第1讲---整式的加减及幂的运算性质
第1讲 整式的加减及幂的运算性质
一、【知识目标清单】
1、同类项的概念及其运用；
2、单项式与多项式的概念；
3、整式的加减（去括号、合并同类项）
4、熟练运用幂的运算性质进行整式的化简
二、【知识体系梳理】
◆ 单项式、多项式的相关概念
Ⅰ、单项式的定义：表示数与字母的积的代数式。如2411,,52
x y bk ab - 注意：（1）单独的一个数字或一个字母也是单项式，如0，a -，π等。
（2）定义中的积是对数和字母而言的，意为单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其它运算。
Ⅱ、单项式的系数与次数
单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数，单独一个非零数字的次数是0。
Ⅲ、多项式的定义：几个单项式的和叫多项式。
例如：32x -；221x y -+等。
Ⅳ、多项式的项与次数
1、组成多项式的每个单项式叫多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。
2、多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。常数项的次数为0。
注意：（1）确定多项式的项一定连同它前面的符号；
（2）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数
（3）多项式没有系数概念，但对多项式中的每一项来说都有系数。
◆ 整式的概念：单项式和多项式统称为整式
◆ 幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法：n m n m a a a +=?；推广：t n m t n m a a a a ++=??
2、幂的乘方：m n n m a a =)(（可以推广）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；
3、积的乘方：m m m b a ab ?=)(（可以推广）；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方；
4、同底幂的除法法则: m a ÷n a =m n a -（0a ≠，m 、n 是整数，m n >）
同底数幂相除，底数不变,指数相减。
◆ 零指数幂的意义：01a =（0a ≠）即任何不等于0的数的0次幂都等于1。
◆ 负整数指数幂的意义: 11()(0,)p p p a a p a a
-==≠是正整数,即任何不等于0的数的p -次幂(p 是正整数)等于这个数的p 次幂的倒数。
◆ 科学计数法：把一个数写成10n a ?的形式。（其中110a ≤<，n 为整数）
三、【典型例题解析】
◆ 考点一：整式的概念及整式加减运算
【例1】若3232583n m a b a b a b -=-，则=m ，=n ；
【例2】求值：
1、化简求值：若2(2)10a b +++=,求{}
)]24(3[2522222b a ab ab b a ab ----的值；
2、运用整体思想求值：
已知535-++=cx bx ax y ，当3-=x 时，7=y ，求当3=x 时y 的值；
【例3】代数式的有关概念及列代数式
1、代数式x y x 1
62+、24z xy +、xy y +-251、xy 2、2-π中，不是整式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子 用了 块石子．
◎ 变式议练一
一、填空题、选择题：
1、若22210,24x x x x -+=-=则 ；
2、若6452=++z y x ，473-=-+z y x ，则=-+z y x ；
3、已知多项式635
13212--+-+x xy y x m 是六次四项式，单项式m n y x -523与该多项式的次数相同，则=+n m ；
4、下列各组代数式中，互为相反数的有（ ）
（1）b a -与b a -- （2）b a +与b a -- （3）b a +-与b a -
A 、（1）与（2）
B 、（1）与（3）
C 、（2）与（3）
D 、（1）、（2）、（3）
5、对于代数式2()a b +，下列描述正确的是（ ）
A 、a 与2b 的平方的和；
B 、a 、b 的平方和；
C 、a 与b 的和的平方；
D 、a 与b 的平方的和
6、下列各组两项中，是同类项的是（ ）
A 、2233x y xy 与
B 、1155abc ac 与
C 、23xy ab --与
D 、0与π-
7、若多项式1)3(5)1(234-+-+--x b x x a x 中不含3x 和x 项，则=a ，=b ；
8、已知：10=+b a ，2-=ab ，则=-+ab b a 533 ；
二、解答题：
1、已知xyz x A -=32，xyz z y B +-=23，
xyz y x C -+-=222，且01)1(2=+-++z y x 求：)32(C B A --的值.
