广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何 Word版含答案
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇
编 立体几何
一、选择、填空题
1、（潮州市2017届高三上学期期末）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，
则该几何体的体积等于（ ）
A ．40cm 3
B ．30cm 3
C ．20cm 3
D ．10cm 3
2、（东莞市2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A ．
12 B. 1 C.3
2
D. 2 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ） A ．6 B ．
320 C ．7 D ．3
22
4、（广州市2017三棱锥
(A) π25 (C) π29
5、（惠州市2017长为(
) （
A ）1 （
B ） 2 （
C ） 3
（D ）2
6、（江门市2017届高三12月调研）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是
图3
7、（揭阳市2017届高三上学期期末）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，
d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则
（A ）α//b （B ）b c ⊥
（C ）d b //
（D ）b 与d 是异面直
线
8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）一个几何体的三视图如图3所示，
其表面积为6π，则该几何体的体积为（ ） A ．4π B ．2π C ．
11
3
π D ． 3π
9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为（ ）
A. 40
B. 30
C. 36
D.42
10、（汕头市2017届高三上学期期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
正视图 俯视图 侧视图
11、（韶关市2017届高三1月调研）四棱锥P
ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(1,则该外接球的表面积是
(A) 4π (B)12π (C)24
π (D)36π
12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
（A ）8
3 （B
）43
（C
）
3
（D ）
3
13
、（珠海市2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1 个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23π B ．43π C ．143π D ．
169
π
14、（潮州市2017届高三上学期期末）已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这
个正四棱锥的外接球的表面积为 ．
15、（东莞市2017届高三上学期期末）轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面
积之比为___________.
二、解答题
1、（潮州市2017届高三上学期期末）如图，四棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥ABCD ，AD ∥BC ，
AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点． （1）证明：MN ∥平面PAB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
2、（东莞市2017届高三上学期期末）在如图所示的几何体中， 平面ACE ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为平行四边形，
∠CAD ＝90°，EF // BC ， EF ＝
1
2
BC ，AC AE ＝EC ＝1． （1）求证：CE ⊥AF ；
（2）若二面角E －AC －F D 到平面ACF 的距离．
M D E B A 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））如图，四棱锥ABCD P -中，PAD ?为正三角形，CD AB //，CD AB 2=，?=∠90BAD ，
CD PA ⊥，E 为棱PB 的中点
（Ⅰ）求证：平面⊥PAB 平面CDE ；
（Ⅱ）若直线PC 与平面PAD 所成角为?45，求二面角C DE A --的余弦值
4、（广州市2017届高三12月模拟）如图, EA ^平面ABC ，DB ^平面ABC , △ABC 是
等边三角形，2AC AE =,
M 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：EM CM ⊥; （Ⅱ）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2， 求二面角B CD E --的余弦值.
5、（惠州市2017届高三第三次调研）如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =
，侧面积为，120AOP ∠=?．
（Ⅰ）求证：AG BD ⊥；
（Ⅱ）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．
6、（江门市2017届高三12月调研）如图，五面体中，，底面是
正三角形，，四边形是矩形，二面角为直二面角，D 为AC
的中点．
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求二面角C-BC 1-D 的余弦值．
7、（揭阳市2017届高三上学期期末）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，
AO=AB=BC=1，3=PC ．
(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面PAD ；
(Ⅱ）若AD=2，PA=PD ，求CD 与平面PAB 所成角的余弦值．
8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）如图5，在边长为E 、O 分别为 AD 、BC 的中点，沿 EO 将矩形ABOE 折起使得120BOC ∠=? ，如图６所示，点G 在BC 上，2BG GC =， M 、N 分别为AB 、EG 中点. （Ⅰ）求证：MN ∥平面OBC ； （Ⅱ）求二面角 G ME B --的余弦值．
9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ?是边长为2的等边三角形，过1AC 作平面1ACD 平行于1BC ，交AB 于D 点． （1）求证：CD AB ⊥；
（2）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D =
，求二面角1
1D AC B --的余弦值．
10、（汕头市2017届高三上学期期末）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，
⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.
（1）证明：⊥PC 平面BED ；
（2）设二面角C PB A --为
90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.
