第一章习题
习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大,等于0.105,试求其信息量。 解:E 的信息量:()
()b 25.3105.0log E log E 1
log 222E =-=-==P P I
习题1.2 某信息源由A ,B ,C ,D 四个符号组成,设每个符号独立出现,其出现的概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。
解:
b A P A P I A 24
1
log )(log )(1log 222
=-=-==
b I B 415.216
3
log 2
=-=
b I C 415.216
3
log 2
=-= b I D 678.116
5
log 2
=-=
习题1.3 某信息源由A ,B ,C ,D 四个符号组成,这些符号分别用二进制码组00,01,10,11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输,试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
(1) 这四个符号等概率出现; (2)这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解:(1)一个字母对应两个二进制脉冲,属于四进制符号,故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为
Bd 10010521
3
B =??=
-R
等概时的平均信息速率为
b 2004log log 2B 2B b ===R M R R
(2)平均信息量为
符号比特977.15
16
log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H
则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =?==H R R
习题1.4 试问上题中的码元速率是多少? 解:3
11
200 Bd 5*10B B R T -===
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成,其中16个符号的出现概率均为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号,试求该信息源的平均信息速率。
解:该信息源的熵为
96log 96
1
*4832log 321*
16)(log )()(log )()(22264
1
21
+=-=-=∑∑==i i i i M
i i x P x P x P x P X H
=5.79比特/符号
因此,该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH === 。 习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号,其码元宽度为125 us 。试求码元速率和信息速率。
解:B 6
B 11
8000 Bd 125*10R T -=
==
等概时,s kb M R R B b /164log *8000log 22===
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆,输入电路的带宽为6 MHZ ,环境温度为23摄氏度,试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解
:12V 4.57*10 V -===
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信,其收发天线的架设高度都等于80 m ,试求其最远的通信距离。
解:由28D rh =,得
63849 km D =
习题1.9 设英文字母E 出现的概率为 0.105, x 出现的概率为0.002 。试求 E
和x 的信息量。 解:
()2222()0.105
()0.002
()log E log 0.105 3.25()log ()log 0.0028.97p E p x I E P bit I x P x bit
===-=-==-=-=
习题1.10 信息源的符号集由 A ,B ,C ,D 和E 组成,设每一符号独立1/4出现,其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。
解:
符号
/23.216
5
log 16581log 81log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑
习题1.11 设有四个消息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传
送,每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
解:
符号
/75.12
1
log 2181log 8181log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑
习题1.12一个由字母A ,B ,C ,D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码,00 代替 A ,01 代替 B ,10 代替 C ,11 代替D 。每个脉冲宽度为5ms 。
(1) 不同的字母是等概率出现时,试计算传输的平均信息速率。
(2) 若每个字母出现的概率为1
4B p =
,
14C p =,310D p =
, 试计算传输的平均信息速率。
解:首先计算平均信息量。 (1)
2211
()log ()4*()*log 2 /44i i H P p bit x x =-=-=∑字母
平均信息速率=2(bit/字母)/(2*5m s/字母)=200bit/s
(2)
2222211111133
()log ()log log log log 1.985 /5544441010
i i H P p bit x x =-=----=∑字母
平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持续3单位的电流脉冲表示,点用持续 1 单位的电流脉冲表示,且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
(1) 计算点和划的信息量;
(2) 计算点和划的平均信息量。 解:令点出现的概率为
()
A P ,划出现的频率为
()
B P
()A P +()B P =1,
()()1
3
A B P P = ? ()34A P = ()14B P = (1)
22()log ()0.415()log ()2I A p A bit I B p B bit
=-==-=
(2)
符号/811.04
1
log 4143log 43)(log )(222bit x p x p H i i =-=
-=∑ 习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为1/32,其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
解
:
符号/4.6224
1
log )2241(*112)321(*16)(log )(H 22bit x p x p i i =-+-
=-=∑ 平均信息速率为6.
4*1000=6400bi t /s 。
习题1.15 对于二电平数字信号,每秒钟传输 300个码元,问此传码率B
R 等于多少?若数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率
b
R 等于多少?
解:300B R B = 300/b R bit s =
习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息,则传送 1 小时的信息量为多少?传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少?
解:
传送 1 小时的信息量 2.23*1000*36008.028Mbit = 传送 1 小时可能达到的最大信息量
先求出最大的熵:
max 2
1
log 2.32/5H bit =-=符号
则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*36008.352Mbit =
习题1.17如果二进独立等概信号,码元宽度为0.5ms ,求B
R 和
b
R ;有四
进信号,码元宽度为0.5ms ,求传码率
B
R 和独立等概时的传信率b
R 。
解:二进独立等概信号:
3
1
2000,2000/0.5*10B b R B R bit s -=
==
四进独立等概信号:
31
2000,2*20004000/0.5*10B b R B R bit s
-=
===。
第三章习题
习题3.1 设一个载波的表达式为()5cos1000c t t π=,基带调制信号的表达式为:m(t)=1+cos200t π。试求出振幅调制时已调信号的频谱,并画出此频谱图。
解: ()()()()()t t t c t m t s ππ1000cos 5200cos 1+==
()t t t t
t t ππππππ800cos 1200cos 2
5
1000cos 51000cos 200cos 51000cos 5++
=+= 由傅里叶变换得
()()()[]()()[]()()[]4004004
5
6006004
550050025
-+++-+++-++=
f f f f f f f S δδδδδδ
已调信号的频谱如图3-1所示。
图3-1 习题3.1图
习题3.2 在上题中,已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少?
解:由上题知,已调信号的载波分量的振幅为5/2,上、下边带的振幅均为5/4。
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ ,基带调制信号是频率为2 kHZ 的单一正弦波,调制频移等于5kHZ 。试求其调制指数和已调信号带宽。
解:由题意,已知m f =2kHZ ,f ?=5kHZ ,则调制指数为
5
2.52
f m f m f ?=
== 已调信号带宽为 2()2(52)14 kHZ m B f f =?+=+=
习题3.4 试证明:若用一基带余弦波去调幅,则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
证明:设基带调制信号为'()m t ,载波为c (t )=A 0cos t ω,则经调幅后,有
'
0()1()cos AM s t m t A t ω??=+??
已调信号的频率 2
2'22
0()1()cos AM AM
P s t m t A t ω??==+??
22
'222'22000cos
()cos 2()cos A t m t A t m t A t ωωω++
因为调制信号为余弦波,设
2(1)1000 kHZ 100
f m B m f f =+?==,故
2'
'2
1
()0, ()22
m m t m t ==≤
则:载波频率为 2
2
2
0cos 2
c A P A t ω==
边带频率为 '222
'2
2
2
0()()cos 24
s m t A A P m t A t ω=== 因此1
2
s c P P ≤。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
习题3.5 试证明;若两个时间函数为相乘关系,即z (t )=x (t )y (t ),其傅立叶变换为卷积关系:Z ()=X ()*Y ()。
证明:根据傅立叶变换关系,有 ()()[]()()ωωπ
π
ωωωd e d 2121t
j 1??∞+∞-∞
+∞--??
????-=
*u u Y u X Y X F 变换积分顺序:()()[]()()u u Y u X Y X -t j 1
e d 2121ωωωππωω????
??-=*??+∞
∞-+∞∞-F ()()u Y u X t
ut d d e 21e 21j j ????
??=??+∞∞-+∞∞-ωωππω ()()()()
t y t x u t y u X ut ==?+∞
∞-d e 21j π 又因为 ()()()()[]ωZ t y t x t z -1F == 则 ()[]()()[]ωωωY X Z -*=-11F F 即 ()()()ωωωY X Z *=
习题3.6 设一基带调制信号为正弦波,其频率等于10kHZ ,振幅等于1V 。
它对频率为10mHZ 的载波进行相位调制,最大调制相移为10rad 。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ ,试求其带宽。
解:由题意,m 10 kHZ , A 1 V m f == 最大相移为 max 10 rad ?= 瞬时相位偏移为()()p t k m t ?=,则10p k =。 瞬时角频率偏移为d
()
sin p m m d t k t dt
?ωω=则最大角频偏p m k ωω?=。 因为相位调制和频率调制的本质是一致的,根据对频率调制的分析,可得调制指数 10p m
f p m
m
k m k ωω
ωω?=
=
==
因此,此相位调制信号的近似带宽为
2(1)2(110)*10220 kHZ f m B m f =+=+=
若m f =5kHZ ,则带宽为
2(1)2(110)*5110 kHZ f m B m f =+=+=
习题3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制,并且最大调制频移为1mHZ 。试求此频率调制信号的近似带宽。
解:由题意,最大调制频移1000 kHZ f ?=,则调制指数
1000/10100f m
f
m f ?=
== 故此频率调制信号的近似带宽为
63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+
习题3.8设角度调制信号的表达式为63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+。试求:
(1)已调信号的最大频移;(2)已调信号的最大相移;(3)已调信号的带宽。
解:(1)该角波的瞬时角频率为
6()2*102000sin 2000t t ωπππ=+
故最大频偏 200010*
10 kHZ 2f π
π
?== (2)调频指数 3
31010*1010f m f m f ?===
故已调信号的最大相移10 rad θ?=。
(3)因为FM 波与PM 波的带宽形式相同,即2(1)FM f m B m f =+,所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*31022 kHZ =
习题 3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt),载波为
cos104πt ,进行单边带调制,试确定该单边带信号的表达试,并画出频谱图。
解:
方法一:若要确定单边带信号,须先求得m(t)的希尔伯特变换 m’(t )=cos (2000πt -π/2)+cos (4000πt -π/2)
=sin (2000πt)+sin (4000πt) 故上边带信号为
S USB (t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct
=1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为
SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct
=1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt) 其频谱如图3-2
图3-2 信号的频谱图
方法二:
先产生
DSB 信号:sm(t)=m(t)coswct=···,然后经过边带滤波器产生SSB
信号。
习题3.10将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输
函数H(w)如图所示。当调制信号为m(t)=A[sin100πt +sin6000πt]时,试确定所得残留边带信号的表达式。
解:
设调
且
图3-3 信号的传递函数特性
根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性,从H(w)图上可知载频fc=10kHz,因此得载波cos20000πt。故有
s m(t)=[m0+m(t)]cos20000πt
=m0cos20000πt+A[sin100πt+sin6000πt]cos20000πt
=m0cos20000πt+A/2[sin(20100πt)-sin(19900πt)
+sin(26000πt)-sin(14000πt)
S m(w)=πm0[σ(w+20000π)+σ(W-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π)-
σ(w+19900π)+σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π)
-σ(w+14000π)+σ(w-14000π)
残留边带信号为F(t),且f(t)<=>F(w),则F(w)=Sm(w)H(w)
故有:
F(w)=π/2m0[σ(w+20000π)+σ(w-20000π)]+jπA/2[0.55σ(w+20100π) -0.55σ(w-20100π)-0.45σ(w+19900π)+
0.45σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π)
f(t)=1/2m0cos20000πt+A/2[0.55sin20100πt-0.45sin19900πt+sin2600 0πt]
习题 3.11设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=0.5*10-3W/Hz,在该信道中传输抑制载波的双边带信号,并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz,而载波为100kHz,已调信号的功率为10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前,先经过一理想带通滤波器滤波,试问:
1.)该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w)?
2.)解调器输入端的信噪功率比为多少?
3.)解调器输出端的信噪功率比为多少?
4.)求出解调器输出端的噪声功率谱密度,并用图型表示出来。
解:
1.)为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声,带通滤波器的
宽度等于已调信号带宽,即B=2fm=2*5=10kHz,其中中心频率为100kHz。所以
H(w)=K ,95kHz≤∣f∣≤105kHz
0,其他
2.)Si=10kW
Ni=2B* Pn(f)=2*10*103*0.5*10-3=10W
故输入信噪比Si/Ni=1000
3.)因有G DSB=2
故输出信噪比S0/N0=2000
4.)据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系,有:
N0=1/4 Ni =2.5W
故Pn (f)= N0/2fm=0.25*10-3W/Hz
=1/2 Pn(f) ∣f∣≤5kHz
图3-4解调器输出端的噪声功率谱密度
习题3.12设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=5*10-3W/Hz,在该信道中传输抑制载波的单边带信号,并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz。而载频是100kHz,已调信号功率是10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前,先经过一理想带通滤波器,试问:
1)该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性。
2)解调器输入端信噪比为多少?
3)解调器输出端信噪比为多少?
解:1)H(f)= k ,100kHz≤∣f∣≤105kHz
= 0 ,其他
2)Ni=Pn(f)·2fm=0.5*10-3*2*5*103=5W
故Si/Ni=10*103/5=2000
3)因有G SSB=1,S0/N0= Si/Ni =2000
习题3.13某线性调制系统的输出信噪比为20dB,输出噪声功率为10-9W,由发射机输出端到调制器输入端之间总的传输耗损为100dB,试求:
1)DSB/SC时的发射机输出功率。
2)SSB/SC时的发射机输出功率。
解:
设发射机输出功率为S T,损耗K=S T/Si=1010(100dB),已知S0/N0=100·(20dB),N0=10-9W
1)DSB/SC方式:
因为G=2,
Si/Ni=1/2·S0/N0=50
又因为N i=4N0
Si=50Ni=200N0=2*10-7W
S T=K·Si=2*103W
2)SSB/SC方式:
因为G=1,
Si/Ni= S0/N0=100
又因为Ni=4N0
Si=100Ni=400N0=4*10-7W
S T=K·Si=4*103W
习题3.14根据图3-5所示的调制信号波形,试画出DSB波形
图3-5调制信号波形
解:
图3-6已调信号波形
习题3.15根据上题所求出的DSB图形,结合书上的AM波形图,比较它们分别通过包络检波器后的波形差别
解:
讨论比较:DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真,
所以DSB信号不能采用包络检波法;而AM可采用此法恢复m(t)
习题 3.16已知调制信号的上边带信号为S USB(t)=1/4cos(25000πt)+1/4cos(22000πt),已知该载波为cos2*104πt求该调制信号的表达式。
解:由已知的上边带信号表达式S USB(t)即可得出该调制信号的下边带信号表达式:
S LSB(t)=1/4cos(18000πt)+1/4cos(15000πt) 有了该信号两个边带表达式,利用上一例题的求解方法,求得
m(t)=cos(2000πt)+cos(5000πt)
习题3.17设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f),在该信道中传输抑制载波的双边带信号,并设调制信号m(t)的频带限制在10kHz,而载波为250kHz,已调信号的功率为15kW。已知解调器输入端的信噪功率比为1000。若接收机的输入信号在加至解调器之前,先经过一理想带通滤波器滤波,求双边噪声功率谱密度Pn(f)。
解:
输入信噪比Si/Ni=1000
Si=15kW
Ni=2B* Pn(f)=2*15*103* Pn(f)=15W
故求得Pn(f)=0.5*10-3W/Hz
习题3.18假设上题已知的为解调器输出端的信噪比,再求双边噪声功率谱密度Pn(f)。
解:
G DSB=2
故输出信噪比
S0/N0=2Si/Ni=1000
所以Si/Ni=500
由上一例题即可求得:Pn(f)=1*10-3W/Hz
习题3.19某线性调制系统的输出信噪比为20dB,输出噪声功率为10-8W,DSB/SC时的发射机输出功率为2*103W试求:从输出端到解调输入端之间总的传输损耗?
解:已知:输出噪声功率为N0=10-9W
因为G=2,
Si/Ni=1/2·S0/N0=50
因为Ni=4N0
Si=50Ni=200N0=2*10-6W
所以损耗K=S T/Si=109
习题3.20将上一题的DSB/SC时的发射机输出功率改为SSB/SC时的发射机输出功率,再求:从输出端到解调输入端之间总的传输损耗?
解:
因为G=1,
Si/Ni= S0/N0=100
因为Ni=4N0,Si=100Ni=400N0=4*10-6W
所以,损耗K=S T/Si=5*108
习题3.21根据图所示的调制信号波形,试画出AM波形。
图3-7调制信号波形
解:
AM波形如下所示: