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相似三角形射影定理的运用

相似三角形------射影定理的推广及应用

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理

射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，

则有ＣD２＝ＢＤ?AD、

ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略）

二、变式推广

１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?

ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））

如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠

ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△Ａ

ＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，

可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）

三、应用

例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，

求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２

分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得

ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）

例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，

故有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８

(解略)

例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交

ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，

求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。

证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，

∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，

∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，

∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，

∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。

射影定理练习

【选择题】

1、已知直角三角形ABC V 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （）

A 、1.24cm

B 、1.26cm

C 、1.28cm

D 、1.3cm

2、如图1-1，在Rt ABC V 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3、在Rt ABC V 中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD

=（）

A 、34

B 、43

C 、169

D 、916

4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（） A 、22.5o B 、30o C 、45o D 、60o

【填空题】

5、ABC V 中，90A ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。

6、如图2-1，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．

【解答题】

7、已知CD 是ABC V 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA V V ∽

8、已知90CAB ∠=o ，AD CB ⊥，ACE V ，ABF V 是

正三角形，求证：DE DF ⊥

9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

相似三角形之射影定理

相似三角形之射影定理 1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （） A 、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm 2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD CD =（） A 、34 B 、43 C 、169 D 、9 16 4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1 ,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60 【填空题】 5、ABC 中，90A ∠= ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ， 22:AB AC = 。 6、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥， AC=6，AD=3.6，则BC= ．

【解答题】 7、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽ 8、已知90CAB ∠= ，AD CB ⊥，ACE ，ABF 是正三角形，求证：DE DF ⊥ 9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证： DE =

参考答案 1、C 2、B 3、C 4、C 5 、3,4:1 6、 8 7、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得， 2CD CE AC = ，在R t B C 中， 2C D C F B C = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴ = 又ECF BCA ∠=∠ ，CEF CBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中， 22,AC CD CB AB BD BC == AC CD AD AB AD BD ∴===== ,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴ = 60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠ 又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴ ∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥ 9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE 所以AB AM DE AD = ，因为AB=a ，BC=b ，

初中几何中三角形中位线定理的应用

初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。一、证明问题 1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN

(完整版)相似三角形中的射影定理

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A

【典型例题】例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的高，这时CAB DEF ??和是否相似？【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用阿波罗尼斯定理三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍. 具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)(22222BD AD AC AB +=+. 证明如图1,作BC 边上的高AH . 由勾股定理,得 222DH AH AD +=,2 2 2BH AH AB +=, 2 2 2 CH AH AC +=. 所以222222CH BH AH AC AB ++=+. 由 CD BD =, 可得 )(2)()(2 2 2 2 2 2 DH BD DH BD DH BD CH BH +=-++=+. 所以)(2)(22222222BD AD BD DH AH AC AB +=++=+. 该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用. 1.直接使用当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题. 例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC =,b CA =,c AB =,则 = ++2 2 2 CF BE AD ______. (2005年山东省初中数学竞赛) 分析 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算. 解如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得 ?? ? ??+=+222 2 412BC AD AC AB . 代入已知数据,变形得2 2 2 24 12 121a b c AD - + =. 同理 2 2 2 2 4 12 12 1b a c BE - + = ,2 2 2 2 4 12 12 1c b a CF - + = . 故()2 2 2 2 224 3c b a CF BE AD ++= ++. 例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ,并且点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG =,2=AB ,2>BC .那么,当BC 、CA 为何值 D C B E A 图2 F A B 图1

三角形中位线定理的运用

教学案例:《三角形中位线定理教学设计》 ⒈创设问题情境,诱导学生发现结论 ⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测 AB与MN的关系是:①②。 ⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角形的。 ⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现: ( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )= ( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位线并且 . ⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别? 说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,

这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。 ⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法 ⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。 ⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。 ⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。 ①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略) 证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢: 说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨

相似射影定理及角平分线定理打印稿

相似三角形(二)（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90o，则 2 + 2 = 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt △ABC 中，∠C=90o，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC = 2 2 ③射影定理： CD 2 = · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ， S△ABC=20，AB=10。求AD 、BD 的长. B A