2、观察下列数表：
第一行 （1）根据数表所反映的规律，猜想第6行与 第二行 第6列的交叉点上的数是什么数？ 第三行 （2）第n 行与n 列交叉点上的数是什么数？ 第四行 （用含有正整数n 的式子表示）
第 第 第 第
一 二 三 四
列 列 列 列
3、如图是某居民小区的一块长为a 2米，宽为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长
方形的四个顶点处修建一个半径为a 2
1米的扇形花台， 然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每
平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么
美化这块空地共需资金多少元？
1 2 3 4
… 2 3 4 5
… 3 4 5 6
… 4 5 6 7
… … … … … …
◆ 【能力拓展】
【例4】已知012=++a a ，求200720082009a a a ++的值；
【例5】已知一个四位数，其千位上的数字与十位上的数字相同，个位上的数字与百位上的数字相同，证明这个数一定能被101整除；
【例6】已知：222321,1A x ax x B x ax =+--=-+-，且B A 63+的值与x 无关，求a 的值；
【例7】如图几何体是用边长为acm 的立方体泥坯堆成三层形成的，在这个几何体的表面上刷漆，若油漆的需求量为30g/2cm ，求刷好这个几何体共需要多少克油漆？
【例8】A 、B 两家公司都准备向社会招聘人才，两公司的招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：
A 公司：年薪1万元，每年加工龄工资200元；
B 公司：半年薪5千元，每半年加工龄工资50元；
若从经济收入的角度来考虑，选择哪家公司为好？
◆ 考点二：幂的运算性质及其运算
【例9】直接写出结果：=??a a a 47 ； =-?---?3856)()()(x x x x ；
=-2)2
1(xy ； =-+-33)2(a a ； =?+212)()(n n a a ；
【例10】辨析运算的正误并写出正确答案
（1）3332a a a ?= （2）448x x x += （3）339a a a ?= （4）235y y y y ??=
（5）34x x x += （6）818101010?= （7）33()xy xy = （8）3412(2)16a a -=-
（9）3124n n n a a a +-+÷= （10）()()62
4xy xy xy ÷= （11）()8426a a a a ÷÷= 【例11】计算下列各题：
（1）2222)2()2(n mn mn ?-- （2）3335)109()1031(??? （3）[]3
223)2()3(a a --
（4）34444)(52)2(x x x ?+- （5）20)31()31(--÷-π （6）2101(2)()(2009)2
π---÷-?-
【例12】幂的运算性质的灵活运用 1、已知31123x x x x a a =??+，求a 的值；
2、若2=a x ，3=b x 。求下列各式的值：（1）b a x +；（2）b a x +2；
3、计算：（1）、2020)41(4-? （2）、11109)75.0()9
8()211(??
4、（竞赛题）若0352=-+y x ，则=?y x 324 ；
◎ 变式议练二
1、下列计算中不正确的是（ ）
A 、229)3(x x =-
B 、336)2(x x -=-
C 、655222=+
D 、63328)2(y x xy = 2、下列运算中正确的是（ ）
A 、532a a a =+
B 、633b b b =+
C 、7432c c c =?
D 、22)(m m a a -=
3、计算：20092010(2)(2)-+-的结果为（ ）
A 、2
B 、40192-
C 、20092-
D 、20092
4、若3=n x ，7=n y ，则=n xy )( ；=-?-20092008)3()3
1( ； 5、已知：034=-+y x ，则=?y x 162 ；
6、经天文学家测算，太阳系外离地球最近的一颗恒星---南门二，发出的光到达地球的时间为
s 81036.1?，光的速度是s km /1035?。求南门二到地球的距离？（用科学记数法表示）
◆◆◆ 课堂练习
1、下列运算中正确的是 （ ）
A 、322x x x =+
B 、2446a a a =?
C 、444)(b a b a +=+
D 、632x x x =?
2、若3211623-++=?x x x ，则x 的值为 ；
3、若3=m a ，5=n a ，则n m a 34+的值为 ；
4、计算下列各题：
（1）3856)()()(x x x x -?---? （2）23212)()()(---?-?-n n n b a a b b a （n 是正整数）
（3）2222)2()2(n mn mn ?-- （4）423)()(x x x -?-?- （5）952)()()(x y y x y x -?-?-
5、能力拓展：（1）、判断2007200673+的末位数字是多少？
2010201020102010201114235552)3(--?）化简：（、 的值。求：）满足（、、、如果整数y
z y x z y x z y x -+=??216)1027()916(815)2(
人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析
第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)
第七单元圆 第24讲圆的有关性质 纲要求命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解 圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质，与垂径定理有关的计算，与圆 有关的角的性质及其应用．题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦； (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧． (3)________相等的两个圆是等圆． (4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧． 2．推论1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧________． 4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义
高一数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x) 定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质，则 f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数， 又是偶函数。 注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当x 1 幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项 （数学1必修）第一章（下） 函数的基本性质 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数， 则m 的值是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)2 3()1()2(-<- 1．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式 ()0f x <的解是 2．函数2y x =________________。 3．已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 . 4．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 5．下列四个命题 （1）()f x ; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0 ,0 x x y x x ?≥?=?- 必修 1 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y = 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，） 单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 幂的运算性质 知识要点 ◆要点1 同底数幂的乘法： a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。 ◆要点2 幂的乘方与积的乘方 (1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a = (2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n ◆要点3 同底数幂的除法 a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ） ◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）： (1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0） (2) 负整数指数：p p a a 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。也可变形为:p p p a a a ??? ??==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。 易错易混点 (1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。 圆的有关性质 本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． 幂的运算例题精讲 【知识方法归纳】 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ?= (m 、n 是正整数)； a 可以多项式 幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()( 积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数) n n n ab a )()(= 同底数幂的除法 m m n n a a a -=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷ 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则： +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 【典型例题】 例1：计算. （1）2 3 4 444??； （2）3 4 5 2 6 22a a a a a a ?+?-?； （3）1 1211()() ()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+ 例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。 (1)x 3 ·x 5 = x 15 ( ) ； (2) b 7 + b 7 =b 14 ( ) ； （3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6 ( ) ； (5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( ) 幂的运算 一、教学内容： 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方与积的乘方 3.同底数幂的除法 二、技能要求： 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 三、主要数学能力 1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。 2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。 四、学习指导 1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。 （3）指数都是正整数 （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如： x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5 解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1 1.3 函数的基本性质 学习目标： （1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点： （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性与最大（小）值 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 24.1圆的有关性质 24．1.1圆 教学目标 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． 教学重点 圆的有关概念． 教学难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象． 请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质． 二、自主学习指向目标 1．自学教材第79至80页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一圆的定义及表示 活动一：圆的定义． 图1 (1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__． 【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小． ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__． (2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合． 【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？ 【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________． 课程标题 函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2 4x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． 函数的基本性质(一) 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2 ，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 2 3 时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. 