勾股定理的应用4

课题：勾股定理（4） 备课时间：3月13日 上课时间：3月18日

专题一、勾股定理与方程的应用

1、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，

当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为

A 、8 m

B 、10 m

C 、12m

D 、14m 专题二、勾股定理中的多解问题

分类标准：直角边与斜边 1、若直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边为 .

2、若直角三角形的两条边长分别为3和4，则斜边为 .

分类标准：边角的位置关系

3、若直角三角形的一条直角边为1，其对角为30 度，则另一条直角边的平方为 .

4、若直角三角形的一条直角边为1，有一锐角为30度，则另一条直角边的平方为 .

分类标准：高在三角形的内部或外部

5、若三角形的两条边为25和17，第三边上的高为15，则第三边的长为 .

专题三、折叠问题中应用勾股定理

1、 如图，长方形纸片ABCD 沿折痕AE 折叠边AD ，使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB ＝8， S △ABF ＝24，求CE 的长.

2、折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD ，在绕点D 折叠，使点A 落在BD 的E 处，折痕DG ，若AB=4，BC=3，求AG 的长。

B A B

C D

F

D A G B C E

3、矩形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的 点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的长。

专题四、勾股定理中的最短距离问题

1、 有一正方体盒子，棱长是10cm ，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

方法总结：上述这类问题，一般按三个步骤进行：

（1）把立体图形转换成平面图形；（2）寻找问题中隐藏的直角三角形；（3）利用勾股定理解答。

2、如图，长方体长为50cm ，宽为30cm ，高为40cm ，在箱内的A 处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B 处，至少要爬多远？

3、有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,

它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)

4、如图,已知圆锥的母线AS =10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C 为AS 的中点,A 处有一只蜗牛想吃到C 处的食物,但它不能直接爬到C 处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.

A

B

B C E F D

A B A B

勾股定理的应用 (2)

勾股定理的应用 一、知识框架 1、勾股定理的猜想 2、勾股定理的验证 3、勾股定理的应用 二、目标点击 1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。 2、能够利用定理解决一些简单的实际问题 3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程 三、重难点预见 学习重点：经历探索勾股定理的过程。 学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。 四、学法指导 1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。 2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。 五、自主探究 情境导入： 2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。 学法指导： 通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。 （一）猜一猜 测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺直角边a 直角边b 斜边 c 关系 1 2 根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。 （二）想一想 1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？ 解后感悟： 通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。 方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。 2、观察图 3、并填下表： 正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。 你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。 解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。 预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。 预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。 （三）议一议 三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。 学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。 （四）记一记

苏教版§勾股定理的应用

洪翔中学八年级数学（上）导学案姓名班级教者 课题§2.7勾股定理的应用（1）课型新授备课时间学习目标能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 教学重点在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值． 教学难点同上 教学程序学习中的困惑一．前置性学习 一、课前预习与导学 1．（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=2，则AC=_________． （2）一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，?则第三边的长是_________． 3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．?问至少需要多长的梯子？ 二．例题解析： 【例1】南京玄武湖东西隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形，从C处到B 处,如果直接走湖底隧道CB，比绕道CA (约1.36km)和AB (约2.95km)减少多少行程? A B C

【例2】一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如 果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流． 问题一在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 问题二有人说,在滑动过程中，梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大，你赞 同吗? 三．随堂演练： 1．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km． 2．有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（） A.7m B.8m C.9m D.10m 3．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（）． （A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定 4.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m， ?CD=?12m，AD=13m．求这块草坪的面积． 四．学后反思： C B A D A C B

勾股定理的应用(人教版)(含答案)

勾股定理的应用（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，Rt△ABC的直角边长分别为12和16，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形周长之和为( ) A.28 B.48 C.36 D.56 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图形的平移 2.暑假中，小明到某海岛探宝．如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点 的直线距离是( )km．

A. B. C.10 D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的对应的值为( ) A.2 B. C. D.

答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 4.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离为( )m． A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.6 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉

开7米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为( )米． A.8 B.12 C.24 D.25 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 6.路旁有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )米． A.8 B.10 C.12 D.14 答案：B 解题思路：

勾股定理的应用教学设计20

勾股定理在实际生活中的应用 学习目标 1通过本科的学习，掌握利用勾股定理理解：决实际问题的方法分析———画图———解答。 2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。 3在互助学习中进一步了解数学源于生活，有服务于生活的道理。 教学重点 如何利用勾股地理解决实际问题。 教学难点 将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。 教学手段 多媒体课件 教学准备 课件五个生准备门框框架 教学方式 互助学习 教学过程 —，温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读了非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 一、温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2. 二、互助学习 （一）出示课件2、3结合课件小组进行互助学习。师友互学，教师巡视指导。 生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。 生2讲解例2，师友展示例2解答过程。 （二）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？ 教师板书:分析---------画图---------解答 （RTΔ）（勾股定理） 三、探究提升 （一）出示课件4（思考题）

