2016年山东省高考数学试卷-(文科)

2016年山东省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.

1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）=（）

A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}

2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

3．（5分）（2016?山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A．56 B．60 C．120 D．140

4．（5分）（2016?山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）

A．4 B．9 C．10 D．12

5．（5分）（2016?山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）

A．+πB．+πC．+πD．1+π

6．（5分）（2016?山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）

A．B．C．D．

9．（5分）（2016?山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

10．（5分）（2016?山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为．

12．（5分）观察下列等式：

（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；

…

照此规律，

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．14．（5分）（2016?山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．（5分）（2016?山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．

18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

19．（12分）（2016?山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；

（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

20．（13分）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．

（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．

（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；

（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．

2016年山东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.

1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）=（）

A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题；规律型；集合．

【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可．

【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，

则A∪B={1，3，4，5}．

?U（A∪B）={2，6}．

故选：A．

【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．

2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数．

【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．

【解答】解：∵z===1+i，

∴=1﹣i，

故选：B

【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础．

3．（5分）（2016?山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A．56 B．60 C．120 D．140

【考点】频率分布直方图．

【专题】计算题；图表型；概率与统计．

【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

4．（5分）（2016?山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）

A．4 B．9 C．10 D．12

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．

【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），

∴|OA|＞|OC|，

联立，解得B（3，﹣1）．

∵，

∴x2+y2的最大值是10．

故选：C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

5．（5分）（2016?山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）

A．+πB．+πC．+πD．1+π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．

故R=，故半球的体积为：=π，

棱锥的底面面积为：1，高为1，

故棱锥的体积V=，

故组合体的体积为：+π，

故选：C

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

6．（5分）（2016?山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．

【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，

当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，

故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，

故选：A

【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．

7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】方程思想；定义法；直线与圆．

【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），

则圆心为（0，a），半径R=a，

圆心到直线x+y=0的距离d=，

∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，

∴2=2=2=2，

即=，即a2=4，a=2，

则圆心为M（0，2），半径R=2，

圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，

则MN==，

∵R+r=3，R﹣r=1，

∴R﹣r＜MN＜R+r，

即两个圆相交．

故选：B

【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．

8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）

A．B．C．D．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理．

【专题】方程思想；转化法；解三角形．

【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可．

【解答】解：∵b=c，

∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），

∵a2=2b2（1﹣sinA），

∴1﹣cosA=1﹣sinA，

则sinA=cosA，即tanA=1，

即A=，

故选：C

【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．

9．（5分）（2016?山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

【考点】抽象函数及其应用．

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f （﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．

【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），

∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．

∴f（6）=f（1），

∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（1）=﹣f（﹣1），

∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，

∴f（﹣1）=﹣2，

∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，

∴f（6）=2．

故选：D．

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．（5分）（2016?山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；

当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；

当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；

故选：A

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为1．

【考点】程序框图．

【专题】数形结合；定义法；算法和程序框图．

【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．

【解答】解：若输入n的值为3，

则第一次循环，S=0+﹣1=﹣1，1≥3不成立，

第二次循环，S=﹣1+=﹣1，2≥3不成立，

第三次循环，S=﹣1+﹣=﹣1=2﹣1=1，3≥3成立，

程序终止，输出S=1，

故答案为：1

【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键．

12．（5分）观察下列等式：

（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；

…

照此规律，

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．

【考点】归纳推理．

【专题】规律型；对应思想；归纳法；推理和证明．

【分析】由题意可以直接得到答案．

【解答】解：观察下列等式：

（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；

（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；

…

照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）

【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．

13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为﹣5．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．

【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．

【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），

∴t+=（t+6，﹣t﹣4），

∵⊥（t+），

∴?（t+）=t+6+t+4=0，

解得t=﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．

14．（5分）（2016?山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个

顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．

【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，

由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），

由2|AB|=3|BC|，可得

2?=3?2c，即为2b2=3ac，

由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，

解得e=2（负的舍去）．

故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

15．（5分）（2016?山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实

数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m ＞0），解之即可．

【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m2＜m（m＞0），

即m2＞3m（m＞0），

解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

故答案为：（3，+∞）．

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m ﹣m2＜m是难点，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

【考点】几何概型．

【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），共12个，

满足xy≤3，有（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共4个，

∴小亮获得玩具的概率为=；

（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4个，∴小亮获得水杯的概率为=；小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=，

∴小亮获得水杯与获得饮料的概率相等．

【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．

17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的

图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．

（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）

的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣

1+sin2x=2?﹣1+sin2x

=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，

令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，

可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin （x﹣）+﹣1的图象；

再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，

∴g（）=2sin+﹣1=．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．

18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

【专题】数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．

（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．

【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC 都是等腰三角形，

∴BD⊥AC，ED⊥AC．

∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，

∴AC⊥平面EFBD．

显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB．

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OG∥EF，∵OG∥BD，∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．

同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC．

∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．

19．（12分）（2016?山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；

（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；

（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．

【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，

∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，

n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；

∵a n=b n+b n+1，

∴a n﹣1=b n﹣1+b n，

∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a1=b1+b2，

∴11=2b1+3，

∴b1=4，

∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；

（Ⅱ）c n===6（n+1）?2n，

∴T n=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，

∴2T n=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，

①﹣②可得﹣T n=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=

（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，

∴T n=3n?2n+2．

【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．

20．（13分）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．

（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【专题】分类讨论；转化思想；转化法；导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，

∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，

g′（x）=﹣2a=，

当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；

当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，

当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，

∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；

当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；

（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，

①当a≤0时，f′（x）单调递增，

则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，

②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f（x）在（0，）内单调递增，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．

③当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．

④当a＞时，0＜＜1，

当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．

综上实数a的取值范围是a＞．

【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．

21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．

（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；

（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；

（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果

（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，

可得椭圆C的方程：；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），

（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，

k==，k′==﹣，

==﹣3．为定值；

（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，

PN的方程为：y=kx+m，

联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，

即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0

可得x B=，y B=+m，

同理解得x A=，

y A=，

x B﹣x A=﹣=，

y B﹣y A=+m﹣（）=，

k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，

所以6k+，当且仅当k=时取等号．

此时，即m=，符号题意．

所以，直线AB的斜率的最小值为：．

【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．