2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D 。（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3 A M C D C

相似三角形预备定理证明

课题：相似三角形的判定（预备定理）教学目标：1 ?掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2 ?在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3?通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。教学重点：预备定理的证明与应用。教学难点：预备定理的证明。教学方法：启发+探究+讲授教学手段：常规教学用具，计算机及课件教学过程：教学过程教师活动学生活动设计意图出示情境问题： 1、什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、如图，矩形草坪长20m 宽10m 沿草坪四周有1m 宽的小路。小路的内外边缘所围成的矩形相似吗？ □—''~:—:—A ?—'—>:—?—A 3、如图两个三角形相似吗？若相似，你是若何判断的，相似比是多少？若不相似，也请说明。 4、思考：如图：在AA BC 与厶DEF 中，/ A= / D, Z B=Z E ，请问 AA BC 与△ DEF 是否相似？明确指出：本节课将研究如何用相似三角形的定义判断两三角形相似。板书课题：相似三角形的判定创设情境复习相似形的有关概思考回答问题：念，明确否 1、2 口答定两图形相 3题可能的方法：似，指出一 ⑴直觉（引导有理有个不满足的据）；条件即可， ⑵度量角与边，再计而冃疋两图算（指引这种方法简形相似，则单易于操作，但有时需要所有对会对结果的精确程度应角相等，质疑）对边成比 ⑶根据格点特性计算例。（积极鼓励）而随后的思考，是为了给学生点引一下，预备定理为什么叫预备定理，后继学

相似三角形的判定定理2

A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?．【例1】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =．求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形．相似三角形判定定理2 知识精讲

A B C D A B C D E 【例2】如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD ?∽ABC ?．【例3】如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ?∽AED ?．【例4】下列说法一定正确的是（） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【例5】在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠

三角形中位线在初中几何中的应用

1 初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。一、证明问题 1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH= 21BD ,HF=2 1 AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH= 21BD ，EH//BD ，HF=2 1 AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵ EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证： ∠AEF=∠DFE 分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有 12GM AB ∥，1 2 GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ， ∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴ 12GM AB ∥。同理可证：12 GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ， ∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知识点归纳集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作： c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： n m b a =

把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ，= ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2）图（3）图（4）图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.

相似三角形预备定理证明学习资料

精品文档课题：相似三角形的判定（预备定理）教学目标：1 ?掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2 ?在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3?通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。教学重点：预备定理的证明与应用。教学难点：预备定理的证明。教学方法：启发+探究+讲授教学手段：常规教学用具，计算机及课件教学过程：教学过程教师活动学生活动设计意图出示情境问题: 1、什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、如图，矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有 1m宽的小路。小路的内外边缘所围成的矩形相似吗？ C 创设情境3、如图两个三角形相似吗？若相似，你是若何判断的，相似比是多少？若不相似，也请说 4、思考：如图：在△ ABC 与厶DEF中，/ A= / D，/ B= / E，请问△ ABC 与厶DEF 是否相似？复习相似形的有关概思考回答问题：念，明确否 1、2 口答定两图形相 3题可能的方法：似，指出一 ⑴直觉（引导有理有个不满足的据）；条件即可， ⑵度量角与边，再计而冃疋两图算（指引这种方法简形相似，则单易于操作，但有时需要所有对会对结果的精确程度应角相等，质疑）对边成比 ⑶根据格点特性计算例。（积极鼓励）而随后的思考，是为了给学生点引一下，预备定理为什么叫预备定理，后继学