1.3勾股定理的应用

八年级数学第一学期导学案 1.3 勾股定理的应用 班级：姓名： 【学习目标】 1．运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展应用意识. 学习重点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 学习难点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 【复习引入】 1．如果梯子的底端离建筑物5米,那么13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ). A．12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 2．如果直角三角形的两直角边长为7，24，那么斜边长为. 3．如图，有一个圆柱,它的高等于12cm，底面上的圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？) 【自主学习】 1．如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路程是什么？你画对了吗? ? 2．蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

【探究学习】 1．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米， BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办 法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ 2．认真阅读课本P13-14的例题，理解其解题思路，完成P14 的“随堂练习”. 【巩固练习】 1. 完成课本P14习题1.4第1，2题. 2．如图所示，90 B OAF ∠=∠=?，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积． O 3．(选做题)课本P15习题1.4第5题.

勾股定理的应用(2)

本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号 教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。发展学生的分析问题能力和表达能力。 3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。 重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用 教学过程 （一）创设情景，引入新课； 这些图形都有什么共同特征？ 几组勾股数. 3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1； .图1中的x 等于多少? 图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正 在数轴上画出表示5的点 在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? 图1 x 11 z y 11x 图2

（四）实践探索，揭示新知2； 例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。 （五）尝试应用，反馈矫正2 如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16， 求△ABC 的面积。 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13， 求△ABC 的周长和面积。 （六）实践探索，揭示新知3； 如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1 如图9，在△ABC 中， AB=15， AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。 勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆， 且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用） （八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业 D C B A 图6 图9 D C B A

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用 教学目标： 知识与技能： （1) 能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。 （2) 学会选择适当的数学模型解决实际问题。 过程与方法： 通过问题情境的设立，使学生明白数学来源于生活，又应用于生活，积累 利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。 情感、态度和价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、 用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力， 初步形成积极参与数学活动的意识。 教学重点： 应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点; 教学难点.： 把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的难点。 教学关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找可应用的RT △，然后有针对性解决。 教学媒体：电子白板 教学过程： 一、导入 1、由犍为岷江大桥图片引入（一是拉近和学生的关系，激发学生对家乡的热爱之情， 同时由斜拉桥上的直角三角形引入勾股定理的应用） 另出具复习引入题 如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子 的底部离墙角1.5m ，如何求梯子的顶 端与地面的距离h? 先让学生复习勾股 定理的简单应用。 2、复习勾股定理内容 3、板书课题 二、新课探究 1、例 小明想知道学校旗杆的高度，但又不能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高度吗？ 首先让学生审题并画出几何图形，再引导其完成。题中隐含了什么条件？ 解：设旗杆高AB=x 米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC 中，由勾股定理得： 答：旗杆的高度为12米。 12 ,)1(52 22222==+=++x x x AC BC AB 解方程，得即

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证

（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F

19.9(2)勾股定理的应用

19.9（2）勾股定理的应用 执 教：韩 颖 2010年11月23日 教学目标 能用勾股定理解决基本的有关证明和计算问题； 通过实际问题的解决增强数学的学习兴趣. 教学重点及难点 勾股定理的灵活应用 教学过程设计 一、 引入新课 生活中勾股定理的应用随处可见： 二、 新课讲授 例1 ：机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间. ①一位旅客携带一件长65cm 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？ ②若这件画卷长67cm ，能放入行李架吗？ 36 56 23 A E B D F H

《九章算术》勾股章第6题 : 引葭(ji ā)赴岸 ：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．” 例2：现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？ 三、体会练习 校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，则这块三角形空地的面积是多少平方米？ 36 56 23 A E B D F H 15 13 14 A B C D x 14-x 1 尺 A x

四、应用推广 例3 ：已知长度为 （n 是大于１的整数）的线段，你能作出长度为 的线段吗？ 五、课堂小结：１、利用勾股定理解决相关问题； ２、勾股定理在实际生活中的应用. 六、布置作业： 练习册19.9（2） B 6 B 3 A B 1 C n 1 n

14.2 勾股定理的应用

14.2 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ； (3)A →D →B ； (4)A —→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做。李叔叔随身只带卷尺检测AD ，BC 是否与底边AB 垂直，也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD 或AC ，也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 A B A B

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例 一、利用勾股定理解决立体图形问题 勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。 一、长方体问题 例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（） A、41cm B、34cm C、50cm D、75cm 分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△ BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。 解：在Rt△ABC 中，AB=5 ，AC=4，根据勾股定理， 得BC= AB2 AC2 = 41 ， 在Rt△BCD 中，CD=3，BC= 41 ， 22 BD= BC2 CD2 = 50 。所以选C。说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。二、圆柱问题 例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？

