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江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准

一．填空题（每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan

,,,1u x f u x y f x u x

??-+===+则

d d x y

x == .

(2) ()

sin cos2d x x x π+=?

(3) ()

d 1x x +∞

=+?

(4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w

F '=函数 (),z f x y =由()

22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= .

(5) 设Γ是区域

(){}2

2,4,0x y x

y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则

()()()()

()

1e d e d y

y x y y x x y xy y Γ

-+-+++=? .

一.答案: (1) 1;5 (2)

;23

π- (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π

二. 解下列两题（每小题5分，共10分）

(1)

求极限 ()()()()2

132321lim ;24222n

n n n n →∞?????-?- ? ????-???

L L (2) 求极限 ()

2244

44lim sin .x y x xy y x y x y →∞

→∞

++?++ 解 (1) 记 ()()

222

221321,242n n a n ???-=

???L L 因为

()()

()

212112k k k -?+<()*,k ∈N （1分）所以

()()()

()()2222222321133557

21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<=?????<-L （2分）因为 ()

lim

0,2n n n →∞

-=应用夹逼准则得 lim 0.n

a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得

()

222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）

()

222244

442222

2110sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤?+≤=++，（1分）

因为2211lim 0,x y y x →∞→∞??+= ???应用夹逼准则得 ()224444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞

→∞

++?+=+（2分）三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{}

,n n x y 满足:(),,

n x a a δ∈-(),n y a a δ∈+ ()0,δ>且lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()()

lim .n n n n n n

n x f y y f x y x →∞

解由()f x 在x a =处可导得 ()()()lim ,x a

f x f a f a x a

→-'=- ( 2分)

()()()()lim ,n n n f x f a f a f a x a

-→∞

-''==- ()()()()lim ,n n n f y f a f a f a y a

+→∞

-''==- ( 2分)

应用极限的性质得

()()()()()(),0,n n n n n f x f a f a x a x a n αα'=+-+?-→→∞( 1分) ()()()()()(),0,n n n n n f y f a f a y a y a n ββ'=+-+?-→→∞( 1分)

代入原式得

()()

()()()()

lim lim n n n n n n n n n n n n

n n

n n x f y y f x x y a y a x f a a f a y x y x βα→∞

→∞

--+?-'=-++-- ( 2分)

()()lim lim n n n n

n n n n

n n y a a x f a a f a x y y x y x βα→∞→∞--'=-+++-- lim lim 0,01,01n n n n

n n

n n n n n n y a a x x y y x y x βα→∞→∞??--==<<<< ?--??

因为 ()()()()00.f a a f a f a a f a ''=-+++=-+ ( 2分)

四. (10分) 已知()()()111sin cos 1001;200x x x f x x x

x ?

--≤<<≤?

=??=?

或，

试判别:

(1) ()f x 在区间[]1,1-上是否连续? 若有间断点,判断其类型;

(2) ()f x 在区间[]1,1-上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) ()f x 在区间[]1,1-上是否可积? 若可积,求出()1

1d ;f x x -?若不可积, 写出理由.

解 (1) ()f x 在区间[]1,1-上不连续. (1分)由于0

1lim sin 0,x x x →=011

lim cos 2x x

→不存在,

所以()0

lim x f x →不存在, ()f x 在0x =处不连续,0x =是第二类振荡型间断点. (2分) (2) ()f x 在区间[]1,1-上存在原函数. (1分)()f x 在区间[]1,1-上的一个原函数为

()()()2

11sin

1001;200.

x x x F x x

x ?-≤<<≤?=??=?

或(上式2分,下式1分)

(3) 由于0x =是()f x 在[]1,1-上的唯一间断点，()f x 在[]1,1-上有界, 所以()f x 在区间[]1,1-上可积. (1分) 下面用2种方法计算定积分:

方法1

()()()1

d d d f x x f x x f x x --=+???

