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数学分析试题库--证明题

数学分析题库（1-22章）

五．证明题

1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：

（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；

（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明：

（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明

52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞

→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列.

5.用δε-方法验证：

23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6．用M -ε方法验证：

11lim

=-+-∞

→x

x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0

?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a

t =→证明

A x f x x =→))((lim 0

8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，

（1）)(0x U x n ?∈，0x x n →，

（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞

→)(lim ，

则A x f x x =→)(lim 0

9. 证明函数

?=为无理数为有理数x ，

x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.

10.设)(x f 在（0，1）内有定义，且函数)(x f e x 与)(x f e -在（0，1）内是递增的，试证)(x f 在（0，1）内连续.

11. 试证函数2sin x y =，在),0[+∞上是不一致连续的.

12. 设函数)(x f 在（a,b ）内连续，且)(lim x f a x +

→=)(lim x f b x -

→=0，证明)(x f 在（a,b ）内有最

大值或最小值.

13. 证明：若在有限区间（a,b ）内单调有界函数)(x f 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的.

14 . 证明：若)(x f 在点a 处可导，f （x ）在点a 处可导.

15. 设函数),()(b a x f 在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(x f '严格递增，若

)()(b f a f =证明，对一切),(b a x ∈均有

()()()f x f a f b =<

16. 设函数)(x f 在],[+∞a 内可导，并且()0f a <，试证：若当),(+∞∈a x 时，有

()0f x c '>>则存在唯一的),(+∞∈a ξ使得0)(=ξf ，又若把条件()f x c '>减弱为/()0()f x a x ∞><<+，所述结论是否成立？

17. 证明不等式

1(0)2

x e x x >++

18.设f 为(,)-∞+∞上的连续函数，对所有,()0x f x >，且lim x →+∞

()f x lim x →-∞

=()0f x =，

证明()f x 必能取到最大值.

19. 若函数()f x 在[0,1]上二阶可导, 且(0)0f =，(1)1f =，(0)(1)0f f ''==，则存在

(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥.

20. 应用函数的单调性证明

2sin ,(0,);2

x x x π

π<<∈ 21. 设函数?????=≠=0,

,1sin )(x x x

x x f m

（m 为实数），试问：

（1）m 等于何值时，f 在0x =连续；（2）m 等于何值时，f 在0x =可导；（3）m 等于何值时，f '在0x =连续；

22. 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，

其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明

()22

b f

c a '≤+

23. 设函数],[)(b a x f 在上连续，在（a,b ）内二阶可导，则存在),(b a ∈ξ使得

)(4

)()()2(2)(2

ξf a b a f b a f b f ''-=++-

24. 若)(x f 在点0x 的某个领域上有)1(+n 阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.

25. 用泰勒公式证明:设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,则存在),(b a ∈ξ,使得

)(4

)()()2(2)('

'2ξf a b a f b a f b f -=++-.

26. 设函数)(x f 在[]2,0上二阶可导,且在[]2,0上1)(≤x f ,1)(''≤x f .证明在[]2,0上成立

2)(''≤x f .

27. 设f 是开区间I 上的凸函数,则对任何[]I ?βα,,f 在βα,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在0L >,对任何[]βα,,'

∈x x ,成立

'''''')()(x x L x f x f -≤-.

28. 设()f x 在 [,](0)a a +∞ >上满足Lipschitz 条件：|()()|||f x f y k x y -≤-, 证明

()

f x x

在[,]a +∞上一致连续.

29. 试证明方程1

n x x

x -++???+=在区间1

(,1)2

内有唯一实根。

30. 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：

)()(2)()(lim

a f h

a f h a f h a f h =--++→ 31. 设)(x f 在),

(b a 上可导，且

A x f x f b x a x ==-→+→)(lim )(lim 0

求证：存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf .

32. 设)(x f 在],

[b a 上连续，在),(b a 内有n 阶导数，且存在1-n 个点

),(,,,121b a x x x n ∈-Λ满足：

)

()()()()()

2()1(121121b f x f x f x f a f b x x x a n n =====<<<<<--ΛΛ

求证：存在),

(b a ∈ξ，使0)()(=ξn f .

33. 设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续. 34. 设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得

)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-.

35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

b a b b a b -<

<-ln ，其中b a <<0.

36.证明:任何有限数集都没有聚点. 37.设(){},n

a b 是一个严格开区间套,即满足

1221n n a a a b b b <<<<<<

且()lim 0n n n b a →∞

-=.证明:存在唯一的一点ξ,使得,1,2,n n a b n ξ<<=L . 38.设{}n x 为单调数列.证明:若{}n x 存在聚点,则必是唯一的,且为{}n x 的确界. 39.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,证明()f x 在[,]a b 上一致连续. 40.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 证明()f x 在[,]a b 上有界. 41.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,证明()f x 在[,]a b 上有最大值.

42.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且单调增加,

1(),(,],()(),

,x a f t dt x a b x a F x f a x a ?∈?

-=??=??

证明()F x 为[,]a b 上的增函数. 43.函数()f x 在闭区间[0,1]上连续.证明

(sin )(cos )f x dx f x dx π

44.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上单调,证明()f x 在[,]a b 上可积. 45.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f x 不恒等于零,证明

()

()0b

a f x dx >?.

46.设函数()f x 为(,)-∞+∞上以p 为周期的连续周期函数.证明对任何实数a ,恒有

()()a p