分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知，S、 F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3 的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。 解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm），FB=18―1―1=16 （cm），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34（cm），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。 说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想转化思想。 二、利用勾股定理确定最短问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1（恩施自治州）如图 1 ，长方体的长为15，宽为10 ，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（） 图1 ①

2.7勾股定理的应用(2)

课题：§2.7 勾股定理的应用（2） 教学目标：1．能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，学会数学建模，学会将斜三角形问题转化为直角三角形的问题，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值. 教学重点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中 . 教学难点：“转化”思想的应用. 教学过程： 【预习导航】 1.阅读课本第82页到83页，完成讨论P 82 中的问题: （1）如何求出图中的x、y、x？⑵如何画出5、6、7的线段吗？ 2.在数轴上画出表示-5的点. 【新知探索】 3. 如图，正方形网格中有一个△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是三角形. 【交流展示】 【活动一】4.已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm． (1)求高AD的长；（精确到0.01） (2)求S △ABC （保留4位有效数字）. A B C

B A C 【活动二】5.已知：如图，在△ABC 中，AC=26，AB=20，边A B 上的中线CD=24. 求①B C 的长；②△ABC 的面积. 【随堂训练】 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为______________. 7. 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 . 板书设计 教学反思 【达标反馈】 8.已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 9.在上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为 （ ） A.1.50 B.1.75 C.1.95 D.以上都不对 10.如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积. B 图② A C B D E 图①

勾股定理的实际应用题

18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 19．（2007?义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A． 20．（2013?贵阳模拟）请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π） （1）设路线1的长度为L1，则=_________．设路线2的长度为L2，则=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= _________．路线2：=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短． 21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度

勾股定理应用(含解答)

勾股定理 点击一：勾股定理 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方． 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点： （1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错； （3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理 拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理． 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明． 如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4× 2 1 ab = 2ab ． （图1） （ 2 （3

由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证． 请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数 将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联 系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ?为面积，于是有： 222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，1 2442 ab ab S ?=?=， 所以22()4a b c S ?+=+.即221 [()]4 S a b c ?=+-. 也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利 用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式． 如图2，在Rt ABC ?中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等． （4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．

初中数学初中数学 勾股定理的实际应用

第2课时勾股定理的实际应用 1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点) 2．勾股定理的正确使用．(难点 ) 一、情境导入 如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理在实际生活中的应用 【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)? 解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可． 解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC ＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米． 方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理． 【类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间． 解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所 对的直角边等于斜边的一半可得AC＝1 2AB，从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解． 解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由

勾股定理的应用1(折叠)

勾股定理的应用1——图形的翻折的导学案一、直角三角形的折叠问题 展示直角三角形纸片 1.已知△ABC中，∠B=90°， AB=4，BC=3,则AC= 斜边AC边上的高AD= 折叠1：将△ABC折叠，使点A与B重合（如图1）， 则图中有哪些相等的线段？求BD 折叠2：将△ABC折叠，使点A与C重合（如图2）， （1）则图中有哪些相等的线段？ （2）△BDC的周长= （3）求BD的长度 （4）思考求DE长度的方法

折叠3：将△ABC折叠，使点A落在BC的中点F处（如图3）， 同样，求BD 设BD=x 直接列方程 二、长方形的折叠问题 展示长方形纸片 已知长方形ABCD中，AD=10，AB=6 折叠1、沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处， （1）找出图形中所有相等的线段 （2）BF= ，CF= （3）求EC （拓展:已知EF=5，CE=4，求剩下所有线段的长度） 折叠2：若沿直线AC把△AD C折叠，使点D落在点F处，AF与BC交于点E。（1）找出图形中所有相等的线段 （2）求BE（只列方程）

折叠3、若沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合。 （1）找出图形中所有相等的线段 （2）求△BEF的面积 （3）求折痕EF的长度 ：（惠安县2013—2014学年度上学期八年级教学质量检测第26题）

如图，已知一长方形纸片ABCD ，AB ∥CD ，AD =BC =1，AB =CD =5．在长方形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ， 得到△MNK ． （1）请你动手操作，判断△MNK 的形状一定．． 是 ； （2）问△MNK 的面积能否小于 1 2 ？试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值． 1 D N B' C' K M D C A B D C A B D C A B A C B