2 303 C.152 D. 2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝2 3 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是 23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3 对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 2 3 ×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2 303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2 ＝2xsin(xy)－1，则x 1998 ＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2 ＋cos 2 (xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4 ＋bx 2 ＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2 －219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4 －160x 2 ＋6400＝76x 2 即 x 4 －236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 幂的运算性质：（1）a m ·a n = a m+n （2）（a m ）n = a mn ；（3）（ab ）n = a n b n ； （4）a m ÷a n = a m － n （a≠0，a ，n 均为正整数） 特别规定：（1）a 0＝1（a≠0）； （2）a -p = 1 (0,)p a p a 是正整数 1、计算：0.299×5101=________ 2、已知a=8131，b=2741,c=961,则a 、b 、c 的大小关系 是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a 3、在代数式：x5+5, －1,x2－3x,π,5x ，x+1 x 2 整 式的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4、若5x |m|y 2—(m －2)xy －3x 是四次三项式，则m=___ 5、已知m -1n -13m+2n 1 x =6x =(),x 3 ，求的值。 6．已知a=1516 ，b=116 ，c=7 8 ，求 1234a+2468b ＋617c 的值． 7．已知：A =2x 2+3ax －2x －1, B=－x 2+ax －1且3A+6B 的值与 x 无关，求a 的值． 8．若（x 2＋nx ＋3）（x 2－3x ＋m ）的乘积中不含x 2和x 3项，求m 和n 的值． 10．证明代数式16＋a －｛8a －［a －9－（3－6a 〕｝的值与a 的取值无关． 11．若出为互为相反数，求多项式a+ 2a+3a+…+ 100a+100b ＋99b+…+2b+b 的值． 1．若a 2－3a+1=0, 求⑴a+ 1a 的值；⑵a 2+1 a 2 的值． 2．已知a= 1999x+ 2000，b=1999x+ 2001，c=1999x+ 2 0 0 2, 则多项式a 2+ b 2+c 2－ab －b c －ac 的值为（ ） A ．O B ．1 C ．2 D ．3 3、 计算（2+1）（22 +1）（23+1） (22) +1）的值 是 （ ） A 、42n －1 B 、222n C 、2n －1 D 、22n －1 【考题 3—1】(2004，江苏盐城，2分）分解因式：x 2－4y 2=____________ 【考题3－2】（2004、上海，2分）计算：（a －2 b ） (a+2 b ）=________． 【考题3－3】（2004、宁夏，3分）x 2+ 6x+_______ =（x+3）2 【考题3－4】（2004、天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x ＞y ，x －y 的值等于________． 第1讲-圆的有关性质 1 （1）在同圆或等圆中，“同弧或等弧上” 的圆周角＝ 1 2； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角或 圆周角所对的 和相等；反之亦然； （3）直径所对的圆周角是，反 之，90°的圆周角所对的弦是 ． 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA， OB，∠OBA＝40°，则∠C的度数为（）． A．30° B．40° C．50° D．80° 2 2．垂径定理：如图1，若AB是⊙O的直 径，弦CD⊥AB于E，则 ， ， ． 2．（14常德）如图1所示，AB为⊙O的直径， CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O 到弦CD的距离为． 图1 3．（14凉山）如图，已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M， 且AB＝8cm，求AC的长． C N C M A B O ． 4．已知⊙O 的半径是10，点C 是弦AB 的中点，弦MN 过C 点，且AB 为12，MN 为16，求NC 的值． 5．已知，在⊙O 中，弦AB 与直径MN 成45°角，且把MN 分成1和9长的两段，求AB 的长． 6．⊙O 的半径为5，弦AB ，MN 互相垂直于E ，且AE 为1，BE 为7，求ME ，NE 的长度． O B A M N E O B A M N C B A O 第9题 第11题 图15 7．（14山西）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）． A ．30° B ．40° C ．50° D ．80° 8．（14毕节）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是 （ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 9．（14临沂）如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，则∠BOC 的度数为（ ）． A ．25° B ．50° C ．60° D ．80° 10．（14潍坊）如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径 BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是（ ）． A ．44° B ．54° C ．72° D ．53° 11．（14内江）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为（ ）． A ． B ．3 C ． D ．4 323第7题 第8题 O A B 第10题 A B D E O · C 精品文档 必修1函数的基本性质练习题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．下面说法正确的选项 （ ） A ．函数的单调区间一定是函数的定义域 B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C ．具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ） A ．1=y B ．21+-=x x y C ．122 ---=x x y D ．2 1x y += 3．函数c bx x y ++=2 ))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2- C ．)()(21x f x f = D ．无法确定 7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[- 8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 （ ） A ．21- >k B ．2 1 - 初中数学专题复习资料-----幂的运算性质 【知识梳理】 1、知识结构 2、知识要点 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?←→a m+n =a m ·a n （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即() mn n m a a =←→a mn =(a m )n =(a n )m （3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即()n n n b a ab =←→a n b n =(ab)n （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷←→a m-n =a m ÷a n （a ≠0） （5）零指数和负指数：规定10 =a ，p p a a 1 = -（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数） 3、中考预测 对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。 （一）同底数幂的乘法 【解题讲解-------基础训练】 【例1】 1、（－12）2×（－12 ）3= 。2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8 = 。 3、a 16 可以写成（ ） A ．a 8 +a 8 ； B ．a 8 ·a 2 ； C ．a 8 ·a 8 ； D ．a 4 ·a 4 。 4、下列计算正确的是（ ） A ．b 4 ·b 2 =b 8 B ．x 3 +x 2 =x 6 C ．a 4 +a 2 =a 6 D ．m 3 ·m =m 4 【解题讲解-------能力提升】 【例2】1、下面的计算错误的是（ ） A ．x 4 ·x 3 =x 7 B ．（－c ）3 ·（－c ）5 =c 8 C ．2×210 =211 D ．a 5 ·a 5 =2a 10 2、x 2m+2 可写成（ ） A ．2x m+2 Bx 2m +x 2 C ．x 2·x m+1 D ．x 2m ·x 2 3、若x ，y 为正整数，且2x ·2y =25 ，则x ，y 的值有（ ）对。A ．4；B ．3；C ．2；D ．1。 4、若a m =3，a n =4，则a m+n =（ ） A ．7 B ．12 C ．43 D ．34 5、若102 ·10n =10 2010 ，则n = 。 幂的运算性质 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 同底数幂相除幂的运算知识要点归纳及答案解析
数学1(必修)第一章：(下)函数的基本性质
必修1函数的基本性质专题复习(精心整理)
第一讲幂的运算性质
圆的有关性质
幂的运算例题精讲
幂的运算
1.3 函数的基本性质
《圆的有关性质》教学设计1
人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案
高中数学必修一 函数的基本性质(一)
幂的运算性质试题
第1讲-圆的有关性质
最新必修1函数的基本性质练习题
(完整word版)初中数学专题复习资料-----幂的运算性质