第七章 第39讲 (1)
第39讲不等关系与不等式
考试要求不等关系的概念(A级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若a b>1，则a>b.() (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.() (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.() (5)a>b>0，c>d>0?a d> b c.() (6)若ab>0，则a>b?1 a< 1 b.() 答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√ 2.(教材改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的________条件. 解析a－b>0?a>b ?a>b?a2>b2， 但由a2－b2>0a－b>0. 答案充分不必要 3.(2018·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________(填序号). ①a－b>0；②a3＋b3>0； ③a2－b2<0；④a＋b<0. 解析由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|， 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0. 答案④ 4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________. 解析由a2＋a<0得a<－a2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2 5.若0 2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________. 解析 ∵0 21且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2? ? ???a －122＋12<12. 即a <2ab <12， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1 2， 即a 2＋b 2>1 2， a 2＋ b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2 综上，a <2ab <1 2 2 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法???a －b >0?a >b ， a － b ＝0?a ＝b ，a －b <0?a (a ，b ∈R )， (2)作商法?????a b >1?a >b ， a b ＝1?a ＝b ，a b <1?a (a ∈R ，b >0)， 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ?b b ，b >c ?a >c ? 可加性 a > b ?a ＋ c >b ＋c ? 可乘性 ? ??? ?a >b c >0?ac >bc ? ??? ?a >b c <0?ac 同向可加性 ? ??? ?a >b c >d ?a ＋c >b ＋d ? 同向同正可乘性 ? ??? ?a >b >0c >d >0?ac >bd ? 可乘方性 a >b >0?a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数 可开方性 a > b >0?n a >n b (n ∈N ，n ≥2) (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0?1a <1 b . ②a <0 b . ③a >b >0，0< c < d ?a c >b d . ④0 a . (2)有关分数的性质 若a > b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b 0). 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5，则a ，b ，c 的大小关系为 ________. (2)(2018·无锡期中)若1a <1 b <0，给出下列四个不等式： ①a ＋b b >2中，其中正确的不等式是________(填序号). 解析 (1)法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 4 4ln 3 ＝log 8164<1， 所以a >b ； b c ＝5ln 4 4ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c 法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c (2)因为1a <1 b <0，即b －a ab <0，且a <0，b <0，所以b 0.经逐一分析，得①④正确. 答案 (1)c 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论. (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 注意：在综合题中遇到比较大小时要采用此法. 【训练1】 (1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________. (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________. 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0， A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b ) ＝2ab ≥0， ∴A ≥B . (2)a b ＝18161618＝? ????1816161162 ＝? ????9816? ????1216＝? ????98216 ， ∵9 82 ∈(0，1)，∴? ????98216 <1， ∵1816>0，1618>0， ∴1816<1618，即a 【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2 (2)设a ，b 为正实数.现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1 a ＝1，则a － b <1；③若|a －b |＝1，则 |a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号). 解析 (1)由c 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立. (2)①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，又a －b ＝ 1 a ＋b ，不合题意，故①正确. ②中，1 b－ 1 a＝ a－b ab＝1，只需a－b＝ab即可.如取a＝2，b＝ 2 3满足上式，但a－b ＝4 3>1，故②错. ③中，a，b为正实数，所以a＋b>|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|>1，故③错. ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨设a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确. 答案(1)①(2)①④ 规律方法解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 【训练2】(一题多解)若a>0>b>－a，c d＋ b c<0； ③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是________. 解析法一∵a>0>b，c ∴ad<0，bc>0， ∴ad ∵a>0>b>－a，∴a>－b>0， ∵c ∴a(－c)>(－b)(－d)， ∴ac＋bd<0，∴a d＋ b c＝ ac＋bd cd<0，故②正确. ∵c ∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)， ∴a－c>b－d，故③正确. ∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确. 法二取特殊值. 答案 3 考点三不等式性质的应用 【例3－1】(一题多解)已知a>b>0，给出下列四个不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为________(填序号). 解析法一由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数， ∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立； ∵a>b>0，∴a>b， ∴(a－b)2－(a－b)2 ＝2ab－2b＝2b(a－b)>0， ∴a－b>a－b，③成立； 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36， a3＋b3<2a2b，④不成立. 法二令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.答案①②③ 【例3－2】已知－1 解析∵－1 ∴－4 由－1 ∴1<3x＋2y<18. 答案(－4，2)(1，18) 规律方法(1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. ②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径. 【训练3】(1)若a ③ 1 a－b > 1 b；②a 2 ③|b| |a|< |b|＋1 |a|＋1 ；④a n>b n. (2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a> c b；②a clog a(b－c). 其中所有正确结论的序号是________. 解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b| |a|< |b|＋1 |a|＋1 ?|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1) ?|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|?|b|<|a|，∵a (2)由不等式性质及a>b>1知1 a< 1 b， 又c<0，∴c a> c b，①正确； 构造函数y＝x c， ∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a>b>1，∴a c ∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1， ∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确. 答案(1)③(2)①②③ 一、必做题 1.当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为________. 解析∵x3－(x2－x＋1) ＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x －1)(x 2＋1). 又∵x ＞1， 故(x －1)(x 2＋1)＞0， ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1. 答案 x 3＞x 2－x ＋1 2.(2018·镇江模拟)若6 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________. 解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 答案 (9，30) 3.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________(填序号). ①xy >yz; ②xz >yz ； ③xy >xz; ④x |y |>z |y |. 解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz . 答案 ③ 4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a 由a 5.设α∈? ????0，π2，β∈??? ???0，π2，那么2α－β3的取值范围是________. 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π 6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β 3<π. 答案 ? ?? ??－π6，π 6.已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________(填序号). ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a c >b c ，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1 b ； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1 b . 解析 当 c ＝0时，可知①不正确； 当c <0时，可知②不正确； 对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0， 所以1a >1 b 成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确. 答案 ③ 7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________(填序号). ①a ＋1b >b ＋1a ；②b a >b ＋1a ＋1； ③a －1b >b －1 a ；④2a ＋ b a ＋2b >a b . 解析 取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1 x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1 x 在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ?a ＋1b >b ＋1 a ，但g (a )>g ( b )未必成立. 答案 ① 8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________(填序号). ①1a <1 b ；②log 2a >log 2b ；