()10221011

sin sin sin 1sin1sin12222x x x

-=+=--+= (2分)

方法2

()()

()1

d sin1sin 1sin122

f x x F x --==--=? (2分) 五.(14分) 已知曲面222248x y z ++=与平面220x y z ++=的交线Γ是椭圆,Γ在xOy 平面上的投影1Γ也是椭圆, (1) 试求椭圆1Γ的四个顶点1234,,,A A A A 的坐标(i A 位于第i 象限,1,2,3,4i =);(2)判断椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影是否是1234,,,A A A A ,写出理由.

解 (1) 椭圆Γ在xOy 平面上的投影为221324,

:0.x y xy z ?++=Γ?=?

(2分)因为1Γ关于原

点中心对称,所以椭圆1Γ的中心是()0,0,为了求椭圆1Γ的四个顶点的坐标,只要求椭圆

1Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点.

取拉格朗日函数 ()

2222324,F x y x y xy λ=++++- (1分) 由

()()22220,

2230,324x y F x x y F y y x x y xy λλ'?=++=?

'=++=??++=?

的1,2式消去λ得22

20,x y xy -+=与第3式联立解得 1.y =±(2分)当1y =时解得可疑

的条件极值点()()

121,1,A A -- 当1y =-时解得可疑的条件极值点

()

311,A -()

411,A +-由于椭圆1Γ的四个顶点存在,则上述1234,,,A A A A 的坐标

即为所求四个顶点的坐标. (2分)

(2) 解法 1 椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影不是1234,,,A A A A (1分)(反证)假设椭圆Γ的四个顶点1234,,,B B B B 在xOy 平面上的投影是1234,,,A A A A ,则1234,,,B B B B 的坐标为

11,B ?- ??21,B ?- ??

3111,,2B ?+-- ??4111,,2B ?+- ?

? (2分)

由于椭圆Γ的中心是()0,0,0,所以椭圆Γ的短半轴13OB OB ==

长半轴

2OB 4OB ==由此得椭圆Γ所围图形的面积为17,4S π

π'==(2分) 这是不对的.因为

1234OA OA OA OA ===

所以椭圆1Γ的长半轴a 短半轴b 于是椭圆1Γ所围图形的面积

为1.S ab π==(1分)由于平面220x y z ++=的法向量的方向余弦中2cos .3

γ=所以

椭圆Γ所围图形的面积应为 1

cos S S γ

=，

导出矛盾. (1分) 解法2 椭圆Γ的四个顶点在xOy 平面上的投影不是1234,,,A A A A (1分)(反证)假设椭圆Γ的四个顶点1234,,,B B B B 在xOy 平面上的投影是1234,,,A A A A ,则其中1B 的坐标为

111,2B ?-- ??

(1分) 因为Γ关于原点中心对称,所以椭圆Γ的中心是()0,00,，

为了求椭圆Γ的四个顶点满足的方程,只要求椭圆Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令

()()22222224822,F x y z x y z x y z λμ=+++++-+++

()222220,2420,2820,

248,220,x y y F x x F y y F z z x y z x y z λμλμλμ'=++=??'=++=??

'*=++=??++=?

++=??

(2分)

由方程组()*中（1），（2），（3）式联立消去λ，μ得30xz yz xy --=， (2分)将1B 的坐

标11,x y =-

=1z 2-=

代入得

)

31111022

xz yz xy --=-+

=≠，

即1B 的坐标不满足方程组()*，所以1B 不是椭圆Γ的顶点。导出矛盾。(1分)

解法3 应用拉格朗日乘数法求椭圆Γ上四个顶点的坐标 (题目没有这个要求，如果有学生用此方法求解,时间上可能得不赏失,而且往往解不到底，难得全分). 因为Γ关于原

点中心对称,所以椭圆Γ的中心是()0,00,，

为了求椭圆Γ的四个顶点的坐标,只要求椭圆Γ上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令

()()22222224822,F x y z x y z x y z λμ=+++++-+++

()222220,

2420,2820,

248,220,x y y F x x F y y F z z x y z x y z λμλμλμ'=++=??'=++=??

'*=++=??++=?

++=??

