生从函数的外在美到内在美，形成对函数美的规律性认识，再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去创造、去应用数学之美解决问题，不断克服函数的单调、枯燥、抽象、变化而产生的学习畏厌学情绪，学生以欣赏数学美的愉悦的情感去学习，能有效地提升数学思维水平和数学学习能力，使学生不仅感受数学之美，更懂得欣赏数学之美。与此同时，教师发现通过充分挖掘和展现数学的美，提升自己美的教学艺术，如简约、对称而富有变化的课堂结构，使得教师的教学语言更加生动而又严谨，教学手段更加丰富多彩，更利于营造出和谐而富有活力的课堂氛围，岂不美哉!

参考文献：

1.单墫.普通高中课程标准实验教科书[M].江苏教育出版社,2008.

2.张奠宙、宋乃庆.数学教育概论[M].高等教育出版社,2004.

3. 张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海教育出版社,2013.

反比例函数拓展与提高

【教学标题】反比例函数复习与拓展（2）学案 【教学目标】 通过本章的复习使学生掌握相关的知识，同时养成数形结合的思考形式和思考方法，代数式、方程、函数、图形、直角坐标系结合起来进行思考，互相解释、互相补充，对于整个中学数学的应用能力打下良好的基础.培养学生的应用意识． 【重点难点】 重点：本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具.用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通. 难点：本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握 【教学内容】 1．反比例函数定义：函数y=kx(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，k叫做比例系数．反比例函数的自变量的取值范围是x≠0一切的实数． 2．反比例函数y=kx (k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表： 温馨提示：反比例函数图象的位置和增减性都与比例系数k的符号有关；反之，由双曲线的位置或函数的增减性也可以判断k的符号，反比例函数的增减性只能在同一个个象限内讨论．如点A（-1，y1），B（-2，y2），C（1，y3）在双曲线y=-2x上，求y1、y2、y3的大小时，必须考虑这三点是不是在一个象限，不在一个象限时不能使用反比例函数的性质。在这三点中，A、B两点在一个象限内，可以使用反比例函数的性质，判断y1、y2的大小，另外一点C 则不可以。 3．反比例函数解析式的确定。

要确定反比例函数的解析式,首先设y= x k ，在y=x k 中,k 是一个不等于零的常数,只要k 的值确定了,反比例函数的解析式也就确定了.也就是说确定一个反比例函数关系的关键是求得非零常数k 的值.因此,一般地只要知道一组x 、y 的对应值或双曲线上一点的坐标,代入解析式中,即由k=xy 求出k 的值.所以只要将图象上一点的坐标代入y=kx 中即可求出k 值。 4.反比例函数中系数的几何意义 设P(x ，y)是反比例函数y=kx 图象上任意一点，过点P 作x 轴(或y 轴)的垂线，垂足为A ， 则△OPA 的面积=12OA ·PA=12|xy|=12|k|，这就是系数k 的几何意义。 【例题讲解】 例1．已知y=3y 1-2y 2，且y 1与x 2 成正比例，y 2与x 成反比例，若x 1时，y ＝1；x ＝2时，y ＝2。求当x ＝3时y 的值。 例2．已知一次函数y=kx+b 的图像经过点A （0，1）和点B （a ，－3a ），a ＜0，且点B 在反比例函数y=-3x 的图像上。（1）求a 的值；（2）求一次函数的解析式；（3）利用函数的图像，求当这个一次函数y 的值在-1≤y ≤3范围内，相应的x 值的取值范围；（4）如果P （m ，y 1），Q （m+1，y 2）是这个一次函数图像上的两点，试比较y 1与y 2的大小。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

反比例函数拓展题(含答案)

1：（2007年省初中数学竞赛）函数y＝ 1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．(2009年市)如图，点A、B是双曲线3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影 ，则 12 S S +=． 3．已知y与2x－3成反比例，且 4 1 = x时，y＝－2，求y与x的函数关系式． 4．已知函数y＝y1－y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且 2 3 - = x和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式． 6．如图，A、B是函数 x y 2 =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(s= )． 7．如图，点A、B是函数y＝x与 x y 1 =的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四x y A B O 1 S 2 S 8题图

边形ACBD 的面积为( )． 8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一 象限，OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式． 9．如图，A 、B 两点在函数)0(>= x x m y 的图象上． (1)求m 的值及直线AB 的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数． 12．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，若△ABC 的面积是3，则反比例函数的解析式为____________．

初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案

初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】

本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?

反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解

第七章、反比例函数 (1) 一、反比例函数知识要点点拨 (1) 二,、典型例题 (2) 三、反比例函数中考考点突破 (8) 四、达标训练 (10) (一)、基础.过关 (10) (二)、综合.应用 (11) 五、分类解析及培优 (13) (一)、反比例函数k的意义 (13) (二)、反比例函数与三角形合 (14) (三)、反比例函数与相似三角形 (15) (四)、反比例函数与全等三角形 (15) (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15) (六)、反比例函数与一次函数相交题 (19) 1、联手演绎无交点 (20) 2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20) 3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20) 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20) (七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21) (八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23) 六、拓展练习 (26) 练习(一) (26) 练习（二） (28) 练习(三) (32) 本章参考答案 (35) 第七章、反比例函数 反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质：

2、反比例函数与正比例函数 (0)y kx k =≠的异同点： 二,、典型例题 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y - =；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y = )0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式． x y O x y O

二次函数最经典综合提高题

周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3

反比例函数题型专项练习试题

反比例函数题型专项（一） 专题一、反比例函数的图像 1．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2 2．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y﹦（k≠0）的图象大致是（） A．B．C．D． 3．若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 4．若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 5．在同一平面直角坐标系中，画正比例函数y=kx和反比例函数y=（k＜0）的图象，大致是（） A．B．C．D． 6．函数y=，当y=a时，对应的x有两个不相等的值，则a的取值范围（）A．a≥1 B．a＞0 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2 7．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）

A．B．C．D． 8．函数y=与y=kx﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 9．在同一坐标系中，表示函数y=ax+b和y=（a≠0，b≠0）图象正确的是（） A．B．C． D． 10．函数y=的图象在（） A．第一，三象限 B．第一，二象限 C．第二，四象限 D．第三，四象限 11．如果k＜0，那么函数y1=kx﹣k，的图象可能是（） A．B．C．D． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜0，或x＞2 D．x＜﹣1，或0＜x＜2 12题图 13题图

初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

反比例函数练习题及答案最新

反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3） ，则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)22 m x - 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限 内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为 ； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k ≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k ≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y=k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 x k y 22--=k 1y 2y 2 1 3y 1y 2y 3y k x x k y =

锐角三角函数难点解析

锐角三角函数难点解析 本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA

表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

初二数学-反比例函数难题拓展(学生版)

反比例函数经典习题例题讲解 【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2 2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y= 1 x 的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。 【例2】如右图，已知点（1,3）在函数 BD的中点，函数y=A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题 1.求k的值 2.求点C的横坐标（用m表示） 3.当∠ABD=45°时，求m的值112

x （1）求AB的长； （2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1 k x 的图象（如 图2），求k1的值； （3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明 理由． 【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应） （1）求∠FOE； （2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。

【例4】已知：如右图，已知反比例函数y= 2k x 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a ，b ），（a+1，b+k ）. （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由． 已知反比例函数y=k 两点． （1）求反比例函数的解析式； 的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

—4 — 3 — 2 — 1 F 列说确的是（ ） A .抛物线的开口向下 二次函数常考题型与解析 ?选择题（共12小题） 若二次函数y=x 2+mx 的对称轴是X =3，则关于X 的方程x 2 +mx=7的解为 X 1=0 , X 2=6 B . X 1=1 , X 2=7 C . X 1 =1 , X 2= — 7 D . X 1= — 1 , X 2=7 点 P 1 (— 1 , y 1), P 2 (3 , y 2), P 3 (5 , y )均在二次函数 y= — X 2+2X +C 的图象上，贝U y 1, y 2, y 3的大小关系是（ ） A . y 3 >y 2>y 1 B . y >y 1=y 2 C . y 1>y 2 >y 3 D . y 1=y 2 >y 3 .抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 4 .二次函数 y=ax 2+bx+c y=—在同一平面直角坐标系的图象大致为 C ,自变量X 与函数y 的对应值如表:

B. 当x > - 3时，y 随x 的增大而增大 C. 二次函数的最小值是-2 D .抛物线的对称轴是x=-二 5 .已知函数y=ax 2 - 2ax - 1 （a 是常数，a^O ）,下列结论正确的是（ ） A. 当a=1时，函数图象过点（-1 , 1） B. 当a= - 2时，函数图象与x 轴没有交点 C. 若a >0，则当x >1时，y 随x 的增大而减小 D .若a v 0，则当x <1时，y 随x 的增大而增大 6.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a^O ）的图象与x 轴交于点A （- 1，0）， 与y 轴的交点B 在（0，- 2）和（0，- 1）之间（不包括这两点），对称轴为直 线x=1 .下列结论： ① abc > 0 ② 4a+2b+c >0 ③ 4ac - b 2v 8a ④ 菲a v t ⑤ b > c . 其中含所有正确结论的选项是（ 7 ?抛物线y=x 2+bx+c （其中b , c 是常数）过点A （2, 6）,且抛物线的对称 C .②④⑤ D .①③④⑤

反比例函数练习题含答案

测试1 反比例函数的概念 一、填空题 1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x 是______，y 是______．自变量x 的取值范围是______． 2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别． (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y 元，x 个月全部付清，则y 与x 的关系式为____________，是______函数． (2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________________，是______函数． (3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ． 当a ＝10时，S 与h 的关系式为____________，是____________函数； 当S ＝18时，a 与h 的关系式为____________，是____________函数． (4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为______，是______函数． 3．下列各函数①x k y =、②x k y 12+=、③x y 53=、④14+=x y 、⑤x y 21-=、 ⑥31-= x y 、⑦24 x y =和⑧y ＝3x －1中，是y 关于x 的反比例函数的有：____________(填序号)． 4．若函数11 -=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝____________，解析式为_________ ___． 5．近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为____________． 二、选择题 6．已知函数x k y =，当x ＝1时，y ＝－3，那么这个函数的解析式是( )． (A)x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 31= (D)x y 31 -= 7．已知y 与x 成反比例，当x ＝3时，y ＝4，那么y ＝3时，x 的值等于( )． (A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3 三、解答题 8．已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3． (1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－2 3 时，求x 的值． 9．若函数5 2 2)(--=k x k y (k 为常数)是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______ __________________． 10．已知y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比例函数，那么y 是z 的______函数． 二、选择题 11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为( )． (A)y ＝100x (B)x y 100 = (C)x y 100 100- = (D)y ＝100－x 12．下列数表中分别给出了变量y 与变量x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )．

