2017年高考通关讲练集合与常用逻辑用语(数学(文))：五、逻辑联结词、全称量词与存在量词.doc

（1）简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. （2）全称量词与存在量词 ①理解全称量词与存在量词的意义

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

本知识点是高考的热点内容，尤其是逻辑联结词和含有量词命题的否定是重点，多以选择题、填空题的形式出现，属基础题．

一、简单的逻辑联结词

1．常见的逻辑联结词：“或”“且”“非”

一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ，读作“p 且q”；用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ，读作“p 或q”；对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?，读作“非p”或“p 的否定”． 2．用来判断复合命题的真假的真值表

五、逻辑联结词、全称量词与存在量词

3．必记结论

含逻辑联结词命题真假判断：

（1）p∧q中一假则假，全真才真．

（2）p∨q中一真则真，全假才假．

?真假性相反．

（3）p与p

二、全称命题、特称命题

1．全称量词和存在量词

2．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

命题的否定：

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择

【例1】命题“0x ?>，不等式1ln x x -≥成立” 的否定为 A ．00x ?>，不等式001ln x x -≥成立 B ．00x ?>，不等式001ln x x -<成立 C ．0x ?≤，不等式1ln x x -≥成立 D ．0x ?>，不等式1ln x x -<成立 【答案】B

【解析】全称命题的否定是特称命题，故选B. 【考点定位】全称命题与特称命题.

【易错点晴】要熟记真值表，对逻辑联结词理解不准确是出现错误的最常见原因，p 与p ?的并集应是全集.另外，含有量词命题的否定，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词. 常见词语的否定形式有：

【例2】以下四个命题中，正确的个数是

①命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 是周期函数，则

)(x f 不是三

角函数”；

②命题“存在2

,0x x x ∈->R ”的否定是“对于任意2

,0x x x ∈-”是“B A >”成立的充要条件；

④若函数)(x f 在)2017,2015(上有零点，则一定有0)2017()2015(

【解析】对于①，命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 不是

周期函数，则)(x f 不是三角函数”，故①错误；

对于②,命题“存在2,0x x x ∈->R ”的否定是“对于任意2,0x x x ∈-≤R ” ,故②错误； 对于③，在ABC △中，当B A sin sin >时，由正弦定理

sin sin a b

A B

=知a b >，由大边对大角得A B >,当A B >时,得a b >，由正弦定理得B A sin sin >，所以在ABC △中，“B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件, 故③正确；

对于④，举例函数2

()(2016)f x x =-，在)2017,2015

(上有零点2016x =，但(2015)(2017)1

f f ?=>不符合.故只有1个正确，选B. 【考点定位】四种命题的形式；特称命题的否定形式；充分条件与必要条件的判断；函数零点的存在性定理.

【易错点晴】本题分为4个小题，都是对平时练习中易错的知识点进行考查，属于基础题.在①中，注意命题的否定与否命题的区别；在②中，是对特称命题的否定，已知

:,()p x M p x ?∈，否定:,()p x M p x ??∈?；在③中，注意正弦定理和大边对大角、大角

对大边的运用；对于④，是考查零点的存在性定理，要说明这个命题是错误的，只需举出一个反例即可.

【例3】若命题“x ?∈R ，使得()2

110x a x +-+<”是假命题．．．

，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,3-

【解析】由题设可知:“x ?∈R ,都有01)1(2

≥+-+x a x 恒成立”,所以2

(1)40a ?=--≤,即2|1|≤-a ,也即212≤-≤-a ,所以31≤≤-a . 【考点定位】存在性命题与全称命题之间的关系．

【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与存在性命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是存在性命题”、“存在性命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是存在性命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时，先将问题合理转化为：“x ?∈R ,都有01)1(2≥+-+x a x 恒成立”是真命题,进而获解.命题的否定常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从而造成解答上的错误.

1．(2016届陕西省高三下学期教学质检二)已知命题3:,log 0p x x ?∈≥R ，则 A ．3:,log 0p x x ??∈

2．(2016届安徽省安庆市高三第三次模拟考试）若命题“2,10x x px ?∈++

的结果是

A ．4

B ．4-

C ．2p

D ．2p -

3．下列命题中是假命题的是 A ．()0sin 2

x x x π?∈>，，

B ．000sin cos =2x x x ?∈+R ，

C ．30x

x ?∈>R ，

D ．00lg 0x x ?∈R ，＝

4．（2016·江南十校联考）已知命题:23x

x

p x ?∈

2

=1q x x x -?∈R ：，，则下

列命题中为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∧? C ．()p q ?∧

D ．()()p q ∧??

5．（2016届湖南省高考冲刺卷）有四个关于三角函数的命题：

1:sin sin πp x y x y =?+=或x y =；

()3:,,cos cos cos p x y x y x y ?∈-=-R ； s 其中真命题是

A ．13,p p

B ．23,p p

C ．14,p p

D ．24,p p

6．（2016届江西省上高二中高三全真模拟）已知命题p ：“存在0[1,)x ∈+∞，使得

2

(log 3)1x ≥”，则下列说法正确的是 A ．p 是假命题；p ?：“任意[1,)x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”

B ．p 是真命题；p ?：“不存在0[1,)x ∈+∞，使得02(log 3)1x

<”

C ．p 是真命题；p ?：“任意[1,)x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”

D ．p 是假命题；p ?：“不存在0[1,)x ∈+∞，使得02(log 3)1x

<”

7．下列结论错误的是

A ．命题“若p ，则q ”与命题“若q ?，则p ?”互为逆否命题

B ．命题p ：01[]e 1x x ?∈≥，， ，命题q ：2

00010x x x ?∈++

C ．“若22

am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题

8．命题“2000(1,2),40x x mx ?∈++≥”是假命题，则m 的取值范围为_______．

参考答案

1．A 【解析】由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题，故选A. 2．A 【解析】因为命题“2

,10x x px ?∈++

,10x x px ?∈++≥R ”，且这个命题的否定为真，则有

240p ?=-≤，所以22p -≤≤．于是

224p p =-++=，故选A.

3．B 【解析】对于A ，结合三角函数线，易知当)2

(0x π

∈，时，有sin x x <，故A 正确；

对于B ，注意到sin +cos +4

(2)x x x π≤

，因此不存在0x ∈R ，使得

00sin cos =2x x +，

故B 不正确；对于C ，易知30x

>，故C 正确；对于D ，注意到lg10＝，故D 正确．综上所述，选B.

4．C 【解析】对命题p ，令=0x ，则0

2=2=1x

，0

3=3=1x ，故命题p 是假命题；对于命题

q ，令32

(1)f x x x =+-，则函数()f x 的图象在R 上连续，由于

()()0=101=10f f -<>，，由零点的存在性定理知，存在)1(0c ∈，

，使得()0f c ＝，所以命题q 是真命题，因此复合命题()p q ?∧是真命题．

5．D 【解析】 sin sin π2πx y x y k =?+=+或2π,x y k k =+∈Z ，1p ∴

为假命题；

(),,cos cos cos x y x y x y ?∈-≠-R 为真命题，3p ∴

.故选D. 6．C 【解析】由题意得，2log 31>，所以“存在[)01,x ∈+∞，使得02(log 3)1x ≥”为真命题，且命题否定为:p ?“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”，故选C ． 7．C 【解析】根据四种命题的构成规律知，选项A 中的结论是正确的；

选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；

当0m =时，2

2

a b am bm

当p ，q 有一个真命题时，p 或q 是真命题，选项D 中的结论正确．故选C ．

8．5m ≤-【解析】 命题“2

000(1,2),40x x mx ?∈++≥”是假命题，∴该命题的否定：

2

(1,2),40x x mx ?∈++<是真命题，则22

1402240m m ?++≤?++≤?，即5

4m m ≤-??≤-?

，5m ∴≤-.故应填5m ≤-．

1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤

（1）判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断． （2）判断命题真假的步骤：

?

2．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）p∨q真?p，q至少一个真?（p

?）∧（q

?）假．

（2）p∨q假?p，q均假?（p

?）∧（q

?）真．

（3）p∧q真?p，q均真?（p

?）∨（q

?）假．

（4）p∧q假?p，q至少一个假?（p

?）∨（q

?）真．

（5）p

?真?p假；p

?假?p真.

3．全（特）称命题的常见题型及解题策略

（1）全（特）称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

（2）全（特）称命题的真假判断．

①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p（x）成立，

但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p（x0）不成立即可．

②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）

成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

4．根据命题的真假求参数取值范围的求解策略

（1）含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．（2）若给出命题为全称命题，则可转化为不等式的恒成立问题．

1．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

2．命题的否定包括：

（1）对“若p ，则q”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．

【典例】命题“()**n f n ?∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是 A ．()**()n f n f n n ?∈?>N N ，且 B ．**()()n f n f n n ?∈?>N N ，或 C ．**0000)()(n f n f n n ?∈?>N N ，且 D ．**0000()()n f n f n n ?∈?>N N ，或

【错解】错解1：“*0n ?∈N ”的否定为“*0n ?∈N ”，“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*0f n ?N 且00()f n n >”，故选C.

错解2：“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*f n ?N 且()f n n >”，故选A. 错解3：“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()()*f n f n n ?>N 或”，故选B. 【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；

错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．

【正解】全称命题的否定为特称命题，因此命题“()*

*

n f n ?∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定

形式是“()()*

*

0000n f n f n n ?∈?>N N ，或 ”．故选D.

【警示】全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

“数字是不会骗人的，”

老师说：“一座房子，如果一个人要花上十二天盖好，

十二个人就只要一天，二百八十八个人只要一小时就够了。”

一个学生接着说：“一万七千二百八十人只要一分钟，

一百零三万六千八百人只要一秒钟。

此外，如果一艘轮船横渡大西洋要六天，六艘轮船只要一天就够了。四杯25度的水加在一起就变开水了！数字是不会骗人的！”