(2分)

由方程组()*中（1），（2），（3）式联立消去λ，μ得30xz yz xy --=，(2分)将此式与（4），（5）式联立并消去z 得

2222

3270,

32 4.x y xy x y xy ?-+=?++=?

令y x λ=代入此式得

()222

2730,

3214

x λλλλ?--=??++=??

解得74λ=

(1分)

当74λ+=

时，可解得x =由此可得两个可疑的条件极值点

179,B ?-

379,B ?-+(1分)

当λ=

x =由此可得两个可疑的条件极值点

279,B ??-

479,B - 由于椭圆Γ的四个顶点存在,则上述1234,,,,B B B B 的坐标即为所求四个顶点的坐标.

1234,,,,B B B B 在xOy 平面上的投影显然不是1234,,,A A A A (1分)

注上述解法3中若将y x λ=改为,x y λ=则得下列等价结论：

(

3720,

234y λλλλ?+-=??++=??，

解得λ=

当λ=时，可解得y =由此可得两个可疑的条件极值点

5,B ?

375B ??-+

当λ=

时，可解得y =由此可得两个可疑的条件极值点

275,B ?-

B ?-

。 1234,,,,B B B B 的坐标即为所求四个顶点的坐标.

六. （12分）设()2

22:40,x

y z z ∑++=≥取上侧,试求曲面积分

∑

解方法1 设(

)

1:04,z x y ∑=+≤取下侧

原式1

∑+∑∑=

0∑+∑∑+∑=

-=????(2分

)

记P Q R =

则()

()

53,52x y

z y P Q R y -'''++=-(2分)记∑与1

∑所围的区域为,Ω应用高斯公式得

原式()

()

3d 5d 52x y

z y

P Q R V V y Ω

-'''=++=-??????(2分)(此积分下面用2种方法求)

(法1)()

()2

354d 2

52y y y y π

--=--?

(3分)令()2

520y t t -=> 3243

521315959119d 3816165t t t t t t t t πππ????=-++-=++-= ? ???

???(3分) (法2)

5d D

x y =()

22:4D x y +≤

10d y x -=?(2分)

()

()2

310d 4cos

d 52

y y t t y π

--=--??

()

x t =

()

()2

534d 2

52y

y y y π--=--?

(2分)令()2

520y t t -=>

3243

521315959119d 3816165t t t t t t t t πππ????=-++-=++-= ? ???

???(2分) 方法2 采用统一投影法,由于

d d d d d d ,y z z x x y

x y z

==(2分)所以

原式

222d x y ∑

(2分)

4d D

x y = ()22:4D x y +≤(2分)

8d y x -=? (2

分)

8d y -=

4y π-=?

(2分)

418.ππ=-=(2分)

七. （12分）已知二次锥面222

430x y z λ+-=与平面0x y z -+=的交线是一条直线L ,

(1) 试求常数λ的值,并求直线L 的标准方程; (2) 平面∏通过直线L ,且与球面222x y z ++62x y +-2z -+100=相切, 试求平面 ∏的方程.

解 (1) 二次锥面222

430x y z λ+-=与平面0x y z -+=相交有3种可能: 一条直

线或两条直线或一点. 令 1y = 得

()222430,1,630x z x z x x λλ+-=+=?

++-=

相交为一条直线的充要条件是上式有唯一解, （2分）而上式有唯一解的充要条件是

()3643012,λλ?=--=?=

所以12λ=时L 是一条直线. （2分） 12λ=时由2690,

x x z x ?++=?=-?解得3,1,4

x y z =-==所以直线L 通过点()3,1,4.P - 因直线L 又通过原点()0,0,0,O 取直线L 的方向为

l OP =r u u u r ()3,1,4.=-则直线L 的标准方程为

.314

x y z

==-（2分） (2) 设平面 ∏的方程为0,ax by cz ++=其法向量为

(),,,n a b c =r 因,n l ⊥r r 故340,a b c --=（1分）球面的球心为()3,1,1-,半径为为1,平面∏与球面相切时球心到平

面∏的距离为1,

所以有

234330,a b c a ab ac bc -++=?--+=（2分）

取1,c =由 234,4330

b a a ab a b =-??--+=? 解得()()214,,2,2,1,,,1,55a b

c ??