D 明确指出：本节课将研究如何用相似三角形的定义判断两三角形相似。板书课题：相似三角形的判定出示特殊题组: 1、如图，在等边三角形厶ABC中，DE//BC，并交于点D、E,那么△ ADE与厶ABC相似吗？为什么？口答1题; 发现证明预备疋理2、如图，在Rt△ ABC 中，/ BAC=90 ° , DE//BC，并交于点D、E,那么△ ADE与厶ABC相似吗？为什么？ AD （提示：可设D k） AB 若将特殊三角形的条件去掉，变成一般的三角形呢？ 3、如图，在△ ABC中，DE//BC，并交于点D、E, 那么△ ADE 与厶ABC 相似吗？为什么？通过计算回答；并认识到关键是计算： DE BC 在教师的启发下思考讨论，体会线段转移的来龙去脉。预案： 1 : 过D 作 DF//AC 习中的有关判定定理都要转化为预备定理即以证明，从而感受预备定理的学习价值。题组中的1、 2题，让学生从简单推理与计算推理两个方面认识理解这种图形。尤其是计算推理中所涉及的设未知数的方法，应用非常广泛。而题三需要深入思考，更反衬出题3分析方法的重要性。通过题3的启发引导,

相似三角形中的射影定理

相似三角形中的射影定理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。B A

【典型例题】例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o ，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF A B M C N D C

三角形中位线定理模型应用的思维导图

三角形中位线定理模型应用的思维导图三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养. 一、定理模型构建 1.双中点模型如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点；结论：12;2DE BC BC DE DE BC ?==????? ?数量关系：或位置关系：∥. 2.中点+平行线模型如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ；结论：12;2.DE BC BC DE E AC ?==????? ?数量关系：或位置关系：点是的中点证明：如图2，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F.∵DE ∥BC ，CF ∥AB, ∴四边形BDFC 是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD ，∴AD=CF. ∵CF ∥AB, ∴∠A=∠ACF ，∠ADE=∠EFC ，∴△ADE ≌△CFE ，∴AE=EC ，∴点E 是AC 的中点， DE 是△ABC 的中位线，∴DE=1 2BC. 二、定理常用模型 1.双中点模型此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用. 2.构造托底平行线型如图3，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 为AC 上一点，连接DE ，过点B 作BF ∥DE ，则DE 是△ABF 的中位线，定理可用 .

3.构造中点平底线型如图4，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，则DE 是△ABC 的中位线，定理可用. 三、应用剖析 1.平行四边形中构造使用定理例1 （2020?陕西）如图5，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8．E 是边BC 的中点，F 是平行四边形ABCD 内一点，且∠BFC=90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（） A. 5 2 B ．32 C ． 3 D ．2 解析：如图5，延长CD ，交BF 的延长线于点H ，∵E 是边BC 的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC=1 2BC=4，∵EF ∥AB ，CD ∥AB ，∴EF ∥CD ，∵E 是边BC 的中点，∴EF 是三角形BCH 的中位线， ∴CH=8,DH=5，易证△ABF ≌△GHF ，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3， ∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D. 点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素. 例2（2020?凉山州）如图6，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交

《三角形中位线定理》教案

4.5三角形中位线定理【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用：本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标（一）知识目标（1）理解三角形中位线的概念（2）会证明三角形的中位线定理（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题；（二）过程与方法目标进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。（三）情感目标通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的证明和运用。【教学方法】学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

【教学过程】本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线（二）概念学习，感悟新知三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图：学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。（三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D

相似三角形预备定理证明学习资料

课题：相似三角形的判定（预备定理）教学目标：1．掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2．在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3．通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。教学重点：预备定理的证明与应用。教学难点：预备定理的证明。教学方法：启发+探究+讲授教学手段：常规教学用具，计算机及课件

组织学生思考：（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？（4）根据以前的推论，如何把DE移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB）教师板演证明过程由此得到预备定理：定理平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。2：过E作EF//AB 找关键字词，记忆定理层层递进，突破难点，提高学生的分析推理思维能力。通过分析定理，促进理解。定理应用与巩固例题选讲：例如图，D为△ABC的A B边上的一点，过点D作DE//AC，交BC于E，已知BE：EC=2： 1，AC=6CM，求DE的长以及 DA BD 的值。 E B C A D 在学生思考后，得出：（1）平行线既可得相似三角形，又可得线段成比例；（2）这种判断两三角形相似的方法比起定义方便多了，但是局限性很大：我们能否将这个问题转化为预备定理图形加以说明呢？练习： 1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由。口述思路：根据平行线得相似三角形，进而根据相似比求DE；根据平行线得线段成比例求 DA BD 在教师启发下进行解题反思通过对例题的分析，设置与平行线有关的截三角形两边成比例定理以及预备定理，注意所得的比的差别，落实好重点。

九年级数学上册中位线应用三角形中位线定理“四会”素材新版华东师大版

应用三角形中位线定理“四会” 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一是线段的位置关系，另一个是线段之间的数量关系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是三角形的最重要的性质之一，当三角形中有中点时，往往借助三角形中位线来解决相关问题．那么在学习了三角形中位线定理后，我们应该会解决哪些问题呢？本文所要阐述的就是这个问题．一、会求值例1：如图1，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果2EF =，那么ABCD 的周长是（）． A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 析解：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是 ABC ?的中位线，则12 EF BC =，24BC EF ==．故菱形ABCD 的周长为416BC =，选D ．二、会证明例2：如图2，在ABC ?中，90BAC ∠=，延长BA 到点D ，使12 AD AB =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．求证DF BE =．分析：由题意知点E 是Rt ABC ?斜边中点，作出斜边中线AE 后，有12AE BC = ．另外，点F 又是AC 的中点，所以EF 是ABC ?的中位线，EF ∥AB 且12 EF AB =．这样，就可证得四边形AEFD 是平行四边形，从而有12 DF AE BC BE ===，问题得证．证明：连接AE ，则12AE BC BE = =． ∵E 、F 分别为边BC 、AC 的中点， ∴EF 是ABC ?的中位线， ∴EF ∥AB ，12EF AB = ．又∵12 AD AB =， ∴EF AD =．而EF ∥AD ， ∴四边形AEFD 是平行四边形，

相似三角形中的射影定理知识讲解

相似三角形 ――相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1直角三角形的性质: (1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2) Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U 2 + (3) 直角三角形的斜边上的中线长等于 2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。精品文档 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理 (只能用于选择填空题) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则 ① S s ②射影定理： CD 2= ______ 【常规题型】 AC 2= _____ BC 2= ____ 1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90

【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90 BM 2=MN ? AM 。例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交于F ,与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ? AF 【拓展练习】 1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB ? AC=AD ? AE 。求证：△ BEF ACF ,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证: 例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？ AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的 C B C F D

三角形中位线定理的应用2

三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是平面几何中十分重要的性质，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何题，如：1．说明线段的倍分关系例1如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F， AF=1 3 AC．试说明EF= 1 4 BF．解：取CF的中点H，联结DH，则DH为△CBF的中位线．又因为AF=1 3 AC，即F为AH的中点，则EF为△ADH的中位线，故DH＝ 1 2BF，EF= 1 3 DH，所以EF= 1 4 BF． 2．说明两线平行例2如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．试说明DE∥BC．解：延长AE、AD交BC与BC的延长线于N、M．由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM．同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．所以DE∥MN，即DE∥BC．

3．说明线段相等例3如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．试说明AP=AQ．解：取BC中点F，联结MF与NF．因为BM=ME，BF=FC．所以MF∥CE，且MF＝1 2 CE．同理可得NF∥BD，且NF＝1 2 BD．且又BD=CE，所以MF=NF，故∠3=∠4，又∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1=∠2，故AP=AQ． 4．说明两角相等例4如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E 分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．试说明∠BAP=∠CAP．解：联结BN并取中点Q，联结DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ＝1 2 BM， EQ∥CN，且EQ＝1 2 CN，又BM＝CN，所以DQ=EQ，故∠1=∠2，因为AB∥DQ， DE∥AP，所以∠1=∠BAP．因为QE∥NC，DE∥AP，所以∠2=∠CAP，所以∠BAP=∠CAP．

相似三角形射影定理的运用

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初中几何中三角形中位线定理的应用

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