勾股定理——在实际生活中的应用

17.1勾股定理——在实际生活中的应用 学习目标 1通过本科的学习，掌握利用勾股定理解决实际问题的方法:分析———画图———解答。 2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。 3在互助学习中进一步了解数学源于生活，又服务于生活的道理。 教学重点 如何利用勾股定理解决实际问题。 教学难点 将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。 教学手段 多媒体课件 教学准备 课件五个生准备门框框架 教学方式 互助学习 教学过程 一、温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮住呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2. 二、互助学习 （一）出示课件2、3.结合课件小组进行互助学习。师友互学，教师巡视指导。 生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。 生2讲解例2，师友展示例2解答过程。 （一）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？ 教师板书：分析-------------画图--------------解答 （RT△) (勾股定理) 三、探究提升 （一）出示课件4（思考题） 师友再次合作学习、讨论、探究、质疑。 (二) 生利用前面所总结的解体方法解答，并指派一名学生讲解并板书，同时质疑。 四、当堂检测 （一）出示课件5、生看题解答。 教师提示：要想在立方体图形上求两点间的最短距离、首先要把立体图形展开成平面图形再思考。 （二）组长检查组员的答卷 一名学生到展台前展示解题过程。 五、总结收获 (一)学友总结收获，师友补充。教师概括总结。

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用教案 This manuscript was revised on November 28, 2020

121教学模式 科目_________________________ 年级_________________________ 教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 课前1分钟交通安全教育 “121”教学模式导学案（______科） 2013 年 9 数 学 八年级 潘明明 数学

检测预习交代目标检测预习： 1、一个三角形的两边长分别是1 2、15，则第三边长为＿＿时，这个三角形是直角三角形。（三角形的三边长都是正整数） 2、底边长为10cm，底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为＿＿＿＿＿。 交代目标： 1、能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单实际问题 2、将立体图形问题转化成平面图形问题 合作探究交流共享第一环节：情境引入 内容： 情景1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近 情景2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下 了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近意图： 通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础． 第二环节：合作探究 内容： 学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法． 意图：

勾股定理的实际应用习题

17.1勾股定理提升练习 1.如图18-29所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图18-30所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为( ) A.14cm B.4 cm C.15cm D.3 cm 3.如图18-31所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC的长为( ) A.20 B.22 C.24 D.30 4.如图18-32所示,四边形ABCD为长方形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( ) A.43 B.33 C.42 D.8 5.如图18-33所示,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距 离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（如图18-34所示）( )

6.如图18-35所示,已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是. 7.若直角三角形的斜边长为25 cm，一条直角边的长为20 cm，则它的面积 为cm2,斜边上的高为cm. 8.若直角三角形的两条直角边长分别为8，15，则它的周长为. 9.如图18-36所示,P是△ABC内任意一点,PD⊥AB,垂足为D,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F,则AD2+BE2+CF2=AF2+BD2+CE2成立么？说明理由. 10.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,则一个半小时后,两船相距多少海里? 11.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形透明玻璃杯中,如图18-37所示,设筷子露在杯子外面的长为h cm,求出h的取值范围. 12.如图18-38所示,探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连线段的不同长度值只有1与2,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连线段的不同长度只有1, 2,2,5,22五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.

14.2.2勾股定理的应用

勾股定理的应用 一、温故互查 1．勾股定理揭示了直角三角形什么元素之间的关系 2.如何从三角形的边上去判断一个三角形是否是直角三角形 二、设问导读： 阅读课本P122 ，完成下列问题： 1.想一想：例3中是如何在网格中作出长度为5的线段依据是什么 2.如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形．在判定△ABC是不是直角三角形时，首先由 勾股定理，得AB＝____， BC＝____，AC＝____．因 为AB2＋AC2＝____，BC2 ＝____，所以AB2＋AC2____BC2(填写“＝”或“≠”)，所以△ABC____直角三角形. 3.例4中（1）如何求出线段AC的长度的（2）如何说明△ABC是直角三角形三、自学检测如图，已知CD＝6 m，AD＝8 m，∠ABC ＝90°，BC＝24 m，AB＝26 m，求图中阴影部分的面积. 四、巩固训练 题组练习一 1.如图，一根12米高的 电线杆AC两侧各用15米 长的铁丝AB,AD固定，两 个固定点B,D之间的距 离是米。 2.小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门，横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竹竿斜着拿时，两端正好顶着城门的对角，则竹竿长几米

题组练习二 3..如图，现有一块四边形的空地ABCD， 现计划在空地上种植草皮，且AD⊥ CD,AB=13m，BC=12m，CD=4m，AD=3m，若 每平方米草皮需要200元则需要投入多 少钱 4.假设小汽车在城市街道上的行驶速度 为每小时不得超过70km，如图，一辆小 汽车在一条城市街道上直线行驶，某一 时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正 前方30米的C处，过了2秒后，测得小 汽车在与车速检测仪距离为50米的B 处那么这辆小汽车超速了吗 题组练习三 5.如图，在6个边长为1的小正方形及 其部分对线所构成的图形中，如果从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从 A点到B点的最短距离的 走法共有( ) 种B．2种 种D．4种 五、拓展延伸 6.如图，一个牧童在小何南4km的A处 牧马，而他正位于他的小屋B的西8km、 北7km处，他想把他的马牵到小河边去 饮水，然后回小屋他要完成这件事情所 走的最短路线的长为多少： &