=- ???因此所求平面∏

的方程为

220,x y z ++= 或 21450,x y z -+= （3分）

八.（12分）已知函数()2

722x

f x x x +=

--在区间()1,1-上关于x 的幂级数展式为

()0,n n n f x a x ∞

==∑

(1) 试求()0,1,2,n a n =L ; (2) 证明级数()()

10122n n

n n n a a a a ∞

+=+--?-∑

收敛,并求该级数的和.

解令()()()27227,21212x x A B

f x x x x x x x

++=

==+---+-+通分得

()()7221,x A x B x +=++- 取 1x =可得3,A = 取 2x =-可得1,B =

所以 ()31,12f x x x

+-+（2分） (1) 下面用2种方法求.n a 方法1

()()()1

000111

33,1222n n

n n n n n

n n n f x x x x x +∞

∞∞===??-- ?=+=+< ??

∑∑∑（3分）于是()()1

130,1,2,.2

n a n +-=+

=L （1分）(1x <不写,不扣分).

方法2 由于 ()

()

11!

1,n n

n n x x

+??

=- ?

所以 ()

()()

()

11!

3311,1212n n n

n n n n n f

x x x x x ++??

??=-+=--+- ?

?-+??

-+（2分）

于是()()()()1

0130,1,2,.!

n n n f a n n +-=

=L （2分）

(2)

()()()()()()110

001112211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞

∞

∞++===+++---??-==- ?

-?--?---??

∑

∑∑（2分） 01121111111lim 222222n n n a a a a a a +→∞

??????????

=-+-++-?? ? ? ?------??????????

0111lim 22n n a a +→∞??=- ?--??

（2分） ()1

21lim 1333

112n n n ++→∞

=-=

-=--+

所以原级数收敛,其和为1.3

-（2分）

江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a =，b =时，2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ￥ =?的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面 2）求旋转曲面S 所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子 A 定义为

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

一.答案: (1) 1;5 (2) 2;23 π - (3) ; 4 π 二. 解下列两题（每小题5分，共10分） (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?????-?- ? ????-??? L L (2) 求极限 ( )224444lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++

解 (1) 记 ()() 2 222 2 2 1321, 242n n a n ???-= ???L L 因为()() () 2 212112k k k -?+<()* ,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2222222321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<= ?????<-L （2分）因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0. n n a →∞ = （2分） (2) 应用不等式的性质得 ( ) 222222442222,2, x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分） () ()222244 4422 22 211 0sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤?+≤= ++，（1分）因为 2211lim 0,x y y x →∞ →∞??+= ???应用夹逼准则得 () 22 4444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?+=+（2分）三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{},n n x y 满足: (),,n x a a δ∈-() ,n y a a δ∈+ ()0, δ>且 lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()() lim . n n n n n n n x f y y f x y x →∞ -- 解由 () f x 在 x a =处可导得 ()()()lim , x a f x f a f a x a →-'=- ( 2分) ()()()()lim , n n n f x f a f a f a x a -→∞ -''==- ()()()()lim , n n n f y f a f a f a y a +→∞ -''==- ( 2分) 应用极限的性质得

江苏省高等数学竞赛试题剖析

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.() () 3 sin sin lim sin x x x x →-= 2.设函数,f ?可导，()()arctan tan y f x x ?=+，则y '= 3. 2cos y x =，则()n y = 4.21x x dx x e +=? 5. 4211dx x +∞=-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=? ?++--+≤?的面积为 7.设2,,x f x y f y ?? - ???可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()() ,2,1x y dz == 8.级数()()1 111! 2!n n n n n ∞ =+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()3 0212 c c c f x dx f f c f ξ''=+-? 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1D x y +≤ 六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑ ++??，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.

江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

2018年江苏大学校赛数学建模A题共享单车的现状调查与分析

2018年江苏大学第六届大学生数学建模竞赛A题共享单车的现状调查与分析 2016年起，各大城市的街头巷尾出现了各色共享单车，人们只需下载一个APP，充值扫码就能骑。最初的共享单车在校园诞生。2014年，北大毕业生戴威与4名合伙人共同创立OFO，致力于解决大学校园的出行问题。次年5月，超过2000辆共享单车出现在北大校园。截至到2017年3月，已经有包括摩拜、优拜、OFO、小鸣、小蓝、骑呗等在内的多家共享单车诞生并且都获得了大量的风险投资。共享单车有效地解决了居民出行“最后一公里”的问题，推动了城市绿色出行、缓解了城市交通拥堵。然而，共享单车的出现也带来了诸多问题，比如单车被盗、乱停乱放和运营方式单一等等。这些问题导致2017年6月份以来，小鸣单车、町町单车、悟空单车、3Vbike、卡拉单车等一大批共享单车企业相继倒闭。11月19日，酷骑单车因运营成本增加且没有资本进入宣布倒闭。同月，一向以服务态度著称的小蓝单车也因融资不顺倒闭。共享单车作为一种绿色交通工具极大方便了出行，丰富了休闲生活。共享单车其实也是一种共享经济，其未来依然潜力无限，运行的好，前景广泛。请利用相关数据和数学建模的思想方法，解决下面问题： (1)试通过建立数学模型探讨大量共享单车企业先后倒闭的主要原因，并针对这些因素给出相应的改进意见。 (2)以镇江市(或其它城市)某一个区为对象，建立数学模型研究如何优化车辆的投放和调度问题，使得乱停乱放和部分区域无车可骑的普遍现象得到极大的改善。 (3)综合相关信息，预测未来5年共享单车用户的变化情况，并帮共享单车企业拟定镇江市(或其它城市)共享单车的运营(可盈利)方案。

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准一．填空题（每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x f u x y f x u x ??-+===+则 1 d d x y x == . (2) () 2 2 sin cos2d x x x π+=? . (3) () 2 20 1 d 1x x +∞ =+? . (4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数 (),z f x y =由() 22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= . (5) 设Γ是区域 (){}2 2,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则 ()()()() () 3 3 1e d e d y y x y y x x y xy y Γ -+-+++=? . 一.答案: (1) 1;5 (2) 2 ;23 π - (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π 二. 解下列两题（每小题5分，共10分） (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?? ???-?- ? ????-??? (2) 求极限 () 2244 44lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++ 解 (1) 记 ()() 2 222 221321,242n n a n ???-= ?? ?因为 ()() () 2 212112k k k -?+<()*,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2 2 222 2 2321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<=???? ?<-（2分）因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0.n n a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得 () 222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 22t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21 x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a v 为单位向量，b a ??3+垂直于b a ??57-，b a ??4-垂直于b a ??27-，则向量b a ??、的夹角为____________。 10. =? ????????? ? ?+???? ? ?+???? ? ? +∞→n n n n n n 122 22 2 2 1211 1lim Λ 。二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。三、（7分）求c 的值，使 ? =++b a c x c x 0)cos()(，其中a b >。

东南大学本科生2018年高等数学竞赛-东南大学教务处

东南大学教务处校机教〔2018〕26号关于举办“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”的通知各院系、学生会、学生科协：为贯彻教育部关于高等学校要注重数学素质教育的相关精神，加强我校的数学教学工作，提高和激发学生学习高等数学的积极性，推动高等数学的教学改革，提高数学类课程教学质量，同时搭建平台，为“江苏省高等数学竞赛”和“全国大学生高等数学竞赛”等高级别竞赛选拔优秀学生参赛。学校决定于2018年4月举办“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”，欢迎全校各专业各年级同学积极报名参与。报名网址：教务在线—课外研学—学科竞赛管理系

报名时间：2018年3月19日～3月29日24点整。竞赛时间：2018年4月3日（星期二）晚18:00-21:00。竞赛联系人：刘国华老师联系电话：52090590 附件：“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程东南大学教务处东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月15日（主动公开）

