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2018届中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长

：

试题解析：（1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ．

（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴2

2CE

BE +=15，

∵△COD ∽△CBE ． ∴

OD OC

BE BC

，即15915r r -=，解得：r=

458

．考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.

2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.

(1)如图所示，连接OE，CE

∵AC是圆O的直径

∴∠AEC=∠BEC=90°

∵D是BC的中点

∴ED＝1

BC＝DC

∴∠1=∠2

∵OE=OC

∴∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°

∴∠OED=90°,即OE⊥DE

又∵E是圆O上的一点

∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形

3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．

（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8，

∴由勾股定理可知：NB=2

243AB AN -=，

∴B （43，2）．

（2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，

∴CD=

NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ， ∵MC=MN ， ∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．

∴直线CD 是⊙M 的切线．

考点：切线的判定；坐标与图形性质．

4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，O 是PAD ?的外

接圆.

（1）求证：AB 是

O 的切线；

（2）若2

8,tan 2AC BAC =∠=

求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236

．（1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图， ∵PA=PD ， ∴弧AP=弧DP ， ∴OP ⊥AD ，AE=DE ，

∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA ， ∴∠OAP=∠OPA ， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA ⊥AB ，

∴直线AB 与⊙O 相切；

（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴DB 与AC 互相垂直平分，

∵AC=8，tan ∠

∴AF=4，tan ∠DAC=

DF AF

∴

在Rt △PAE 中，tan ∠1=

PE AE =2

，

∴

设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2

=OE 2

+AE 2

，

∴R 2=（R 2+2

，

∴R=

，

即⊙O 的半径为

．

考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．

5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣4

π．

（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB ，在△OCE 和△OBE 中

OC OB OE OE EC EB ?=?

=??=?

， ∴△OCE ≌△OBE ， ∴∠OBE=∠OCE=90°， ∴OB ⊥BE ， ∴BE 与⊙O 相切；

（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，在Rt △OBD 中，BD=CD=

BC=3

， ∴（r ﹣1）2

+（3）2

=r 2

，解得r=2，

∵tan ∠BOD=

=3， ∴∠BOD=60°， ∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt △OBE 中，BE=3OB=23， ∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC =2S △OBE ﹣S 扇形BOC

=2×1

×2×23﹣21202360π??

π．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算． 6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ?内接于

O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．

（1）求证AO平分BAC

∠；

（2）若

6,sin

BC BAC

=∠=，求AC和CD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13

（2）过点C作CE⊥AB于E

∵sin∠BAC=3

,设AC=5m，则CE=3m

∴AE=4m，BE=m

在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36

∴m=310

，

∴AC=310

延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，

∵∠HOC=∠BAC

∴OH=4，OC=5 ∴AH=9

∴tan∠BAH=1 3

∴OF=

3AO=

∵OF∥BC

∴OF DO

BC DC

，即

DC-5

6DC

∴DC=90 13

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.

7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O

⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.

(1)求证：ACD BAD

△∽△；

(2)求证：AD是O

⊙的切线.

试题解析：（1）∵AB=AD，

∴∠B=∠D，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠D，

∴∠CAD=∠B，

∵∠D=∠D，

∴△ACD∽△BAD；

（2）连接OA，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∴∠OAB=∠CAD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切线．

考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．

11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；

（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为5

；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.

试题解析：（1）连接EF ，

∵AE 平分∠BAC ， ∴∠FAE=∠CAE ， ∵FA=FE ， ∴∠FAE=∠FEA ， ∴∠FEA=∠EAC ， ∴FE ∥AC ，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，则r 2

=（r-1）2

+22

，解得，r=

52，即⊙F 的半径为52

；（3）AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，

则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°， ∴四边形RCEF 是矩形， ∴EF=RC=RD+CD ， ∵FR ⊥AD ， ∴AR=RD ， ∴EF=RD+CD=

AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．. 考点：圆的综合题．

13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点

D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠∠，D BAF ∠∠.

(1)求证：AD 是O ⊙的切线；

(2)若O ⊙的半径为5，2CE ，求EF 的长.

（1）由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

（2）连接BF ，

∴∠FAC=∠AOD ， ∴△ACE ∽△DCA ， ∴

AC AE CE

OC OA AC ==， ∴

，

∴10， ∵∠CAE=∠CBF ， ∴△ACE ∽△BFE ，

∴AE BE CE EF

=，

∴108

=，

∴EF=810

．

考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；

（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直径，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴PT PA PB PT

=，

∴PT2=PA?PB．

（2）∵TP=TB=3，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB=

3 AT

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，

∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=

60133

360464

ππ

-?=-.

考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．

16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．

（1）求证：DF∥AO；

（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

（1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，

∴AC=AD，∵OC=OD，

∴OA⊥CD，

∴CD⊥OA，

∵CF是直径，

∴∠CDF=90°，

∴DF⊥CD，

∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，

∴，∴AD=AC=6，

∴BD=AB-AD=4，

∵BD2=BF?BC，

∴BF=2，

∴CF=BC-BF=6．OC=1

CF=3，

∴，∵OC2=OE?OA，

∴，

∵EM∥AC，

∴

5 EM OM OE

AC OC OA

===，

∴OM=3

，EM=

，FM=OF+OM=

，

∴

3.63

65 EM FM

CG FC

===，

∴CG=5

EM=2．

考点：切线的性质．

17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．

（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴CD CB BD CA CD AD

==，

∴CD2=CB?CA，

∴（22=3CA，∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3，

322

==,设2，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，

∴k=30

，

∴AD=30

．

考点：切线的判定与性质．

18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）333

22 ．

（1）如图所示，连接BO，

∵∠ACB=30°，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵DE⊥AC，CB=BD，

∴Rt△DCE中，BE=1

CD=BC，

∴∠BEC=∠BCE=30°，

∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，

∴BE是⊙O的切线；

（2）当BE=3时，BC=3，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°， ∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，

∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=12π×AO 2

﹣12AB ×BC=12π×3﹣12

×3×3=333-22π．

考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．

1. (2017北京第24题)如图，AB 是

O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作

O 的切线交CE 的延长线于点D .

（1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求

O 的半径.

（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.

(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=

BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=

DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=

5AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=

. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数

2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，0

50=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是

AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .

（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；

（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.

：(1)如图，连接AC,21世纪教育网 ∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°. ∵0

50=∠ABT ， ∴∠T=90°-∠ABT=40°

由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;

（2）如图，连接AD,

在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65° ∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.

3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，

45CAD ∠=．

（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；

（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是

O 的切线．

（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=

AB=2，∴CD 的长=

902

180

π?? =π；

（Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=

1802

COD

?-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠

OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=

1802

AOD

?-∠=67.5°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠

ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=1

∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.

4. (2017河南第18题)如图，在ABC ?中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作

//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .