求圆锥曲线的离心率习题课学案
求圆锥曲线的离心率习题课学案
问题1 识别,,a b c 的方程 已知曲线：22
1(0)x y mn m n
+=≠ （1）25,9m n ==，曲线的离心率为 ；
（2）25,9m n ==-，曲线的离心率为 ；
（3）20m n =>，曲线的离心率为 ；
（3）20m n =->，曲线的离心率为 。
问题2 直译,,a b c 的方程 若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线 24y bx =的焦点分成2:1的两段，求双曲线的离心率。
问题3 发现,,a b c 的方程（不等式） 已知椭圆：22
221(0),x y a b a b +=>>左右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在点P ，使：
（1）12
1290,3,o F PF PF PF ∠==且求椭圆的离心率； （2）12
90,o F PF ∠=求椭圆的离心率的取值范围； （3）
123,PF PF =求椭圆的离心率的最小值。
问题4 发现,,a b c 的方程（不等式）
1. 过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，且与另一条渐近线交于B ，若2=，求此双曲线的离心率。
2. 过双曲线2221y x b
-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与两渐进线分别交于B 、C ，且AB BC =，求双曲线的离心率。
巩固练习：
1.已知A 、B 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>> 长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，设直线PA 、PB 的斜率分别为12,k k ，若121,2
k k =-则椭圆的离心率为 。
2.已知点F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点，若△ABE 为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 。
3.如图，12,F F 分别是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是
A B C
圆锥曲线的离心率问题专题训练
圆锥曲线的离心率问题专题训练 1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于2 1，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为 。 3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 。 4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是 。 5．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为 。 6．若点P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 。 7．分别过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为 。 8．双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为 。 9．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为3 2-，则椭圆的离心率是 。 10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222 >=-a y a x 交于A 、B 两点。若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为 。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的 离心率为（ ） A B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线离心率专题
. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B． （，1） C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A． （0，）B． （，） C． （，） D． （，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭 圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离 心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A． （1，]B． （1，） C． （2，] D．（，2]
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() Ａ. [，1) B. [，1） Ｃ． (0，] D. (0，] ２．二次曲线时,该曲线离心率ｅ的范围是( ) A．B．Ｃ. Ｄ. 3.椭圆焦点在x轴上，Ａ为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点，∠OPA=９0°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A. ［,1) B． （，１) C. [,) Ｄ. (0,) 4．双曲线的离心率ｅ∈(1，2），则k的取值范围是（) A. (﹣∞,0）Ｂ．（﹣3,０) C. (﹣１2,0) D. （﹣60，﹣12） 5.设F1，Ｆ2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1ＰF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C．D． ６．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围() A．B．C．Ｄ. 7．已知椭圆x２＋ｍy2=1的离心率，则实数m的取值范围是( ) A． B. C. Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为Ｆ1,F2且它们在第一象限的交点为P,△ＰF1Ｆ2是以ＰF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1，２),则该椭圆的离心率的取值范围是(） A. (0,) B. （，） C. （，) D. (,１) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是［3b2,4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ( ） A．B．C．D． １0.如图,等腰梯形AＢCD中，AB∥CＤ且AＢ=2，ＡＤ=1，DC＝2x（ｘ∈（０，1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，Ｄ为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e２，则ｅ1＋e2的取值范围为( ) A．［2,+∞）Ｂ．（，+∞）Ｃ． ［,+∞） D. (,+∞)
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１） Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C． （，） D． （，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围 是（） A． B. C. D.
1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线 的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]
圆锥曲线离心率的求法已
圆锥曲线离心率的求法 学习目标 1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法； 2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力； 学习重难点 重点：椭圆、双曲线离心率的求法； 难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率 教学过程： 复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率 探究一：利用定义直接求a,c 例1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于． 练习1：在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为( ) A. 5 3 －1 ＋1 ＋1 B. 探究二：构造关于e的(a,b,c的齐次)方程
例2．已知椭圆22 221(0)y x a b a b +=>>的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ， 下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________ 练习2、双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作 倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( ) 探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定e 的方程 例3．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，斜率为1 点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与求e 二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围) 1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例4、已知双曲线122 22=-b y a x
圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
专题 圆锥曲线的离心率(学生版)
专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心 率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2 21c b e a a ==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 122121(05,, 221A. B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ?例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） －－－ 【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =． 2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________； 3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+ B ．13- C ．213+ D ．13+ 5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）5（C ） 2 5（D ）31+ （二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为. 变式：设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率 设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。 解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则 将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() 解法３:利用三角函数有界性 记
||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有 解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 ||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222 2 2 2 2 2 22 2 22224220=+=-+=+++-+=+== -≠±≤<，又由，所以有 即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即 解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得 42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)|| 解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有
(完整版)圆锥曲线离心率题型
圆锥曲线的离心率题型解析 华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉 圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助. 类型一：离心率的定义 例 1 （2014湖北卷） 已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 334.A B .3 32 C ．3 D ．2 分析：21F PF ?既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“c a 2,2”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点. 解析：不妨设)(,,21n m n PF m PF >==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，椭圆、双曲线的离心率分别为21,e e ，则由椭圆、双曲线的定义，得12a n m =+，22a n m =-， 平方得212242a n mn m =++-------①， 2 22242a n mn m =+-------②， 又由余弦定理得2224c n mn m =+----------③， 由①②③消去mn 得2222143c a a =+，即4312221=+e e . 再据平面向量不等式2 22)(?≤?的坐标表示得 221221)33111()11(e e e e ?+?=+316)31)(311(2221=++≤e e
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（） A．[，1）B． （，1）C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是 （） A．B．C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（） A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1） 9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取 值范围是（） A．B．C．D． 10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）
圆锥曲线离心率问题
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a =（其中c为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：() 0,1 e∈ （2）双曲线：() 1,+ e∈∞ 2、圆锥曲线中,, a b c的几何性质及联系 （1）椭圆：222 a b c =+， ①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和： 122 PF PF a += ②2b：短轴长 ③2:c椭圆的焦距 （2）双曲线：222 c b a =+ ①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值： 122 PF PF a -= ②2b：虚轴长 ③2:c椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,, a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭 圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ． 3 B ．6 C ．13 D ．1 6 思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为 12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角 三角形12PF F
求圆锥曲线离心率的几种方法
1经典的，不会那么容易过时------------- 1 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果 椭圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→ → → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 2222 222 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根
2经典的，不会那么容易过时------------- 2 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++= 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有
(完整版)求圆锥曲线离心率的几种方法
经典的，不会那么容易过时------------- 1 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果 椭圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 2222 22 1222 2222 222 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++=
经典的，不会那么容易过时------------- 2 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤-
高二数学圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法 在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。 1、公式法：即利用a c e = 这一公式求离心率。 [例1]已知椭圆m y mx 5522 =+的离心率5 10=e ，求m 的值。 解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+m y x （1）当50 <
则 221=F F ，从而31=MF ， 131 322 121-=+= += ∴MF MF F F e ，故选A 。 [例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。 解：设2,1,1 11===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ， ()2 61212,2 2 122222 22 2 2 1= -+=+=+=+= ∴a PF PF c a ， 3622-== ∴a c e 。 3、方程法：寻求关于a,c 的齐次关系式，化归为关于e 的方程，再通过解方程求出离心率。 [例5]（1996全国理、文）设双曲线122 22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线l 过（a,0），（0,b ） 两点，已知原点到直线l 的距离为 c 4 3 ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）2 （B ） 3 （C ）2 （D ） 3 3 2 解：由已知得，直线l 的方程为bx+ay-ab=0, 原点到直线l 的距离为 c 43,则有c b a a b 4322=+，又 222b a c +=，234c ab =∴，两边平方得() 4222316c a c a =- 两边同除以 4 a ，并整理得 01616324=+-e e ，3 4422 = =∴e e 或，而 b a <<0，得 2 12 2222222 >+=+==a b a b a a c e ，42 =∴e ，故2=e ，故选A 。 [例6]过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，且?=∠90MAN ，则 双曲线的离心率等于_____________。 解：不妨设F 为左焦点，如图，由已知得， AF MF =，即 a b 2
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 ，[，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（） ．C D． ，，[，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（） ．C D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围．C D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（） ．．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取 ），），） 9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围 ．C D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（） ， [ 11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（） ．C D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭．C D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 ．C D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）．C D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离．C． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则]，，
圆锥曲线离心率的求法总结
圆锥曲线离心率的求法总结 求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值. 1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦 点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）. A. 13 B. 12 C. 2 3 D. 3 4 2.已知双曲线:E 22 221x y a b -=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______. 【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3, 2c c ?? ??? 在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2 c b a =+22得E 的离心率为 2c e a = =. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
求圆锥曲线的离心率的常用方法
求圆锥曲线的离心率的常用方法 一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c a 求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14 解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1, 所以离心率e=c a =1 2 .故选C. 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A. 32 B. 62 C. 3 2 D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =3 2,因此选C 二、构建关于a ，c 的齐次等式求解 例3 设双曲线x 2 a 2﹣y 2 b 2＝1(0