“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程 “东南大学本科生2018年高等数学竞赛”是面向本校各级全体本科生组织的校级课外学科竞赛。 1、竞赛时间 2018年4月3日（星期二）晚18：00--21：00 2、报名时间：2018年3月19日－3月29日；报名方式：登录教务在线—课外研学—学科竞赛管理系统；输入信息：学号、姓名、性别、校园一卡通、所在校区竞赛考试的具体地点待报名结束后另行通知；竞赛获奖名单2018年4月9日开始公示一周； 4、竞赛内容范围极限，连续，一元函数微积分，微分方程。（高等数学上册内容） 5、竞赛形式竞赛采用笔试、闭卷的考试方式进行，题型为计算题及证明题。 6、竞赛组织管理设立竞赛组委会（组委会名单见附录），负责竞赛的组织和实施工作。 7、竞赛获奖及奖励竞赛设一等奖，二等奖，三等奖，获奖比例为：一等奖（约占实际竞赛人数的2％），二等奖（约占实际竞赛人数的4％），三等奖（约占实际竞赛人数的11％）。获奖者由教务处颁发获奖证书(竞赛结果发文后请获奖同学到各任课老师处领取)。同时参照《东南大学本科生课外研学学分认定办法》规定获得相应课外研学学分。竞赛获奖者经选拔可以参加2018年江苏省高等数学竞赛和2018年全国高等数学竞赛。东南大学本科生2018年高等数学竞赛组委会名单组长：陈文彦副组长：沈孝兵成员：潮小李周吴杰徐春宏秘书：刘国华东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月抄送：学生处、团委、档案馆东南大学教务处2018年3月15日印发

江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。（1）求切线L 的方程。（2）求区域D 的面积。（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。六．（12分）点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。七．（12分）求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。

江苏省高校历届专科类数学竞赛试题

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知 2 1()d f x dx x ??=? ?，则()f x '= ． 2．1 ln 0 lim (tan )x x x + →= ． 3 ． = ． 4．若级数11 (2)66n n n n n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为． 5． [()()]sin a a f x f x xdx -+-=? ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1．函数21 ()(1) x e f x x x -=-的可去间断点为（）． A ．0,1x = B ．1x = C ．0x = D ．无可去间断点 2．设2 1 ()sin ,()sin f x x g x x x ==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小 3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e =- +在(0,)+∞内零点个数为（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （）． A ．取得极大值 B ．取得极大值 C ．某个邻域内单调增加 D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470, 35210x y z x y z -+-=?? +-+=? 垂直的平面方程是（）． A ．16(2)1411(3)0x y z --+++= B ．(2)24(3)0x y z --++= C ．3(2)52(3)0x y z -+-+= D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=

2016江苏省高等数学竞赛题本科一级

2016江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求 2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))lim tan tan(tan )tan(tan(tan )) x x x x x x →-?? 3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++? 4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=，在直线2124x y z x y z ++=??-+=? 上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面∏，试写出点Q 的坐标. 二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明. 命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x →-=∈，则()f x 在0x =处可导，且 (0)f a '=.

三．设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，(0)0,(1)1f f ==. 求证：(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''?∈++=+使得. 四．求定积分220sin 1cos x x dx x π+? . 五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足： 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++ 试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y = -，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点 (),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求 ,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中 22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线 222 01 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加， 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3, ,n =记1 n n x a =，判别级数1 n n x ∞ =∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y = 3.设由y x x y =确定()y y x =，则 dy dx = 4.2cos y x =，()()n y x = 5.2 1x x e dx x -=? 6.(2,)x z f x y y = -，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y ??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D = 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且 1 10 ()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0 ()0f x dx ξ =?.

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

江苏省高校第十一届专科高等数学竞赛试题

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561) 434lim 4x x x 。 2.=+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 。 3.=?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 。 4.),1ln(x y -=则=)(n y 。 5.?=xdx x arctan 2 。 6.=?dx x x 211arccos 。 7.点)3,1,2(-到直线 22311z y x =-+=-的距离为。 8.级数∑∞=--1 1)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。二、(每小题6分，共12分)(1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n 。 (2)设)(x f 在0=x 处可导，且,1)0(=f ,2)0(='f 求201)1(cos lim x x f x --→。三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在若存在，举一例；若不存在，请给出证明。 (1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。四、(10分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值13，在4=x 时取极小值

(关于表彰2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师的决定.doc

河海大学文件河海校政〔2014〕120号 ──────────────────── 关于表彰2013－2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师的决定各单位：为贯彻落实教育部有关文件精神，进一步加强我校学生实践创新能力的培养，根据《河海大学教学奖励办法》（河海校科教〔2008〕77号），学校决定对2013－2014学年获省、部级以上学科竞赛奖（国家级172项、省级695项）的指导教师予以表彰。希望获表彰的教师再接再厉、不断进取，创新培养模式，为进一步提高我校人才培养质量做出更大的成绩。附件：河海大学2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师名单

2 河海大学 2014年10月8日河海大学校长办公室 2014年10月8日印发录入：校对：附件河海大学2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师名单一、2013年全国大学生数学建模竞赛获奖等级指导教师全国一等奖（1项）周忠国全国二等奖（6项）丁根宏、柳庆新、王启明、张学莹江苏赛区一等奖（1项）丁根宏江苏赛区一等奖（1项）张建勇、王建鹏江苏赛区三等奖（1项）江苏赛区三等奖（6项）丁根宏、何秀丽、何朝葵、袁永生、孙中喜

二、2013年中国机器人大赛三、2014年第十六届全国机器人锦标赛四、2013年第十五届全国机器人锦标赛五、2013年第九届全国周培源大学生力学竞赛六、2014年第三届“中国软件杯”大学生软件设计大赛获奖等级指导教师冠军（3项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷一等奖（1项）获奖等级指导教师冠军（4项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷一等奖（3项）获奖等级指导教师一等奖（7项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷获奖等级指导教师二等奖（1项）许庆春、王向东、朱为玄、赵引、张慧邓爱民、邱玲三等奖（29项）获奖等级指导教师全国一等奖（1项）牟艳、吕嘉、陈慧萍全国二等奖（3项）叶枫、周文欢全国三等奖（2项）张雪洁、毛莺池省二等奖（4项）朱云、韩立新、黄倩省三等奖（2项）万定生、李旭杰

江苏高等数学竞赛试题汇总

江苏高等数学竞赛试题汇总文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得 ()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5, ,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3, ,n =记1 n n x a =，判别级数1n n x ∞ =∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y = 3.设由y x x y =确定()y y x =，则 dy dx = 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x x e dx x -=? 6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y ??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D = 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且1 1 ()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得 ()0f x dx ξ =?. 四.（12分）求广义积分4 2 1 1dx x +∞ -?

(新)江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

2016年江苏省高等数学竞赛一级

2016年江苏省高等数学竞赛一．解答下列各题（每小题6分，共24分） 1.设234()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，试求(2) f ''2.求极限0tan(tan )tan(tan(tan )) lim tan tan(tan )tan(tan(tan )) x x x x x x →-??3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到点(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分 2(1)xy xy e xy dx e x dy Γ++?4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z π-+=，在直线2124x y z x y z ++=??-+=? 上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面π，试写出点Q 的坐标二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明。命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x →-=∈，则()f x 在0x =处可导，且()f x a '=（10分）三．设函数()f x 在区间[]0,1上二阶可导，(0)0,(1)1,f f ==求证：存在(0,1)ξ∈，使得 ()(1)()1f f ξξξξξ'''++=+（10分）四．求定积分220sin 1cos x x dx x π +?（10分）五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足 2222(sin()2cos ,2cos )1() f xy x xy y x y x y ο+-=++++这里22()x y ο+表示比22 x y +为高阶无穷小（当(,)(0,0)x y →时），试求曲面(,)z f x y =在点(2,2,(2,2))f --处的切平面方程。（12分）六．求二重积分22D x y x dxdy +-??，其中{(,)|01,01}D x y y x x =≤≤-≤≤（12分）七．设∑为球面2222x y z z ++=，试求曲面积分 444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑ ++---+++---??（10分）