第一章 度量空间
若在实数集
R 中点列n x 的极限是x 时,我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度,事实上,||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两
点间的距离,那么实数集R
中点列
n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0,即lim (,)0n n d x x →∞
=. 于是人们就想,
在一般的点集
X
中如果也有“距离”,那么在点集
X
中也可借这一“距离”来定义极限,而究竟什么是“距离”呢?或者说“距离”的本质是什么?
诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢?
远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得
你看我时很远 你看云时很近
这首诗诗似乎是纯理性的,十分冷静,但细细品味,其中暗暗催动着一股热流:呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系.现实距离和心理距离并不总是一致的.现实距离很远,但心理距离却可能很近,“海内存知己,天涯若比邻”,即是此意.也可能现实距离很近,而心理距离却很远,所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了.那么如何给出距离这一概念?
1.1 度量空间的定义与极限
1.1.1 度量空间的定义与举例
定义 1.1.1 设X 为一非空集合.若存在二元映射:d X X ?→R ,使得,,x y z X
?∈,均满足以下三个条件:
(1)(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity ); (2)(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry );
(3)(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality ),
则称d 为
X
上的一个距离函数,称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces),(,)d x y 称为
x 和y 两点间的距离.□
注1:在不产生误解时,(,)X d 可简记为X
.
下面我们来看一些具体的例子
例 1.1.1 欧氏空间
n R .
设n
R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=,定义
(,)d x y =
其中
12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈,可以验证(,)n R d 是一个度量空间.
在证明之前,引入两个重要的不等式.
引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给2n 个实数1212,,
,,,,
,n n a a a b b b ,有
1
12222
1
1
1
()()
n
n
n
i i
i
i
i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数
λ,则由
2
2
22
1
1
1
1
0()2n
n
n n
i i i
i i i i i i i a b b
a b a λλ
λ====≤+=++∑∑∑∑
知右端二次三项式的判别式不大于零,即
2
2
2111
240n n
n
i i i i
i i i a b b a
===??
?=-≤ ???
∑∑∑
于是可得(1.1)式成立.□
进一步有H ?lder 不等式
111
1
1
()()
n
n
n
p
q p
q
i i
i i i i i a b
a b ===≤∑∑∑
其中
,1p q ≥且
11
1p q
+=,称这样的两个实数,p q 为一对共轭数. 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给2n 个实数12,,
,n a a a 及12,,
,n b b b ,有
1112
2
2
222111()n
n
n
i i i i i i k a b a b ===??????+≤+ ? ? ???????
∑∑∑ (1.2)
证明 由(1.1)式得
2
221
11
1
()2n n
n n
i
i
i
i i i i i i i a b a
a b b ====+=++∑∑∑∑
11
2
2
2
222
11112n
n
n
n
i
i i i i i i i a a b b ====??
??≤+?+ ? ???
??
∑∑∑∑
2
11
222211n n i i i i a b ==????????=+ ? ?????????
∑∑
这就证明了(1.2)式.□
进一步可有Minkowski 不等式的一般形式,其中1k
≥
1
111
1
1
()()()
n
n
n
k k k k
k
k
i i i i i i i a b a b ===+≤∑∑∑
例 1.1.1 欧氏空间
n R . 设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=,定义1k ≥
(,)d x y =
(1.3)
其中
12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈,可以验证(,)n R d 是一个距离函数.
证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立,下面仅验证(3)也成立.对于任意的
12(,,,)n n z z z z R =∈,由闵可夫斯基不等式(1.2)有
()12
21n
i i i x z =??-=????∑()12
21n
i i i i i x y y z =??
-+-????
∑
≤
()1
2
21n
i i i x y =??-+????∑()12
21n
i i i y z =??
-????
∑,
即(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+.从而得证d 是一个距离函数.□
注2:称(,)n
R d 为n 维欧氏空间,d 称为欧氏距离或标准欧氏距离.今后若不作特殊申明,凡提到度量空间n R ,均指由(1.3)式的欧氏距离
所定义的.
注3:在
n R 中我们还可以定义其他的距离:
1(,)max ||k k d x y x y =-;
21
(,)||n
k k k d x y x y ==-∑.
可以验证距离
1d 、2d 均满足条件(1)、(2)和(3).
注4:在
2R 中比较上述三种距离d 、1d 和2d ,可看看他们各表示什么?
由此知道,在一个集合上,定义距离的方法可以不止一种.但务必注意的是,由于定义的距离不同,所以即使基本集相同,也应视他们为不同的度量空间.
下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离,使其成为度量(距离)空间. 例1.1.2 离散度量空间 设
X 为非空集合,,x y X ?∈,定义距离
00 (,)1x y d x y x y =?=?
≠?
当时
当时 (1.4) 容易验证
0d 满足距离的三个条件,并称之为离散距离,0(,)X d 为离散度量空间.
例 1.1.3 连续函数空间[,]C a b
[,]{:[,]|}C a b f a b R f =→连续,,[,]f g C a b ?∈,定义
[,]
(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-,
证明 显然d 满足非负性(1)和对称性(2),下面验证(3)也成立.
(),(),()[,]f t g t h t C a b ?∈及[,]t a b ?∈均有
|()()||()()||()()|f t h t f t g t g t h t -≤-+-
[,]
[,]
max |()()|max |()(|t a b t a b f t g t g t h t ∈∈≤-+-)
(,)(,)d f g d g h =+,
故[,]
(,)max |()()|t a b d f
h f t h t ∈=-≤(,)(,)d f g d g h +.称([,],)C a b d 为连续函数空间,简记为[,]C a b .□
注5:在[,]C a b 中我们还可以定义如下的距离:
1(,)()()b
a
d f g f x g x dx =-?.
可以验证
1d 均满足条件(1)、(2)和(3),所以1([,],)C a b d 也为一度量空间.
例 1.1.4 有界数列空间l
∞
121
{(,,,,)()| sup{||}}n i i i l x x x x x x ∞≥===<∞,对于()i x x =,()i y y =∈l ∞,定义
1
(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-,
可以验证d 是一个距离函数,并称(,)l d ∞为有界数列空间,简记为l ∞.
例1.1.5
p 次幂可和的数列空间p l
121
{(,,
,,)()| ||,1}p
p n i i i l x x x x x x p ∞
====<∞<<+∞∑
(),()p i i x x y y l ?==∈,定义
1
1(,)||p
p p i i i d x y x y ∞
=??
=- ?
??
∑ (1.5)
(1.5)式是有意义的,因为由闵可夫斯基不等式及p
l 的定义知其右端有界.可以证明
p d 是一个距离函数.称(,)p p l d 为p 次幂可和的数列空
间,简记为p
l .
例1.1.6
p 次幂可积函数空间[,]p L a b (1)p ≥
[,]{()| |()|[a,b]}p p L a b f t f t L =在上可积
即:
{
}
[,]
[,]()||()|p p a b L a b f t f t dt =<+∞
?
在
[,]p L a b 中,我们把几乎处处相等的函数视为同一函数. 对于,[,]p f g L a b ∈,定义距离
1[,]
(,)(|()()|)
p
p
a b d f g f t g t dt =-?
那么([,],)p
L
a b d 为度量空间. 并称([,],)p L a b d 为p 次幂可积函数空间,简记为[,]p L a b .
分析 集合
[,]p L a b 具有下列重要性质:
(1)对线性运算是封闭的.即若
,[,]p f g L a b ∈,α
是一常数,则
[,],[,]p p f L a b f g L a b α∈+∈.
(2)[,][,](1)p L a b L a b p ?≥.
设
[,]p f L a b ∈,令(||1)A E f =≥,(||1),[,]B E f E a b =<=,则
||||||b
a
A
B
f dm f dm f dm =+???
||()p A
f dm b a ≤+-?
||()p
b
a
f dm b a ≤+-<+∞?
故
(,)f L a b ∈.
引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设
()f x 、()g x 是可测集E
上的可测函数且
1k ≥
()()()
111()()()()k
k
k
k
k
k
E
E
E
f x
g x dx
f x dx
g x dx
+≤+?
?
?
(1.6)
证明 因为
1(,)|()()|p
p
b
a d f g f t g t dt ??
=- ?
??
?
()()
11
()()p
p
p
p
E
E
f x dx
g x dx
≤
+?
?
≤+∞,
所以(1.6)式有意义. 显然非负性(1)和对称性(2)成立,下面验证三角不等式(3)也成立. 对于任意的
(),(),()[,]p f x g x z x L a b ∈有
1
(,)|()()|p
p
b
a d f g f t g t dt ??
=- ?
??
?
1
|()()()()|p
p b a f t z x z x g t dt ??=-+- ???
?
()()
11
()()()()p
p
p
p
E
E
f x z x dx
z x g x dx
≤
-+-?
?
(,)(,)d f z d z g =+ □
上述例子涉及到常用的六个度量空间: n 维欧氏空间(,)n R d ;离散度量空间0(,)X d ;连续函数空间[,]C a b ;有界数列空间l ∞;p
次幂可和的数列空间p
l
;
p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d .
1.1.2 度量空间中的极限
极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石,在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念,可见极限思想贯穿于整个数学分析课程,它也是高等数学必不可少的一种重要思想.同样地,在度量空间中也可定义极限,而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例.
定义1.1.2 设(,)X d 是度量空间,,{}n x X x ∈是
X
中点列,若lim (,)0n n d x x →∞
=, 则称点列{}n x 收敛于x ,称x 为点列{}
n x 的极限. 记作
lim n n x x →∞
=,或()d
n x x n →→∞或()n x x n →→∞.
{}n x 收敛于x 用“N ε-”语言描述是: 0,N ε?>?∈N ,当n N >时,恒有(,)n d x x ε
<成立. 若点列{}n x 不收敛,则称
其发散.□
例1.1.7 设
X
是实数集,数列
1
(1,2,)n x n n
=
=.若在X 上定义欧氏距离
(,)||(,),d x y x y x y X =-∈
显然,数列{}n x 在度量空间(,)X d 中收敛于0.若在
X
上定义离散距离
00,,
(,)(,),1,x y d x y x y X x y
=?=∈?≠?
则数列{}n x 在度量空间0(,)X d 中是发散的.
因为对任意给定的
0x X
∈, 只要
01x n ≠,就有01,1d x n ??
= ???
,所以无论n 多么大,有 001lim ,10,n d x n →∞
??
=≠ ???
可见数列{}n x 不收敛于
0x .虽然(,)u X d 与0(,)X d 有共同的基本集X
,但由于定义的距离的不同,它们是两个不同的度量空间,可见同一
点列{}n x 在一个度量空间中收敛,在另一度量空间中却发散.□
定义1.1.3 设(,)X d 为度量空间,A X
?,若将距离限制在
A A ?上,显然A 也是一个度量空间,称作X
的子空间.
若
,x X A X ∈?,则点x 到A 的距离定义为:
{}(,)inf (,)y A
d x A d x y ∈= (1.7)
集合
A 的直径定义为:
{},dia sup (,)x y A
A d x y ∈= (1.8)
若dia A 有限,则称A 为有界集;若dia A =+∞,则称A 为无界集.□
在离散度量空间0(,)d R 中点0x A ?,A ?R ,那么0(,)d x A 和dia A 分别是多少?显然(1)当A 是单点集时,有0(,)1
d x A =及dia 0A =;(2)当
A 不是单点集时,有0(,)1d x A =及dia 1A =.
定理1.1.1 极限的性质 设(,)X d 是度量空间, {}n x 是X
中的一个点列.
(1)若点列{}n x 收敛,则其极限唯一; (2)若点列
0()n x x n →→∞,则{}n x 的任何子列0()k n x x k →→∞;
(3)若收敛点列{}n x 看作是X
的子集,则它是有界的.
证明 (1)设
()n x x n →→∞且()n x y n →→∞,由定义知:0,ε?>N ?N∈,当n >N 时,有
(,),(,)22
n n d x x d x y εε
<<, 故当n >N 时,我们有
(,)(,)(,)n n d x y d x x d x y ≤+2
2
ε
ε
ε
<
+
=.
由ε的任意性知,
(,)0d x y =,从而x y =.
(2)设
()n x x n →→∞,{}k n x 是{}n x 的子列.
{}n x : 1234567,,,,,,,
,,
,
n x x x x x x x x
{}k n x :1n x , 2n x , 3n x , ,
,
k n x
由定义,
0,ε?>N
?N∈,当
n >N 时,有(,)n d x x ε
<,由于
k >N
时,
k n k ≥>N
,故
(,)k n d x x ε
<,即
()k n x x k →→∞.
(3)设
0()
n x x n →→∞,由定义知:对
01
ε=,
N
?N∈,当
n >N
时,
00(,)1
n d x x ε<=.取10200m a x {(,),(,),,(,),1}1M d x x d x x d x x N =+,则n N ?∈,
0(,)n d x x M
<,于是
,n m N
?∈
,00(,)(,)(,)2n m n m d x x d x x d x x M ≤+<.即{}n x 作为点集有界.□
例 1.1.8 设
{}()n f x 是连续函数空间[,]C a b ([,]
(,)max
|()()|t a b d f g f t g t ∈=-)中的点列,那么 ()()n f x f x ?(函数列一致收敛)当且仅当()()n f x f x →(度量空间中的点列收敛).
证明
()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε?>N ?N∈,当n >N 时,有((),())n d f x f x ε
<.
其中((),
())n d f x f x ε<,等价于[,]
(,)max |()()|n n x a b d f f f x f x ε
∈=-<.进一步等价于
[,]x a b ?∈,有|()()|n f x f x ε
-<.
于是
()()n f x f x →()
n →∞等价于
0,ε?>N
?N ∈,当
n >N
时,
[,]x a b ?∈,有|()()|n f x f x ε
-<,即
()()n f x f x ?.□ 例1.1.9 设(,)d x y 是
X
上的一个距离,则
1(,)
(,)1(,)
d x y d x y d x y =
+也是X
上的距离.
证明 显然非负性和对称性成立,下面仅证三角不等式. 由于
(,)d x y 是X
上的距离,所以
,,x y z X
?∈,有
(,)(,)
(,)d x y d x z d z y ≤+. 又知函数()1t f t t =
+2
1
(()0)(1)
'f t t =>+为单调递增函数,于是
1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =
+(,)(,)
1(,)(,)d x z d z y d x z d z y +≤
++ (()f t 单调递增)
(,)(,)
1(,)(,)1(,)(,)
d x z d z y d x z d z y d x z d z y =+
++++
(,)(,)
1(,)1(,)
d x z d z y d x z d z y ≤
+
++ 11(,)(,)d x z d z y =+ 因此1(,)d x y 是X
上的距离. □