11、（韶关市2017届高三1月调研）已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面
ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，E 是BC 中点，M 是PD 上的中点，F 是PC 上的动点．
（Ⅰ）求证：平面⊥AEF 平面PAD ； （Ⅱ）直线EM 与平面PAD 所成角的正切值为
2
6， 当F 是PC 中点时，求二面角E AF C --的余弦值．
12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，
60BAD ∠=?，2PB PD ==，O BD AC = .
（Ⅰ）证明：PC BD ⊥
（Ⅱ）若E 是PA 的中点，且BE 与平面PAC
A EC
B --的余弦值.
C
A
13、（珠海市2017届高三上学期期末）如图，四边形 ABCD 与BDEF 均为菱形，FA ＝FC 且∠DAB ＝∠DBF ＝60°． (1)求证： AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：FC //平面EAD ；
(3)求二面角 A － FC －B 的余弦值．
P
D
C
B
A
F
E
M
参考答案
一、选择、填空题
1、【解答】解：由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，
棱柱和棱锥的底面面积S=×4×3=6cm 2， 棱柱和棱锥高h=5cm ，
故组合体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20cm 3， 故选：C
2、C
3、D
4、D
5、四棱锥的直观图如图所示，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面四边形ABCD 为正方形且边长为1，最长棱长P A ＝12＋12＋12＝ 3.
6、A
7、B
8、D 解：该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体，其表面积为：
22)2(2)2(6)61r r r r r r πππππ++==∴=，
该几何体的体积为 22312
(2)333
r r r r r ππππ++=．
9、C 10、
3
3
11、设正方体棱长为a ，则由P ABCD -的侧面积等于4(1可得，2a =，设O 是PC
中点，则OA OB OC OP ====所以，四棱锥P ABCD -外接球球心与正方体外接
球球心重合。 412S π==，选B
12、A 13、B
14、【解答】解：正四棱锥P ﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，
记球心为O ，PO=AO=R ，PO 1=1，OO 1=R ﹣1，或OO 1=1﹣R （此时O 在PO 1的延
长线上），在Rt △AO 1O 中，R 2=+（R ﹣1）2得R=，
∴球的表面积S=．
故答案为
．
15、169
二、解答题
1、【解答】（1）证明：如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ，
∵N 为PC 的中点，
∴NG ∥BC ，且NG=
，
又AM=2，BC=4，且AD ∥BC ，
∴AM ∥BC ，且AM=BC ，
则NG ∥AM ，且NG=AM ，
∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM ∥AG ， ∵AG ?平面PAB ，NM ?平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ；
（2）解：在△AMC 中，由AM=2，AC=3，cos ∠MAC=，得CM 2=AC 2+AM 2﹣2AC?AM?cos ∠MAC=5．
∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，PA ?平面PAD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD=AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．
在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．
在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN==，
在Rt △PAM 中，由PA?AM=PM?AF ，得AF==
∴sin ∠ANF=
=
．
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
．
2、解：（Ⅰ）证明：∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E 平面ABCD AC =， ∵AC AD ⊥，∴⊥AD 平面AEC ……………1分 ?CE 平面AEC ，∴CE AD ⊥， ……………2分
又1AC AE EC ==，
∴222
AC AE CE =+，
∴AE EC ⊥ ……………3分 AD BC BC EF //,//
AD EF //∴即F E D A 、、、共面 ……………4分 又D AD AE = ，∴⊥CE 平面ADEF ……………5分 ADEF AF 面?
AF CE ⊥∴ ……………6分
(Ⅱ)因为平面ACE ⊥平面ABCD ，0
90=∠CAD ，
如图以A 为原点建立空间直角坐标系xyz O -
设a AD 2=，则)2
2,0,22(
),0,0,2(),0,0,0(E C A )2
2
,,22(
a F - 由ACE AD 面⊥知平面ACE 的一个法向量)0,1,0(= ………………7分
设平面ACF 的一个法向量),,(z y x =，因为)2
2
,,22(
),0,0,2(a -== ?
??
??=+-=∴0222
20
2z ay x x ，取a y z 1,2-==，则)2,1,0(a -= …………8分 则1
21121
|
|||,cos 2
2
+-
=+
-=
>=
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