数学建模-最小生成树-kruskal算法及各种代码
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者：凤呜大王*
kruskal算法及代码
---含伪代码、c代码、matlab、pascal等代码
K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。
目录
Kruskal算法
Kruskal算法的代码实现
Kruskal算法
Kruskal算法的代码实现
算法定义
克鲁斯卡尔算法
假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。
举例描述
克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大致的流程可以用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。非常清晰且直观。
首先第一步，我们有一张图，有若干点和边
如下图所示：
第一步我们要做的事情就是将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择。
排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了
第二步，在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7。完成之后，图变成了这个样子。
.
下一步就是关键了。下面选择那条边呢？ BC或者EF吗？都不是，尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以我们不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下图：
.
到这里所有的边点都已经连通了，一个最小生成树构建完成。
编辑本段Kruskal算法的代码实现
伪代码
MST-KRUSKAL(G，w)
C代码实现
/* Kruskal.c
Copyright (c) 2002,2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];
int circle=0;
int FindCircle(int,int,int,int);
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者：凤呜大王*
int main()
{
int path[maxver][2],used[maxver][maxver];
int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;
int v1,v2,num,temp,status=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j for(k=0;k { if(j==k) { G[j][k]=maxright; used[j][k]=1; touched[j][k]=0; } else if(j { re: printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1）; scanf("%d",&temp); if(temp>=maxright||temp<-1） { printf("Invalid input!\n"); goto re; } if(temp==-1） temp=maxright; G[j][k]=G[k][j]=temp; used[j][k]=used[k][j]=0; touched[j][k]=touched[k][j]=0; } } for(j=0;j { path[j][0]=0; path[j][1]=0; } for(j=0;j { status=0; for(k=0;k if(G[j][k] { status=1; break; } if(status==0) break; } for(i=0;i { for(j=0;j for(k=0;k if(G[j][k] { v1=j; v2=k; min=G[j][k]; 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* } if(!used[v1][v2]) { used[v1][v2]=1; used[v2][v1]=1; touched[v1][v2]=1; touched[v2][v1]=1; path[0]=v1; path[1]=v2; for(t=0;t FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]); if(circle) {/*if a circle exsits,roll back*/ circle=0; i--; exsit=0; touched[v1][v2]=0; touched[v2][v1]=0; min=maxright; } else { record++; min=maxright; } } } if(!status) printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n"); else { for(i=0;i printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[0]+1,path[1]+1）; } return 1; } int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre) { /* to judge whether a circle is produced*/ int i; for(i=0;i if(touched[begin]==1） { if(i==start&&pre!=start) { circle=1; return 1; break; } else if(pre!=i) FindCircle(start,i,times,begin); else continue; } return 1; } matlab代码实现 function Kruskal(w,MAX) %此程序为最小支撑树的Kruskal算法实现 %w为无向图的距离矩阵，故为对称矩阵 %MAX为距离矩阵中∞的实际输入值 %时间：2011年6月22日0:07:53 len=length(w); %图的点数 edge=zeros(len*(len-1）,3）; %用于存储图中的边count=1; %图中的边数 for i=1:len-1 %循环距离矩阵，记录存储边 for j=i+1:len if w(i,j)~=MAX edge(count,1）=w(i,j); edge(count,2）=i; edge(count,3）=j; count=count+1; end end end edge=edge（1:count-1,:); %去掉无用边 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* [tmp,index]=sort(edge(:,1）); %所有边按升序排序 i=3; %其实测试边数为3条（3条以下无法构成圈，即无需检测） while 1 x=findcycle(edge(index（1:i),:),len); %检测这些边是否构成圈if x index(i)=0; %若构成圈，则将该边对应的index项标记为0，以便除去 else i=i+1; %若没有构成圈，则i加1，加入下一边检测 