初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案

初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（） A．1 2 B． 2 C． 3 D． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=1 2 . 故选A. 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A．πB．2πC．3πD．(31)π + 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积． 【详解】 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 sin60 == ? ． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（） A 5 B． 3 5 C． 2 2 D． 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性

反比例函数经典拓展难题

1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝ 1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线 3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影 ，则 12 S S +=． 3．已知y与2x－3成反比例，且 4 1 = x时，y＝－2，求y与x的函数关系式． 4．已知函数y＝y1－y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且 2 3 - = x和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式． 6．如图，A、B是函数 x y 2 =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(s= )． 7．如图，点A、B是函数y＝x与 x y 1 =的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为( )． x y A B O 1 S 2 S 8题图

8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限， OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式． 9．如图，A 、B 两点在函数)0(>= x x m y 的图象上． (1)求m 的值及直线AB 的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数． 12．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，若△ABC 的面积是3，则反 比例函数的解析式为____________．

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题(含答案)

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．

2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

(完整版)反比例函数基础练习题及答案

反比例函数练习一 一．选择题（共22小题） 1．（2015春?泉州校级期中）下列函数中，y是x的反比例函数的为（） A．y=2x+1 B．C．D．2y=x 2．（2015春?兴化市校级期中）函数y=k是反比例函数，则k的值是（）A．﹣1 B．2 C．±2 D．± 3．（2015春?衡阳县期中）若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=0 4．（2014?汕尾校级模拟）若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定 5．（2014春?常州期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） A．m＜0 B．C．D．m≥ 6．（2015?贺州）已知k1＜0＜k2，则函数y=和y=k2x﹣1的图象大致是（） A．B． C．D． 7．（2015?滦平县二模）在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（） A．B．C．D．

8．（2015?上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1 9．（2015?宝安区二模）若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 10．（2015?鱼峰区二模）若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 11．（2012?颍泉区模拟）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（） 第11题图第12题图 A．πB．2πC．4πD．条件不足，无法求12．（2010?深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A．y=B．y=C．y=D．y= 13．（2014?随州）关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小

中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)

中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题) 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3

则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC

反比例函数拓展题(含答案)

1 1: （2007年浙江省初中数学竞赛）函数y= 图象的大致形状是（） l x l 1 3?已知y与2x—3成反比例，且x 时，y =—2，求y与x的函数关系式. 4 3 4.已知函数y = y i —y2,且y i为x的反比例函数，y为x的正比例函数，且x和x = 1时, 2 是1.求y关于x的函数关系式. 2 6.如图，A B是函数y 的图象上关于原点对称的任意两点, x △ ABC的面积记为S,则（s=）. 3上的点，分别经过A、B两点向x轴、 x y轴作垂 y的值都 BC// x 轴，AC// y 轴, 2. （2009 年牡丹江市）如图，点A、B是双曲线y

ACL x轴于C,作BDL x轴于D, 则四边形7.如图，点A、B是函数y = x与y-的图象的两个交点，作 x

ACBD勺面积为() 8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt △ OCD勺一边0C在x轴上，/ C= 90°，点D在第一象限, OC= 3，DC= 4，反比例函数的图象经过OD勺中点A. (1)求该反比例函数的解析式； ⑵若该反比例函数的图象与Rt △ OCD勺另一边交于点B,求过A B两点的直线的解析式. (1)求m的值及直线AB的解析式； ⑵ 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点?请直接写出图中阴影部分(不包括 边界)所含格点的个数. 12.如图，已知点A在反比例函数的图象上，ABLx轴于点B,点C(0 , 1)，若△ ABC的面积是3,则反比 例函数的解析式为_______________ 9.如图，A B两点在函数y (x x

=2,则k 的值是( k —(k > 0)经过矩形OABC 勺边BC 的中点E ,交AB 于点D 。若梯形 ODB (的面积为3, x 则双曲线的解析式为(). k 15?如图，直线y = kx + b 与反比例函数y (x v 0)的图象交于点 A , B,与x 轴交于点C,其中点A 的 x 13.如图，直线y = mx 与双曲线 k y 一交于A B 两点，过点 A 作AM L x 轴，垂足为 M 连结BM ,若S^ABM x 14.如图，双曲线y 16.如图，已知 A — 4, n ) , B (2 , - 4)是一次函数y = kx + b 的图象和反比例函数 y —的图象的两个交 x 占 八