行波总结

在电力系统正常工作下，输电线路、母线、电缆以及变压器和电机的绕组等元件，由于其尺寸远小于50Hz 交流电的波长（λ=6000km ），故可按集中参数元件处理。

在过电压作用下，由于电压的等效频率很高，其波长小于或与系统元件长度相当，此时就必须按分布参数元件处理。

行波的传播速度和波长

电力线路在输送电能时是以电磁波的形式传播的，在忽略电阻和电导的情况下，其线性行波的传播速度为： 001C L t x v ==

将线路的电感和电容代入上式，得

s m 103180r 0r r r v μεμμεε?== 波的传播速度与导线几何尺寸、悬挂高度无关，仅由导线周围的介质所确定。

对架空线，,1,1==r r με所以 ()C v =?=s m 1038 （真空中的光速）

对于电缆，,1,4=≈r r με所以 ()2m 105.18C v ≈?=，约为光速的一半。

行波波长是指行波相位差正好等于2π的两点之间的距离。

波阻抗

00

C L i u

Z ==

即波阻抗,通常用Z 表示,其单位为欧姆，其值取决于单位长度线路电感0L 和对地电容0C ，而与线路长度无关。把

0L 、0C 代人上式得 r h Z d r r

2ln 21

00εεμμπ=

式中 0ε——真空介电常数；

r

ε——相对介电常数；

μ——真空导磁系数；

r

μ——相对导磁系数；

d

h——导线对地平均高度；r——导线半径。

对架空线，

()Ω

=

r

h

Z d

2

ln

60

，一般单导线架空线路

()Ω

≈500

Z。同时看到,

波阻抗不但与线路周围介质有关，且与导线的半径和悬挂高度有关。

电缆的波阻抗比架空线要小得多，大约为十几欧至几十欧不等。

波动方程

电压波符号只决定导线对地电容上相应电荷的符号，和运动方向无关。电流波的符号不但与相应的电荷符号有关，而且与运动方向有关，我们一般以x正方向作为电流的正方向。这样，当前行波电压为正时，电流也为正，即电压波与电流波同号。但当反行波电压为正时，由于反行波电流与规定的电流正方向相反，所以应为负。在规定行波正方向前提下，前行波电压和前行波电流总是同号，而反行波电压和反行波电流总是异号。

分布参数的波阻抗与集中参数电路中的电阻有本质不同，这里着重指出它的几个主要特点：

1)波阻抗表示具有同一方向的电压波和电流波的大小的比值。电磁波通过波阻抗为Z的导线时，能量以电磁能的形式储存在周围介质中，而不是被消耗掉。

2)如果导线上既有前行波又有反行波时，导线上总的电压和电流的比值不再等于波阻抗Z。

3)波阻抗Z的数值只和导线单位长度的电感和电容有关，与线路长度无关。

4)为了区别向不同方向运动的行波，Z的前面应有正、负号。

行波的折射和反射

q q u u 12α= q f u u 12β= 2122Z Z Z +=α 2112Z Z Z Z +-=β βα+=1

式中α表示折射波电压与入射波电压的比值，称为电压波折射系数。20≤≤α。β表示反射波电压与入射波电压的比值，称为电压波反射系数。11≤≤-β。

几种特殊条件下的折、反射波：

1）线路末端开路时：

当波到达开路末端时，将发生电压全反射。全反射的结果是使线路末端电压上升到人射波电压的两倍。同时，电流波则发生了负的全反射，电流波负反射的结果是使线路末端的电流为零，也就是末端开路时，入射波的全部磁场能量将转变为电场能量。

2）线路末端短路时：

当波到达短路的末端后将发生电压的负的全反射，负反射的结果是使线路末端电压下降为零。同时，电流波则发生正的全反射，电流波正的全反射的结果是使线路未端的电流上升为入射波电流的两倍。也就是末端短路时，入射波的全部电场能量将转变为磁场能量。

3）线路末端接负载电阻 )(21R Z Z R ==

入射波到线路末端A 点时并不反射，和均匀导线的情况完全相同。入射波的电磁能量全部消耗在电阻 R 上。线路上的电压波及电流波不发生任何变化，不同之处在于波阻抗Z 2不消耗能量，而负载电阻R 将消耗能量。这种情况称为阻抗匹配。在进行高压测量时，往往需要在电缆末端接一个匹配电阻（其值等于电缆波阻抗），以消除波传到电缆末端时的折、反射现象，从而正确地测量来波的波形与幅值。

计算折射波的等值电路（彼德逊法则）

要计算分布参数线路上节点A的电压u2，可以应用图(b)的集中参数等值电路：①线路波阻抗Z1用数值相等的集中参数电阻代替；②把线路上的入射电压波的两倍2u1q（即2u1f）作为等值电压源。这就是计算折射波u2的等值电路法则，称之为彼德逊法则。彼德逊法则可以把分布参数电路中波过程的许多问题简化为集总参数电路的暂态计算，使问题简化。

在应用彼德逊法则时应该注意两点：○1波必须从分布参数的线路入射，并且必须是流动的；○2节点A两边的线路均为无限长或者虽为有限长，但波在该节点只有一次折、反射（或理解为来自其另一端的反射波尚未到达A点）。如果不满足这些条件，则彼德逊法则就不成立。

行波通过串联电感和并联电容

1）无限长直角波通过串联电感

无穷长直角波穿过串联电感时，波头被拉长，变为指数波头的行波，串联的电感起了降低来波上升速率的作用，而电压、电流的稳态值与未经串联电感时一样。波头被拉长与电感L值有关，L愈大，波头就愈长。

当幅值为u1q的无穷长直角波投射到电感线圈上时，通过线圈的电流在最初瞬间是零，然后才逐渐增大，因为在线圈中的磁能不能突变，因而穿过电感在Z2上传播的电压与电流都是由零值逐渐增大，然后达到稳定值。同时反射波的波形也不再是直角波，因为波作用到电感线圈的最初瞬间相当于波到达线路开路的未端一样，反射波在此瞬间值为U1q，使电感线圈首端的电压上升到2u1q，以

后反射的电压从幅值u1q逐渐下降，最后达到稳定值。

2）无限长直角波通过并联电容

在波到达电容瞬间，电流发生正的全反射，使连接点A的电流上升到2i1q 之后逐渐下降到稳定值，在电压和电流趋于稳定后，与电容C无关，此值仅决定于Z1和Z2。

由此可见，当幅值为u1q的无穷长直角波投射到具有并联电容的线路时，由于电容器上的电压不能突变，所以当波投射的瞬间，电容器的电压等于零，全部电场能量均转变为磁场能量，从而流经电容器的电流等于入射波电流的两倍，而在波阻抗为Z2的线路上，电流将为零。然后，电容器开始充电，在它上面的电压将开始增加，在电容器后面线路也就出现了电压前行波，使电容器上的电压从零增加到稳态值。

（仅作参考图）

行波的多次折、反射

折射波电压的最终值只由波阻抗Z1和Z2所决定，而与中间线路的波阻抗Z l 无关。也就是说，中间线路的存在只会影响到折射波的波头，而不会影响到它的

最终值。

串联三导线典型参数配合时波过程的特点

当中间线路的波阻抗处于两侧线路的波阻抗之间时，中间线路的存在将使折射到线路Z2上的前行波发生震荡，产生过电压。增大中间线路的波阻抗使其大于两侧线路的波阻抗，或者减小中间线路的波阻抗使其小于两侧线路的波阻抗，均可消除线路Z2上前行波的震荡，降低前行波的平均陡度。

行波的衰减和变形

波在理想的无损线路上传播是没有衰减和变形的，但实际上由于导线和大地有电阻，导线与大地间有漏电导，行波在传播过程中，总要在这些电阻、电导上消耗掉本身的一部分能量，因而使行波产生衰减和变形。但在高压输电线路上引起行波的衰减和变形的主要原因，是在行波的高电压作用下导线上出现的冲击电晕。

冲击电晕的形成和特点：

当线路受到雷击或出现操作过电压时，若导线上的冲击电压幅值超过起始电晕电压时，则在导线上发生电晕，称为冲击电晕。导线发生冲击电晕以后，在导线周围会出现发亮的光圈，我们称它为电晕圈(套)，根据冲击电压的极性不同，电晕圈(套)可分为正极性电晕圈和负极性电晕圈。极性对电晕的发展有很大的影响：当产生正极性冲击电晕时，在空间的正电荷加强了距导线较远处的电位递度，有利于电晕的发展，使电晕圈不断扩大，因此对波的衰减和变形比较大；而对负极性冲击电晕，在空间的正电荷削弱了电晕圈外部的电场，使电晕不易发展，对波的衰减和变形比较小。因为雷电大部分是负极性的，所以在过电压计算中应该以负冲击电晕的作用作为计算依据。

电晕对导线上波过程的影响：

○1使导线的耦合系数增大。当导线上出现电晕以后，相当于增大了导线的半径，因而与其他导线间的耦合系数增大了。前面所述的不考虑电晕时的耦合系数，只决定于导线的几何尺寸及其相互位置，所以又称为几何耦合系数。出现电晕后，耦合系数以原来的k0增大到k。○2使导线的波阻抗和波速减小。○3使波在

传播过程中幅值衰减，波形畸变。利用冲击电晕会使行波衰减和变形的特性，常用设置进线段作为变电所防雷的一个主要保护猎施。

变压器绕组中的波过程

变压器绕组的等值电路

由于冲击波作用于绕组在波首、波尾时的等值电路中各元件的作用变化，与其相对应的波过程变化规律也不同，我们可将绕组的电位分布按时间区分为三个不同阶段：直角波开始作用瞬间，由C0、k0决定电位的起始分布；无穷长直角波长期作用时(即t→∞)，仅由绕组直流电阻决定的稳态电压分布；由起始阶段向稳态过渡时，即t=0起到时间趋向无穷大阶段。

绕组中的初始电压分布：

在t=0瞬间，绕组首端的电位梯度将比平均值大αl倍。因此对绕组首端的绝缘需要采取保护措施，例如通过补偿对地电容C0dx的影响或增大纵向电容k0/dx，以改善起始电位分布。

绕组中的稳态电压分布：

绕组中的振荡过程：

由于变压器绕组中的初始电压分布和稳态分布不相同：因此从初始分布到稳态分布必然有一过程，此过程因电感、电容间的能量转换而具有振荡性质，振荡的激烈程度和起始分布与稳态分布的差值直接相关。

对末端接地的绕组中，最大电位将出现在绕组首端附近，其值将达1.4U0左右；末端开路的绕组中最大电位将出现在绕组末端附近，其值将达2U0左右。实际上由于绕组内的损耗，最大值将低于上述数值。

侵入波波形对振荡过程的影响：

变压器绕组在侵入波的影响下，其振荡过程与侵入波电压的陡度有关。当侵人波波头较长时，陡度较小，上升速度也较慢，则绕组的初始电压分布受电感

和电阻的影响，更接近于稳态分布，振荡就会缓和一些，绕组各点对地电位和电位梯度的最大值也将会降低；反之当侵入波波头短时，陡度较大，上升速度快，绕组内的振荡过程将很激烈。此外,在运动中变压器绕组可能受到截断波的作用。截波作用下绕组内的最大电位梯度将比全波作用时大。

三相绕组中的波过程：

1 中性点接地的星形接线

当变压器高压绕组是中性点接地的星形接线时，可以看成是三个独立的绕组。不论单相、两相或三相进波都可看作与单相绕组的波过程相同。

2 中性点不接地的星形接线

中性点不接地的星形接线三相变压器，当冲击电压波单相入侵时(假设A 相人侵)，因为绕组对冲击波的阻抗远大于线路波阻抗，故可认为在冲击波作用下B、C两相绕组的端点是接地的，绕组电压的起始分布与稳态分布如图⒋28(b)中的曲线1、2。因稳态时绕组电压按电阻分布，故中性点O的稳态电压为1/3U0(U0为A绕组首端进波电压)，因而在振荡过程中中性点O的最大对地电位将不超过2/3U0。当冲击电压波沿两相入侵时，可用叠加法来计算绕组中各点的对地电位。A、B两相各自单独进波时中性点电位可达2/3U0，故A、B两相同时进波时，中性点最末电位可达4/3U0，超过了首端的进波电压。当三相同时进波时，与末端不接地的单相绕组的波过程相同，中性点最大电位可达首端进波电压的两倍。

3三角形接线

三角形接线的三相变压器，当冲击电压波沿单相入侵时(假定从A点入侵)，同样因为绕组对冲击波的阻抗远大于线路波阻抗，故B、C两端点相当于接地。因此在AB、AC绕组的波过程各与末端接地的单相绕组相同。

两相和三相进波时可用叠加法进行分析。绕组中部对地电位最高可达2倍U0。

冲击电压在绕组间的传递：

当冲击电压波入侵于变压器的高压绕组时，会在低压绕组中产生过电压。波由高压绕组向低压绕组传播的途径有两个：一个是通过静电感应的途径，另一个是通过电磁感应的途径。

1 绕组间的静电感应

一般说来，低压绕组通常和很多线路或电缆连接，故C2远大于C12，所以静电分量较小，一般没有危险。但是，对于三绕组变压器，如果高压和中压侧均处于运行状态而低压侧开路，则电容C2较小，当由高压侧或中压侧进波时，静电耦合分量有可能危及低压绕组的绝缘，需要采取保护措施。

2绕组间的电磁感应

一次绕组在冲击电压作用下，绕组电感中会逐渐通过电流，所产生的磁通将在二次绕组中感应出电压，这就是电磁耦合分量。电磁耦合分量按绕组间的变比传递，它的大小与一、二次绕组的结线方式，以及一次绕组是单相、两相或三相进波等情况有关。由于低压绕组其相对的冲击强度(冲击试验电压与额定相电压之比)较高压绕组大得多，因此凡高压绕组可以耐受的电压(加避雷器保护)按变比传递至低压侧时，对低压绕组亦无危害。

几类非线性方程的行波解与临界周期分支

目录 目录 摘要 .................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................. II 第一章序言 .. (1) §1.1 非线性波方程的行波解 (1) §1.1.1 行波解理论的基本问题 (1) §1.1.2 非线性波方程的求解 (3) §1.2 极限环分支与临界周期分支 (4) §1.2.1 极限环分支 (4) §1.2.2 临界周期分支 (6) §1.3 本文主要工作和创新点 (7) 第二章一类Schamel-Korteweg-de Vries方程的行波解 (9) §2.1 引言 (9) §2.2 预备知识 (10) §2.3使用Sine-Cosine法求解 (10) §2.4使用扩展双曲正切函数法求解 (13) 第三章一类五次Kukles系统的极限环与局部临界周期分支 (17) §3.1 引言 (17) §3.2 预备知识 (17) §3.3 中心条件与极限环 (21) §3.4 细中心与临界周期分支 (26) 第四章一类反应扩散方程的局部临界周期分支 (28) §4.1 引言 (28) §4.2 预备知识 (29) §4.3 孤立周期波解与连续周期波解 (30) §4.4 细中心与临界周期分支 (32) 第五章两类非线性Schr?dinger型方程的局部临界周期分支 (36) §5.1 引言 (36) §5.2 细中心与局部临界周期分支 (37) 第六章总结与展望 (41) 参考文献 (42) 致谢 (50) 作者在攻读硕士期间主要研究成果 (51) IV

数学物理方程教案3行波解

数学物理方程教案3 主要内容： 1、掌握行波解求解思路和一般步骤。 2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。 3、理解推迟势的物理意义。 第二章行波法 上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。 我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。 2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出 对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上

第三章行波法(2)

补充：（习题2.1 ） 10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为kx cos A ，初始电流分布为 kx A L C cos 。 解：（1）电压的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt v a v ，式中LC a 1 2 =。 初始条件： ?? ? ? ?==--=-======)(sin )sin ()1(1 )(cos 00 0x kx aAk kx Ak L C C j C v x kx A v t x t t ψ? 由达朗伯公式有： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x v ξξψ??)(21)]()([21),( )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=?+-+at x at x d k aA a ξξsin 21 )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=)](cos )(cos [2 at x k at x k A -++-+ )(cos at x k A -= （2）电流的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt j a j ，式中LC a 1 2 = ，初始条件： ??? ??? ?==-======)(sin 1 )(cos 000 x kx L Ak v L j x kx A L C j t x t t t ψ? 应用一维无界空间解达朗伯公式： )](cos )(cos [21),(at x k A L C at x k A L C t x j -++=?+-+at x at x d k L Ak a ξξsin 21 )](cos )([cos 2at x k at x k L C A -++= )]cos()(cos [2at x at x k A L LC -++-+ )(cos at x k A L C -= 11．在G/C=R/L 条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。 解：关于j 和v 的电报方程为

非线性数学物理方程的行波解

非线性偏微分方程行波解 1直接积分法 行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。这个过程简记为行波变换。直接积分法指直接求解这个常微分方程。 例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=?-+-= 积分难计算： 1用特殊形式的解试凑： exp()1exp() B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x x x u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++= 2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。 2混合指数方法 适用于多项式方程，非多项式方程需变换。如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤 1.行波变换 2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φ? -=,若n 为负数,可设1φ?-=。 3.为获得更多的解，引入变换+C φ?= 4.设1,exp()n n n a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项 构成方程的解），代入方程，得到递推关系。解出n a 。得到方程的解。 注： 1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。【2】 2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i i i i i n i n n i i i i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。【3】 3齐次平衡法 齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。 1.()()()m n m n x t u f f φφφφ+=+关于x 和t 的各阶偏导数为变元的低于m+n 次的线性组合。代 入方程平衡中最高阶导数项与最高阶非线性项，确定m ，n （非正整数则进行变换）。 2.代入方程令最高阶导数项系数为0，解常微分方程确定f 。

非线性方程的行波解

Sine-Gordon 方程的行波解 摘要：本文利用行波变化法求解了(2+1)维Sine-Gordon 方程的行波解, 得到了很好的结果, 并对其解进行了简要的讨论. 关键词： Sine-Gordon 方程,行波变换,行波解 Sine-Gordon 方程是物理学中的一个非常重要的模型方程，也是一类非常普遍的具有物理特性的非线性演化方程之一，在固体物理、非线性光学、量子理论等方面都有广泛的应用。 许多研究人员对此方程的解析解做了大量的研究. 如,Drazin 和Johnson 用分裂算符法[1] 求 解了该方程的解析解；刘等,张等和刘等利用Jacobi 椭圆展开法[2,3,4,5] 得到了该方程的周期波解. Parkes 和Duffyl 利用双曲正切函数法[6]找到了该方程的孤波解. 张等人通过求解得到了该方程的精确行波解[7] Sine-Gordon 方程的形式如下 0sin 2 0202022=+?-??u f c t u (1) 其中 0022 2222 ,f c ,y x ??+??=?为常数 对方程(1)做如下行波变换 ()ξu u =, ct ly Rx -+=ξ (2) 得到 () 22 222222222,ξ ξd u d l R u d u d c t u +=?=?? (3) 将式(3)带入式(1)得 0sin )]([20222 2 20 2 =++-u f d u d l R c c ξ (4) 下面我们分0)]([22202>+-l R c c 和0)]([2 2 202<+-l R c c 两种情况来讨论Sine-Gordon 方程的解. (一)、当0)]([2 2 2 02 >+-l R c c 时 0sin 2 2 2=+u m d u d ξ (5) 其中

数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式

数学物理方法 泰山医学院 于承斌 cbyu@https://www.wendangku.net/doc/969816100.html,

第十四章行波法与达朗贝尔公式 14.1 二阶线性偏微分方程的通解 对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解， 但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后， 有的可以得到通解。

例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280 例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P281 14.2 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程 类型的求解十分有效.

1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程 xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1) 方程中的系数 ,,a b c 为实常数． ,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母 表示它是实常数，而不是 的函数）

假设方程的行波解具有下列形式 (,)() u x y F y x λ=+代入方程即得 2 ()()()0 a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故2 a b c λλ++=(14.2.2) ''()0 F y x λ+≠上述方程变为

(i) 2 40 b a c ?=?>12(,)()() u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3) 2 40 b a c ?=?=(ii) 122b a λλ==? 对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()() u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4) 对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12 ,λλ

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

常见的几个偏微分方程的解法参考文献汇总

Boussinesq:0)(220=---xx xxxx xx tt u u u c u βα 1. Jacobi 椭圆函数展开法 [2]刘式适,傅遵涛,刘式达,赵强.Jacobi 椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,2001(11):2068-2073. ；[29]闻小永.Boussinesq 方程的Jacobi 椭圆函数精确解[J].北京机械工业学院学报,2007(01):23-26. 2. 三角函数法和吴文俊消元 [26]贺锋,郭启波,刘辽.用三角函数法获得非线性Boussinesq 方程的广义孤子解[J].物理学报,2007(08):4326-4330. 3. 双函数法、吴文俊消元 [27]黄文华,张解放,盛正卯.Boussinesq 方程的新显式精确行波解[J].浙江大学学报(理学版),2003(02):145-149. 4. 齐次平衡法、backlund 变换 [28]夏铁成,张鸿庆,李佩春.Boussinesq 方程精确解析解研究[J].大连理工大学学报,2003(04):393-396. 5.推广的Tanh 法、Jacobi 椭圆函数、双曲函数 [30]高亮,徐伟,申建伟,唐亚宁.Boussinesq 方程新的显式行波解[J].西南民族大学学报(自然科学版),2006(01):54-59. 6.试探方程法、齐次平衡法 [39]杨玉婷,崔泽建.用试探方程法求解Boussinesq 方程[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2012,31(03):5- 7. 7.拓展的Jacobi 椭圆函数法 [44]钟太勇,钟远涛.用形变映射法求KdV 方程的显式精确行波解 [J].江汉大学学报(自然科学版),2009,37(03):10-12. 8.改进的试探函数法 [45]谢元喜,唐驾时.用改进的试探函数法求解Boussinesq 方程[J].安阳工学院学报,2005(06):73-76. 9.形变映射法 [46]方建平.形变映射法构造非线性Boussinesq 方程的行波解[J].丽水师范专科学校学报,2003(02):12-15. Sine -Gordon 方程：0sin =+-u u u tt xx 1. 直接积分法 [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007. 2. 混合指数方法. [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007. 3. F -展开法 齐次平衡法 [13]王明亮,聂惠,李向正.用F 展开法解Sine -Gordon 方程[J].河南科技大学学报(自然科学版),2005(01):79-82. ；[32]范建华,闫杰生.Sine -Gordon 方程的精确解[J].商丘职业技术学院学报,2004(06):11-13+21. 4.扩展的sinh -Gordon 方程展开法 [95]杨先林,唐驾时.非线性演化方程的新Jacobi 椭圆函数解[J].动力学与控制学报,2011,9(02):147-151. 5.双线性算子、齐次平衡 [99]杨琼芬,唐再良,罗守双.用双线性形式求得sine -Gordon 方程新的精确解[J].绵阳师范学院学报,2015,34(11):12-14+29. 6.Jacobi 椭圆函数展开法 [100]沈水金.利用Jacobi 椭圆函数展开法求解特殊类型的方程[J].上海大学学报(自然科学版),2010,16(04):383-386. Fisher 方程：0)1(=---u u u u xx t βα 1. 观察试凑法 [1]李志斌. 非线性数学物理方程的行波解[M]. 科学出版社, 2007. 2. 指数函数法 [51]王军帽,张睿,张文亮,张苗,韩家骅.Exp 函数法与Fisher 方程新的精确解[J].安徽大学学报(自然科学版),2009,33(01):53-56. ； [52]张桂戌,李志斌,段一士.非线性波方程的精确孤立波解 [J].中国科学(A 辑),2000(12):1103-1108. 3.正切函数变换 [53]张宏.Fisher 方程的新孤波解[J].青海师范大学学报(自然科学版),2006(03):37-38+67. 4.推广的tanh 函数法、复tanh 函数法、广义幂指函数法 [54]庄红波. 函数变换法求经典Fisher 方程的显示解[D].四川师范大学,2006.

行波法和达朗贝尔公式

行波法与达朗贝尔公式 我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式 试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式 即 （7-4-1） （1）通解 方程（7-4-1）的形式提示我们作代换 （7-4-2） 因为在这个代换下， 方程（7-4-1）就成为 。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2） 修改为 ,0 2 2 2 22 =??? ????-??u x a t . 0 =??? ????-????? ????+?? u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ??+??=????+????=??ξξξ, ??? ????-?? -=?? ??+????=?? x a t x x t t ηηη0 ) /(2 =???u ηξ

即 在此代换下，方程（7-4-1）化为 （7-4-3） 就很容易求解了。 先对 积分，得 （7-4-4） 其中 是任意函数。再对 积分，就得到通解 （7-4-5） 其中 和 都是任意函数。 式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 而论，改用以速度 沿 正方向移动的坐标轴 ，则新旧坐标和时间之间的关系为 而 与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动 坐标系以速度 沿 正方向移动的行波。同理，是以速度 沿 负方向移动的行波。 这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 向两方向传播的行波。 ?????? ? -=+=),(21),(21ηξηξa t x ?? ?-=+=., at x at x ηξ, 0 2 =???η ξu η ) ( ξξ f u =??f ξ ), ()( ) ()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+= ? ηξηξξ1 f 2 f ) (2at x f -a x X ?? ?=-=,,t T at x X ), ()(22X f at x f =-a x ) (1at x f +a x a

非线性偏微分方程

非线性偏微分方程及其几种解法综述 姓名：柏宝红 学号：BY1004120

目录 1、绪论 (3) 1.1背景 (3) 1.2 现状 (7) 2、非线性偏微分方程的几种解法 (10) 2.1逆算符法 (10) 2.2 齐次平衡法 (11) 2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12) 2.4 辅助方程方法 (14) 2.5 F-展开法 (15) 2.6 双曲正切函数展开法 (17)

1、绪论 以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。 目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。 1.1背景 孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。 随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对

行波法和达朗贝尔公式

第二章数学物理方程的解 §2.1 行波法 达朗贝尔公式 读者已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式 试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式 即 （7-4-1） （1）通解 方程（7-4-1）的形式提示我们作代换 （7-4-2） 因为在这个代换下， 方程（7-4-1）就成为。 但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2） 修改为 ,0 2 2 222=??? ????-??u x a t . 0 =??? ????-????? ????+?? u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ??+??=????+????=??ξξξ, ??? ????-??-=????+????=??x a t x x t t ηηη0) /(2=???u ηξ

即 在此代换下，方程（7-4-1）化为 （7-4-3） 就很容易求解了。 先对积分，得 （7-4-4） 其中是任意函数。再对积分，就得到通解 （7-4-5） 其中 和都是任意函数。 式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 而论，改用以速度沿正方 向移动的坐标轴，则新旧坐标和时间之间的关系为 而 与时间T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。同理，是以速度沿负方向 移动的行波。 这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度向两方向传播的行波。 ?????? ?-=+=),(21),(21ηξηξa t x ?? ?-=+=., at x at x ηξ,0 2=???ηξu η )( ξξf u =??f ξ), ()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=?ηξηξξ1f 2f )(2at x f -a x X ?? ?=-=, ,t T at x X ),()(22X f at x f =-a x )(1at x f +a x a

第三章 行波法(1)

第三章 行波法 §3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解 （1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为 ()()0,1x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =t （2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()2 s i n ,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =2231 sin cos 626x at x at a t a ?? + +? ? =2231sin cos 3 x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()3,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? = ()() 1 cos cos 1 2 2x at x at x at x at e d a α+---+++ ? =1cos cos x at e t -+ 2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ?，初始速度为()'a x ?-。 解：该问题的数学模型为：

()()()( ) 2 ' ,,0,0,,0t t x x t u a u x t u x x u x a x ???=-∞<<+∞>?? ==-?? 由达朗贝尔公式： ()()() ()' 1,2 2x at x at x at x at u x t a d a ???αα+--++= + -? =()x at ?- 2．求解弦振动方程的古沙问题 ()()()( )()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ?ψ=? ? -=-∞<<+∞??=-∞<<+∞ ? 解：该方程的通解为： ()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =- ()()()1202x f f x ?=+ 令： t x = ()()()1220x f x f ψ=+ 令2y x =，则有： ()()()()12210202y f y f y f y f ψ??? ? =- ?????? ? ? ?=- ???? ? 所以： ()()1102x t f x t f ψ+??+=- ???，()()2202x t f x t f ?-?? -=- ??? ()()()12,0022x t x t u x t f f ψ?+-???? =+-+?? ? ??????? 又 ()()121(0)(0)002 f f ?ψ+=+???? 所以古沙问题解为： ()()() 00,22 2x t x t u x t ?ψψ?++-????=++ ? ????? 3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。设初始电压分布为 cos A kx cos kx 。

第七章 行波法和积分变换法

第七章 行波法和积分变换法 7.2 基础训练 7.2.1 例题分析 一、行波法 例1 求解下列初值问题 () 2 1 000 ,0(,)|cos , (,)|. tt xx t t t u a u x t u x t x u x t e -==?-=-∞<<∞>?? ==?? 解 本题中1()cos ,(),x x x e ?ψ-== 直接应用D ’Alembert 公式（7.2）有 []1 11(,)cos()cos()22cos()cos x at x at u x t x at x at e d a t at x e ξ+--=++-+=+? 例2 试求解有阻尼的波动方程的初值问题 () 220020(1)(,)|(), (,)|() (2) tt xx t t t t v a v v v x v x t x v x t x εε?ψ==-++=-∞<<∞== 解 问题中的泛定方程与无界弦的自由振动相比，多了阻尼项，故不能直接运用D ’Alembert 公式求解。但对于阻力的作用，常常可表示为其解中带一个随时间呈指数衰减的因子，故可令 ()(,)(,) 0t v x t e u x t ββ-=> （3） 其中β为一待定参数，于是 ()2,2, t t t t tt tt t xx xx u v e u v e u u u v e u t ββββββ---???=-=-+= ???? 代入阻尼振动方程（1），得 ()() 222 220tt xx t u a u u u εβεεββ-+-+-+= 显然，若取βε=，则上式变成标准波动方程 20tt xx u a u -= （4） 将变换（3）代入（2），得 0 (,0)(,0)()v x e u x x ε?-?== 0(,0)(,)|()t t t d v x e u x t x dt εψ-?=??= =??

行波法故障测距

行波法故障测距 行波法的研究始于本世纪四十年代初,它是根据行波传输理论实现输 电线路故障测距的。现在行波法已经成为研究热点。 (1)早期行波法按照故障测距原理可分为 A,B,C 三类: ① A 型故障测距装置是利用故障点产生的行波到达母线端后反射到故障点,再由故障点反射后到达母线端的时间差和行波波速来确定故障点距 离的。但此种方法没有解决对故障点的反射波和对侧母线端反射波在故障点的透射波加以区分的问题,所以实现起来比 较困难。 ② B 型故障测距装置是利用记录故障点产生的行波到达线路两端的时间,然后借助于通讯联系实现测距的。由于这种测距装置是利用故障产生后到达母线端的第一次行波的信息,因此不存在区分故障点的反射波和对侧 母线端反射波在故障点的透射波的问题。但是它要求在线路两端有通讯联系,而且两边时标要一致。这就要求利用 GPS 技术加以实现。 ③ C 型故障测距装置是在故障发生后由装置发射高压高频或直流脉冲,根据高频脉冲由装置到故障点往返一次的时间进行测距。这种测距装置原理简单,精度也高,但要附加高频脉冲信号发生器等部件,比较昂贵复杂。另外,测距时故障点反射脉冲往往很难与干扰相区别,并且要求输电线路三相均有高频信号处理和载波通道设备。 三种测距原理的比较:A 型和 C 型测距原理属于单端测距,不需要线 路两端通信,因都需要根据装置安装处到故障点的往返时间来定位,故又称回波定位法;而 B 型测距原理属于双端通讯, 需要双端信息量。A 型测距原理和 B 型测距原理适用于瞬时性和持久性故障,而 C 型测距原理只适 用于持久性故障。 (2)现代行波法 从某种意义上讲,现代行波法是早期A 型行波法的发展。60年代中期以来,人们对1926年提出的输电线路行波传输理论行了大量的深入的研究,在相模变换、参数频变和暂态数值计算等方面作了大量的工作,进一步加深了对行波法测距及诸多相关因素的认识。 1)行波相关法 行波相关法所依据的原理是向故障点运动的正向电压行波与由故障点返回的反向电压行波之间的波形相似,极性相反,时间延迟△ t对应行波在母线与故障点往返一次所需要的时间。对二者进行相关分析,把正向行波倒极性并延迟△ t时间后,相关函数出现极大值。