end index=index(index>0); %将构成圈的边从index中除去 if i==len break; %找到符合条件的点数减一条的边，即找到一个最小支撑树 end end index=index（1:len-1）; %截短index矩阵，保留前len-1项 %%%%%%%%%%%% 结果显示 %%%%%%%%%%%%% s=sprintf('\n\t%s\t%s\t %s\t','边端点','距离','是否在最小支撑树'); for i=1:count-1 edge_tmp=edge(i,:); if ~isempty(find(index==i,1）) s_tmp=sprintf('\n \t (%d,%d)\t %d\t %s\t',edge_tmp（2）,edge_tmp （3）,edge_tmp（1）,'√'); else s_tmp=sprintf('\n \t (%d,%d)\t %d\t %s\t',edge_tmp（2）,edge_tmp （3）,edge_tmp（1）,'×'); end s=strcat(s,s_tmp); end disp(s); end function isfind=findcycle(w,N) %本程序用于判断所给的边能否构成圈：有圈，返回1；否则返回0 %w：输入的边的矩阵 %N：原图的点数 %原理：不断除去出现次数小于2的端点所在的边，最后观察是否有边留下 len=length(w(:,1）); index=1:len; while 1 num=length(index); %边数 p=zeros（1,N); %用于存储各点的出现的次数（一条边对应两个端点）for i=1:num %统计各点的出现次数 p(w(index(i),2）)=p(w(index(i),2）)+1; p(w(index(i),3）)=p(w(index(i),3）)+1; end index_tmp=zeros（1,num); %记录除去出现次数小于2的端点所在的边的边的下标集合 discard=find(p<2）; %找到出现次数小于2的端点 count=0; %记录剩余的边数 for i=1:num %判断各边是否有仅出现一次端点——没有，则记录其序号于 index_tmp if ~(~isempty(find(discard==w(index(i),2）,1）) || ~isempty(find(discard==w(index(i),3）,1）)) count=count+1; index_tmp(count)=index(i); end end if num==count %当没有边被被除去时，循环停止 index=index_tmp（1:count); %更新index break; else index=index_tmp（1:count); %更新index end end if isempty(index) %若最后剩下的边数为0，则无圈 isfind=0; else isfind=1; end end % % a =[ % 0 3 2 3 100 100 100 % 3 0 2 100 100 100 6 % 2 2 0 3 100 1 100 % 3 100 3 0 5 100 100 % 100 100 100 5 0 4 6 % 100 100 1 100 4 0 5 % 100 6 100 6 100 5 0]; % % Kruskal(a,100） pascal代码实现 { 最小生成树的Kruskal算法。 Kruskal算法基本思想： 每次选不属于同一连通分量（保证不生成圈）且边权值最小的顶点，将边加入MST，并将所在的2个连通分量合并，直到只剩一个连通分量排序使用Quicksort(O(eloge)) 检查是否在同一连通分量用Union-Find，每次Find和union运算近似常数 Union-Find使用rank启发式合并和路径压缩 总复杂度O(eloge)=O(elogv) （因为e } 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* const maxn=100; maxe=maxn*maxn; type edge=record a,b :integer; //边的2个顶点 len :integer; //边的长度 end; var edges :array[0..maxe]of edge; //保存所有边的信息 p,r :array[0..maxn]of integer; //p保存i的父亲节点，r用来实现Union-Find的rank启发式 n,e :integer; //n为顶点数，e为边数 procedure swap(a,b:integer); //交换 begin edges[0]:=edges[a]; edges[a]:=edges[b]; edges[b]:=edges[0]; end; procedure quicksort(l,r:integer); //快速排序 var x,i,j :integer; begin x:=edges[random(r-l+1）+l].len; i:=l;j:=r; repeat while edges[i].len while edges[j].len>x do dec(j); if i<=j then begin swap(i,j); inc(i);dec(j); end until i>j; if l if i end; procedure init; var i :integer; begin assign(input,'g.in');reset(input); readln(n,e); for i:=1 to e do readln(edges[i].a,edges[i].b,edges[i].len); //从文件读入图的信息 for i:=1 to n do p[i]:=i; //初始化并查集 randomize; quicksort（1,e); //使用快速排序将边按权值从小到大排列 end; function find(x:integer):integer; //并查集的Find，用来判断2个顶点是否属于一个连通分量 begin if x<>p[x] then p[x]:=find(p[x]); find:=p[x] end; procedure union(a,b:integer); //如果不属于且权值最小则将2个顶点合并到一个连通分量 var t :integer; begin a:=find(a);b:=find(b); if r[a]>r[b] then begin t:=a;a:=b;b:=t end; if r[a]=r[b]then inc(r[a]); p[a]:=b; end; procedure kruskal; //主过程 var en :integer; //en为当前边的编号 count :integer; //统计进行了几次合并。n-1次合并后就得到最小生成树 tot :integer; //统计最小生成树的边权总和 begin count:=0;en:=0; tot:=0; while count begin inc(en); with edges[en] do begin if find(a)<>find(b) then begin union(a,b); writeln(a,'--',b,':',len); inc(tot,len); inc(count); end; end; end; writeln('Total Length=',tot) end; {===========main==========} begin init; kruskal; end. 例题详见 vijos p1045 Kerry 的电缆网络 type rec=record x,y:longint; cost:real; end; var 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* f:array[1..1000000] of rec; s,ans:real; i,n,m,k,dad:longint; father:array[1..1000000] of longint; procedure kp(l,r:longint); var i,j:longint; xx:real; y:rec; begin i:=l; j:=r; xx:=f[(i+j) div 2].cost; repeat while xx>f[i].cost do inc(i); while xx if i<=j then begin y:=f[i]; f[i]:=f[j]; f[j]:=y; inc(i); dec(j); end; until i>j; if i if l end; function find(x:longint):longint; begin if father[x]=x then exit(x); father[x]:=find(father[x]); exit(father[x]); end; procedure union(x,y:longint;j:real); begin x:=find(x); y:=find(y); if x<>y then begin father[y]:=x; ans:=ans+j; inc(k); end; end; begin readln(s); readln(n); m:=0; while not eof do begin inc(m); with f[m] do readln(x,y,cost); end; if m begin writeln('Impossible'); exit; end; for i:=1 to n do father[i]:=i; kp（1,m); k:=0; for i:=1 to m do begin if k=n-1 then break; union(f[i].x,f[i].y,f[i].cost); end; if k begin writeln('Impossible'); exit; end; if ans>s then writeln('Impossible') else writeln('Need ',ans:0:2,' miles of cable'); end. Kruskal算法适用于边稀疏的情形，而Prim算法适用于边稠密的情形其它最小生成树算法 c++代码实现 #include #include #include using namespace std; #define MAXNUM_VERTEX 20 //最多有 20个顶点 #define MAXNUM_EDGE 21 typedef struct { int v,w; int weight; }Edge; typedef struct { int vertex[MAXNUM_VERTEX]; Edge edge[MAXNUM_EDGE]; int num_vertex,num_edge; }Graph; Graph graph; //声明为全局变量 bool search_vertex(int ver) { for(int i=0; i if( ver == graph.vertex[i] ) return 1; printf("the vertex %d you input is not existed! \n",ver); return 0; } 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* void create_graph() { //输入顶点信息 printf("input the number of vertex in the graph\n"); scanf(" %d",&graph.num_vertex); printf("input the vertex of graph,like 1,2\n"); for(int i=0; i scanf(" %d",&graph.vertex[i]); //输入边信息 printf("input the number of edge in the graph\n"); scanf(" %d",&graph.num_edge); printf("intput the edge of graph and the weight of line,like 1-2 5\n"); for(int j=0; j { p1:int a,c,d; char b; scanf(" %d %c %d %d",&a,&b,&c,&d); if( search_vertex(a) && search_vertex(c) ) { graph.edge[j].v=a; graph.edge[j].w=c; graph.edge[j].weight=d; } else goto p1; } } void sort_by_weight() { for(int i=1; i { Edge temp=graph.edge[i]; for(int j=i-1; j>=0 && graph.edge[j].weight>temp.weight; j--) graph.edge[j+1]=graph.edge[j]; graph.edge[j+1]=temp; } } /*不相交集处理函数*/ inline void makeset(vector { for(int i=0; i array[i]=i; } int findset(vector { if(i != parent[i]) i=parent[i]; return i; } inline void merge(vector { parent[i]=j; } /*不相交集处理函数*/ void kruskal() { int num_ver=graph.num_vertex; int count=0; vector parent_ver.resize(num_ver); /*核心部分是用不相交集合成树*/ makeset(parent_ver); printf("the edge of min tree as follow: \n"); for( int i=0; i { int m=graph.edge[i].v; int n=graph.edge[i].w; int w=graph.edge[i].weight; if( findset(parent_ver,m) != findset(parent_ver,n)) //当属于不同的集合时，则将该边添加进树中 { printf("(%d %d) %d\n",m,n,w); merge(parent_ver,m,n); count++; } } } void print_edge() { printf("the graph you input as follow: \n"); for(int i=0; i printf("%d-%d the weight is: %d\n",graph.edge[i].v,graph.edge[i].w,graph.edge[i].weight); } void main() { create_graph(); sort_by_weight(); print_edge(); kruskal(); } java代码实现 import java.util.ArrayList; import java.util.Collections; class Bian implements Comparable // 两点之间的加权边 { private int first,second;// 表示一条边的两个节点 private int value;// 权值 public Bian(int first,int second,int value) { this.first = first; this.second = second; this.value = value; } public int getFirst() { return first; } public int getSecond() { return second; } public int getValue() { return value; } @Override public int compareTo(Object arg0) { return value > ((Bian) arg0).value 1 : (value == ((Bian) arg0).value 0 : -1）; } @Override 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* public String toString() { return "Bian [first=" + first + ",second=" + second + ",value=" + value + "]"; } } class ShuZu { static ArrayList ArrayList ArrayList public static void check(Bian b)// 检查在哪个数组中 { if (list.size() == 0) { ArrayList sub.add(b.getFirst()); sub.add(b.getSecond()); list.add(sub); ArrayList bian.add(b); bianList.add(bian); return; } int first = b.getFirst(); int shuyu1 = -1; int second = b.getSecond(); int shuyu2 = -1; for (int i = 0; i < list.size(); i++)// 检查两个节点分别属于哪个数组 { for (int m = 0; m < list.get(i).size(); m++) { if (first == (Integer) list.get(i).get(m)) shuyu1 = i; if (second == (Integer) list.get(i).get(m)) shuyu2 = i; } } if (shuyu1 == -1 && shuyu2 == -1）// 表示这两个节点都没有需要新加入 { ArrayList sub.add(b.getFirst()); sub.add(b.getSecond()); list.add(sub); ArrayList bian.add(b); bianList.add(bian); } if (shuyu1 == -1 && shuyu2 != -1）// 表示有一个点已经在数组中只把另一个加入就可以了 { list.get(shuyu2).add(first); bianList.get(shuyu2）.add(b); } if (shuyu2 == -1 && shuyu1 != -1）// 表示有一个点已经在数组中只把另一个加入就可以了 { list.get(shuyu1).add(second); 假设图G 权的邻接矩阵为0A ， ????? ? ??? ???=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 112110 来存放各边长度，其中： 0=ii a n i ,,2,1 =； ∞=ij a j i ,之间没有边，在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替； ij ij w a = ij w 是j i ,之间边的长度，n j i ,,2,1, =。 对于无向图，0A 是对称矩阵，ji ij a a =。 Floyd 算法的基本思想是：递推产生一个矩阵序列n k A A A A ,,,,,10 ，其中),(j i A k 表示从顶点i v 到顶点j v 的路径上所经过的顶点序号不大于k 的最短路径长度。 计算时用迭代公式： )),(),(),,(min(),(111j k A k i A j i A j i A k k k k ---+= k 是迭代次数，n k j i ,,2,1,, =。 最后，当n k =时，n A 即是各顶点之间的最短通路值。 例10 用Floyd 算法求解例1。 矩阵path 用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。Floyd 算法的Matlab 程序如下： clear; clc; M=10000; a(1,:)=[0,50,M,40,25,10]; a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); b=a+a';path=zeros(length(b)); for k=1:6 for i=1:6 for j=1:6 if b(i,j)>b(i,k)+b(k,j) 数学建模10种常用算法 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行 编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组 求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库 函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关， 即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些 图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通 常使用Matlab进行处 参数估计 C.F. 20世纪60年代,随着电子计算机的 。参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。在一定条件下，后面三个方法都与极大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法. 基本介绍 参数估计（parameter 尽可能接近的参数 误差 平方和 θ,使已知数据Y 最大,这里P(Y│θ)是数据Y P(Y│θ)。在实践中这是困难的，一般可假设P（Y│θ 算法设计与分析课程设计报告 学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 年级2011 姓名XXX 学号 2013年5 月19 日 题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析 摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。 引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。 算法分析与设计实验报告第一次附加实验 附录： 完整代码（贪心法） //贪心算法最小生成树prim算法 #include cin>>c[i][j]; } } cout<<"Prim算法最小生成树选边次序如下："< 最小生成树算法分析 一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。 二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。 例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 [举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。 [问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。那么选哪n-1条边呢？设图G的度为n，G=（V，E），我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。 1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 编号： 审定成绩： 重庆邮电大学研究生堂下考试答卷 2013-2014学年第1 学期论文题目：最小生成树在旅游路线选择中的应用 学院名称： 学生姓名： 专业： 学号： 指导教师： 重庆邮电大学教务处制 摘要 随着生活节奏的加快，人民生活水平的提高，人们越来越热衷于四处旅游，同时，大家也不愿意将大部分的时间花费在路途上，人们旅游目的在于放松、赏景、游玩，旅游公司就不得不根据游客要求做出相应的旅游路线安排。很多旅游景点之间都相隔一定的距离，那么如何在众多旅游景点路线中选择最近的一条呢？因此，如何做到即保证游览各个景点又确保路途最近地从众多可行路线中选出最优路线成为了解决此问题的关键。 图论最小生成树理论常用于交通线路选择中，本文将其运用于旅游交通优化与线路组织上，即在赋权图中找出一颗最优树，以满足以最短路径最小连接各旅游目的城市和最小的建设成本。我们所学《图论及其算法》教材中介绍了其中的三种算法Prim 算法、Kruskal 算法和破圈法。本文涉及的抽象图形结构较为简单，使用各类算法的差别在此并无明显体现，一般来说，Kruskal 算法应用较为普遍，因此本文采用Kruskal 算法实现最优路径求取。 文中通过一个例子应用，将最小生成树的Kruskal 算法实际化，通过算法步骤分析，以及在VC++6.0中程序的运行，最终求出的最小生成树与实际相符，该算法思想成立，并具有一般性，能够增删节点、修改权值，也可运用到其他问题的解决中。 关键词：旅游路线问题 Kruskal算法最优路线最小生成树 一、引言 旅游交通是为旅游者由客源地到旅游目的地的往返，以及在旅游目的地各处旅游活动而提供的交通设施及服务，其便利程度，是衡量旅游业发达程度的重要标志。与一般交通不同，旅游交通过程本身也是旅游体验过程，对于游客来说，立足于最小的时间与经济成本获得最多的旅游体验，对于旅游组织者来说，则立足于最小的建设成本与最大的社会、经济、生态效益。道路是交通的载体，具有高度通达性、完善的旅游服务功能和景观化、生态化、人性化的道路是区域旅游交通完善的重要标志，基于此，有学者提出“风景道”、“旅游交通干道”等规划建设理念与原则。其中，旅游交通系统的优化很大程度取决于合理的道路布局，而如何使道路通达性与建设成本之间获得平衡，达到性价比最优，成为道路系统优化的重要指标。因此，其实质上可以简化为最短距离连接各旅游目的地最优解问题[1]。 旅游路线组织是旅游地理学研究的重要内容，其研究主要以游客的行为空间模式为导向，旅游路线是旅游产品的组成部分，作为产品就必须满足游客的需求，因此游客的行为模式就成为旅游路线设计的重要依据。 二、背景知识 1、图和树 图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。树是无圈连通无向图，如果树T的节点数为n，那么树的边数为n-1。 2、生成树 连通图G 上的一个子图，该子图连通，无回路且包含图G 的所有节点，称为连通图的极小连通子图。一个连通图可以有多棵不同的生成树。 3、最小生成树 对一个带权连通图，也有多可不同的生成树。由于该图是带权图，各边的权值不一定相等，因此这些生成树的各边权值之和也不一定相同，其中权值最小的生成树被称为该带权连通图的最小生成树[4]。 三、最小生成树的求解方法 构造最小生成树可以有多种算法。我们所学《图论及其算法》教材中介绍了其中的三种算法Prim 算法、Kruskal 算法和破圈法，本文分别用这三种算法来实现最小生成树的构造。 数学建模中常见的十 大模型 精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 #include { int u, v, w; }EG[5010]; bool cmp(eage a, eage b) //排序调用 { return a.w < b.w; } int Find(int x) //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据 { if(parent[x] == -1) return x; return Find(parent[x]); } void Kruskal() //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林{ memset(parent, -1, sizeof(parent)); sort(EG+1, EG+m+1, cmp); //按权值将边从小到大排序 ans = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) //按权值从小到大选择边 { int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v); if(t1 != t2) //若不在同一棵树种则选择该边，合并两棵树 { ans += EG[i].w; parent[t1] = t2; printf("最小生成树加入的边为:%d %d\n",EG[i].u,EG[i].v); } } } int main() { printf("输入顶点数和边数:"); while(~scanf("%d%d", &n,&m)) { for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w); Kruskal(); printf("最小生成树权值之和为:%d\n", ans); } return 0; } 数学建模方法详解--三种最常用算法 一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案 排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍． 1．递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这 些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配 关系．具有这种性质的层次称为递阶层次． 2．测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对 于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．(二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1] ． 1．成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因 素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度． 假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比， 全部比较 结 果 可 用 成 对 比 较 阵 1 ,0,ij ij ji n n ij A a a a a 表示，A 称为正互反矩阵．一般地，如果一个正互反阵 A 满足： , ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n （1） 则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；②A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量． 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,, 1对 上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记 最小生成树的两种经典算法的分析及实现 摘要：数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM和KRUSKAL的两种经典算法的算法思想，对两者进行了详细的比较，最后用这两种经典算法实现了最小生成树的生成。 关键词：连通图，赋权图，最小生成树，算法，实现 1 前言 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n （n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。 2图的概念 2.1 定义 无序积 在无序积中， 无向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为无向边，简称边。 有向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为有向边，简称边。 有时，泛指有向图或无向图。 2.2 图的表示法 有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。 无向边——连接顶点的线段。 有向边——以为始点，以为终点的有向线段。 2.3 概念 (1)有限图——都是有限集的图。 阶图——的图。 零图——的图。特别，若又有，称平凡图。 (2)关联 (边与点关系)——设边(或)，则称与(或)关联。 无环 孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所对应的边叫悬挂边。 (3)平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。 2.4 完全图 设为阶无向简单图，若中每个顶点都与其余个顶点相邻，则 称为阶无向完全图，记作。 若有向图的任一对顶点，既有有向边，又有有向边，则 称为有向完全图。 例如： 数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数； 一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。 武 夷 学 院 课程设计报告 课程名称： 数据结构（C 言语版本） 设计题目： 最小生成树的应用 学生班级： 10计科1班 学生姓名： 陈娟，谢贤根，黄伟伟，陈开槟 指导教师： 林丽惠 完成日期： 2012-01-05 课程设计项目研究报告 目录 一、问题描述及基本要求....................................................................................... - 1 - 二、实现本程序需要解决的问题如下................................................................. - 1 - 三、测试数据......................................................................................................... - 2 - 四、算法思想......................................................................................................... - 3 - 五、模块划分............................................................................ 错误！未定义书签。 六、算法设计与分析............................................................................................. - 7 - 七、源程序........................................................................................................... - 11 - 八、测试数据....................................................................................................... - 14 - 九、课程设计项目进度表及任务分配表及任务分配表................................... - 15 - 十、设计心得....................................................................................................... - 16 -十一参考文献....................................................................................................... - 17 - #include { printf("请输入有边的2个顶点\n"); scanf("%d %d",&n,&m); while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) { printf("输入的数字不符合要求请重新输入:\n"); scanf("%d%d",&n,&m); } G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1; getchar(); printf("请输入%d与%d之间的权值:\n", n, m); scanf("%d",&G->arc[n][m].weight); } printf("邻接矩阵为:\n"); for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++) { for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { printf("%d ",G->arc[i][j].adj); } printf("\n"); } } void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{ int i, j; for ( i = 1; i < G->arcnum; i++) { for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { Swapn(edges, i, j); } } } printf("权排序之后的为:\n"); for (i = 1; i < G->arcnum; i++) { 第一讲国赛历年赛题总览 一、历年国赛赛题（时间） 1992年，国赛第一年，30+高校 （A）作物生长的施肥效果问题（北理工：叶其孝） 统计、非线性回归的方法 （B）化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基） 无明确方法，解应用题 1993年，国赛第二年 （A）通讯中非线性交互的频率设计问题（北大：谢衷洁）非线性回归 （B）足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用） 评价与决策。如：评价老师，评价学校，评价食堂，评价篮球教练 1994年，国赛第三年 （A）山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可） 价格问题，优化问题 （B）锁具的制造、销售和装箱问题（复旦：谭永基等） 优化问题，同时带一部分统计问题 1995年，国赛第四年 （A）飞机的安全飞行调度问题（复旦：谭永基等） 优化问题 （B）天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大：刘祥官等）优化问题 1996年，国赛第五年 （A）最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福） 微分方程的问题 （B）节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂） 偏微分方程，也可以用优化 1997年，国赛第六年 （A）零件参数优化设计问题（清华：姜启源） 优化问题 （B）金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等） 优化问题 1998年，国赛第七年 （A）投资的收益和风险问题（浙大：陈述平） 多目标优化问题 （B）灾情的巡视路线问题（上海海运学院：丁松康） 网络优化问题、图论 1999年，国赛第八年（开始出现专科组） （A）自动化车床控制管理问题（北大：孙山泽） 优化问题 （B）地质勘探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）优化问题 （C）煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） 排列的问题 2000年，国赛第九年 （A）DNA序列的分类问题（北京工业大学：孟大志）分类问题 （B）钢管的订购和运输问题（武汉大学：费甫生）优化问题 （C）飞越北极问题（复旦大学：谭永基） 椭球面计算问题，几何问题 （D）空洞探测问题（东北电力学院：关信） 偏统计问题 2001年，国赛第十年 （A）三维血管重建问题（浙江大学：汪国昭） 实验5 最小生成树算法的设计与实现 一、实验目的 1、根据算法设计需要, 掌握连通图的灵活表示方法； 2、掌握最小生成树算法，如Prim、Kruskal算法； 3、基本掌握贪心算法的一般设计方法； 4、进一步掌握集合的表示与操作算法的应用。 二、实验内容 1、认真阅读算法设计教材和数据结构教材内容, 熟习连通图的不同表示方法和最小生成树算法； 2、设计Kruskal算法实验程序。 有n个城市可以用（n-1）条路将它们连通，求最小总路程的和。 设计测试问题,修改并调试程序, 输出最小生成树的各条边, 直至正确为止。 三、Kruskal算法的原理方法 边权排序: 1 3 1 4 6 2 3 6 4 1 4 5 2 3 5 3 4 5 2 5 6 1 2 6 3 5 6 5 6 6 1. 初始化时：属于最小生成树的顶点U={} 不属于最小生成树的顶点V={1，2，3，4，5，6} 2. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（1 3 1），属于最小生成树 的顶点U={1，3}，不属于最小生成树的顶点V={2,4,5,6} 3. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（4 6 2），属于最小生成树的顶点U={{1，3}，{4，6}}（还没有合在一起，有两颗子树），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 4. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，3，4，6}（合在一起），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 5. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，6},，不属于最小生成树的顶点V={5} 6. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，5，6}此时，最小生成树已完成 开题报告 信息与计算科学 最小生成树算法及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 最小生成树(minimum spanning tree,MST)是计算机学科中一重要内容, 其算法也是重要的计算方法, 是现代科学中比较热门的研究方向. 一个有个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图, 且包含原图中的所有个n n 结点, 并且有保持图联通的最少的边. 许多应用问题都是一个求五项连通图的最小生成树问题. 例如: 要在个城市之间铺设n 光缆, 主要目标是要使这个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, n 且各个城市之间铺设光缆的费用不同; 另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低. 这就需要找到带权的最小生成树. MST 性质: 最小生成树性质: 设是一个连通网络, 是顶点集的一个真(,)G V E =U V 子集. 若是中一条“一个端点在中(例如: ), 另一个端点不在中”的边(,)n u v G U u U ∈U (例如:), 且具有最小权值, 则一定存在的一棵最小生成树包括此边v V U ∈-(,)u v G . (,)u v 求MST 的一般算法可描述为: 针对图, 从空树开始, 往集合中逐条选择并G T T 加入条安全边, 最终生成一棵含条边的MST. 1n -(,)u v 1n -当一条边加入时, 必须保证仍是MST 的子集, 我们将这样的边称(,)u v T {}(,)T u v 为的安全边. 其中主要有两种算法: Prim 算法和Kruskal 算法. T Prim 算法: 该算法由Prim 提出, 但事实上Jarnik 于1930年更早提出. 用于求无向图的最小生成树. 设图 . (),G V E =步骤1: 取一个顶点, 则, . 1v {}1V v ={}E =数学建模常用算法程序
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